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三角関数3|「ラジアン」の考え方,公式はシンプル!

小学校以来,我々は$30^\circ$のように「〜度」という単位で角度を表してきました.

この「〜度」という角度の表し方を「度数法」といいますが,度数法では三角関数のグラフを描くときなどに不都合があります.

そこで,より数学的に扱いやすい角度の単位として「弧度法」があります.

弧度法は度数法よりも都合が良いことが多く,例えば「扇型の面積」などの計算が簡単にできます.

この記事では,

  • 「弧度法」の定義
  • 弧度法に関する大切な公式

を説明します.

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度数法から弧度法へ

小学校から使ってきた「〜度」という単位の角度を「度数法」と言い,この記事で導入する「弧度法」は「〜ラジアン」という単位の角度になります.

度数法

この記事の主役は「弧度法」ですが,「度数法」についてもさっと書いておきましょう.

[度数法] 円周を$360$等分した弧に対する中心角を$1^\circ$と定める.この角度の単位を度数法という.

これはみなさんご存知ですね.

さて,この「度数法」はあまりに普通に使われてきた角度の単位なので,あまり疑問に思わないかもしれませんが,どうして$360$等分なのでしょうか?

これは「1時間=60分」であることと同じ理由です.

実は$100$以下の自然数の中で最も約数が多いのは$60$であり,そのため時間の計算が簡単になるので「1時間=60分」となっています.

同じく「度数法」で$360$等分する理由は,「$360$は約数が多いから」であり,数学的な意味にはさほど重要な数字ではありません.

弧度法

「数学的に意味のある角度」を考えようということで,「弧度法」を考えましょう.

名前に「弧」とついているように,円の弧を使って定義します.

[弧度法] 半径1の扇形の弧の長さが$\theta$であるとき,この扇形の中心角の大きさを$\theta[\mrm{rad}]$と定める.ただし,$\mrm{rad}$は「ラジアン(radian)」と読む.

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正確には,「円弧と半径が等しいときの中心角を$1[\mrm{rad}]$と定める」なのですが,ここでは同値な上の条件を定義としておきましょう.

この定義から,半径1の円においては,

  • 中心角$\theta[\mrm{rad}]$
  • 弧の長さが$\theta$

であることは全く同じということになります.

考え方はシンプルですね!

また,「弧度法」においては,単位の$[\mrm{rad}]$を省略することが多いです.

つまり,「中心角$\theta[\mrm{rad}]$」というのと「中心角$\theta$」というのは,同じことを意味します.

例1

半径1,中心角が$\dfrac{\pi}{3}$の扇形は下図のようになります.

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半径1の円においては,「(中心角)=(弧の長さ)」なので弧の長さ$\ell$は$\ell=\dfrac{\pi}{3}$です.

例2

半径2,中心角が$\dfrac{\pi}{3}$の扇形は下図のようになります.

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例1のように,半径1の円においては「(中心角)=(弧の長さ)」したが,半径が2になれば弧の長さも2倍になります.

ですから,半径2の場合の円周は

\begin{align*} \ell=2\cdot\dfrac{\pi}{3} =\dfrac{2\pi}{3} \end{align*}

となります.

半径1の円においては,「中心角$[\mrm{rad}]$=(弧の長さ)」が成り立つ.半径が$r$の場合は,相似であることからこの長さも$r$倍となる.

度数法と弧度法の関係

実際に計算すれば分かりますが,[度数法]と[弧度法]の関係は下表のようになります.

[度数法]と[弧度法]の関係
度数法 $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$ $120^\circ$ $135^\circ$ $150^\circ$ $180^\circ$
弧度法 0 $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\dfrac{2\pi}{3}$ $\dfrac{3\pi}{4}$ $\dfrac{5\pi}{6}$ $\pi$

以上の有名角の$30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$は,すぐに弧度法で考えられるようになっておいてください.特に,

  • 度数法での$180^\circ$
  • 弧度法での$\pi$

が一致することを意識しておけば,

  • 6等分すれば$30^\circ=\dfrac{\pi}{6}$
  • 4等分すれば$45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$
  • 3等分すれば$60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$

となることが分かりますね.

[1] $30^\circ$の場合は6等分

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[2] $45^\circ$の場合は4等分

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[3] $60^\circ$の場合は3等分

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弧度法の公式

弧度法について,以下が成り立ちます.

半径$r$,中心角$\theta$の扇形について,弧の長さを$\ell$,面積を$S$とすると,以下が成り立つ.

  1. $r\theta=\ell$
  2. $\dfrac{1}{2}r^{2}\theta=S$

弧の長さの公式

1つ目の公式$r\theta=\ell$は,上の例で見たように,相似の考え方を使うことで分かります.

  • 半径1,中心角$\theta$の扇形
  • 半径$r$,中心角$\theta$の扇形

の2つを考えると,下図のようになります.

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先ほど説明したように,半径1の扇形においては(中心角)=(弧の長さ)なので$\theta$でした.

左の扇形(半径1)と右の扇形(半径$r$)の相似比は$1:r$ですから,弧の長さも当然$1:r$となります.

よって,半径$r$の扇形の弧の長さは$r\theta$となりますね.

面積の公式

まずは扇形の面積の公式を復習しておきましょう.

半径$r$,弧の長さ$\ell$の扇形の面積は$\dfrac{1}{2}r\ell$である.

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詳しい説明は省略しますが,

  • 高さ$r$,底辺の長さ$\ell$の三角形の面積
  • 半径$r$,弧の長さ$\ell$の扇形の面積

はどちらも$\dfrac{1}{2}r\ell$ですね.

さて,これが分かっていれば,1つ目の公式から扇形の面積公式が得られます.

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半径$r$,中心角$\theta$の扇形の弧の長さは$r\theta$でしたから,面積$S$は

\begin{align*} S=\dfrac{1}{2}r\cdot r\theta =\dfrac{1}{2}r^2\theta \end{align*}

となりますね.

扇形に関する公式は半径1,中心角$\theta$の扇形との相似を考えれば簡単に得られる.

最後までありがとうございました!

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