三角関数３｜「ラジアン」の考え方，公式はシンプル！

三角関数の偏角の変換公式( $(90^\circ+\theta)$ 型や $(180^\circ-\theta)$ 型など)は，全てを覚える必要はなく，実は基本の公式から簡単に導けるということを説明しました．

少し三角関数の性質から離れ，角度の話をします．

小学校以来， $30^\circ$ のように「〜度」という単位で角度を表してきましたが，これでは三角関数のグラフを描くときなどに不都合があります．

より数学的に扱いやすい角度の単位として「弧度法」があり，これは度数法よりも計算が簡単にできる単位なので，慣れれば「扇型の面積」などの計算が簡単にできます．

今回の記事では，「弧度法」の定義と，弧度法に関する大切な公式を説明します．

三角関数になると負や $180^\circ$ を超える偏角を考えるため，三角比の場合の $(90^{\circ}-\theta)$ 型以外の変換公式が現れます．とはいえ，それらを全て覚える必要はなく，簡単に覚えられるいくつかの公式さえ分かっていれば，他の変換公式は簡単に導くことができます．

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1 度数法から弧度法へ
2 弧度法の公式
- 2.1 弧の長さの公式
- 2.2 面積の公式

度数法から弧度法へ

小学校から使ってきた「〜度」という単位の角度を「度数法」と言い，この記事で導入する「弧度法」は「〜ラジアン」という単位の角度になります．

度数法

この記事の主役は「弧度法」ですが，「度数法」についてもさっと書いておきましょう．

[度数法]　円周を $360$ 等分した弧に対する中心角を $1^\circ$ と定める．この角度の単位を度数法という．

これはみなさんご存知ですね．

さて，この「度数法」はあまりに普通に使われてきた角度の単位なので，あまり疑問に思わないかもしれませんが，どうして $360$ 等分なのでしょうか？

これは「1時間=60分」であることと同じ理由です．

実は $100$ 以下の自然数の中で最も約数が多いのは $60$ であり，そのため時間の計算が簡単になるので「1時間=60分」となっています．

同じく「度数法」で $360$ 等分する理由は，「 $360$ は約数が多いから」であり，数学的な意味にはさほど重要な数字ではありません．

弧度法

「数学的に意味のある角度」を考えようということで，「弧度法」を考えましょう．

名前に「弧」とついているように，円の弧を使って定義します．

[弧度法]　半径1の扇形の弧の長さが $\theta$ であるとき，この扇形の中心角の大きさを $\theta[\mrm{rad}]$ と定める．ただし， $\mrm{rad}$ は「ラジアン(radian)」と読む．

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正確には，「円弧と半径が等しいときの中心角を $1[\mrm{rad}]$ と定める」なのですが，ここでは同値な上の条件を定義としておきましょう．

この定義から，半径1の円においては，

中心角 $\theta[\mrm{rad}]$
弧の長さが $\theta$

であることは全く同じということになります．

考え方はシンプルですね！

また，「弧度法」においては，単位の $[\mrm{rad}]$ を省略することが多いです．

つまり，「中心角 $\theta[\mrm{rad}]$ 」というのと「中心角 $\theta$ 」というのは，同じことを意味します．

例1

半径1，中心角が $\dfrac{\pi}{3}$ の扇形は下図のようになります．

半径1の円においては，「(中心角)=(弧の長さ)」なので弧の長さ $\ell$ は $\ell=\dfrac{\pi}{3}$ です．

例2

半径2，中心角が $\dfrac{\pi}{3}$ の扇形は下図のようになります．

例1のように，半径1の円においては「(中心角)=(弧の長さ)」したが，半径が2になれば弧の長さも2倍になります．

ですから，半径2の場合の円周は

$\begin{align*} \ell=2\cdot\dfrac{\pi}{3} =\dfrac{2\pi}{3} \end{align*}$

となります．

半径1の円においては，「中心角 $[\mrm{rad}]$ =(弧の長さ)」が成り立つ．半径が $r$ の場合は，相似であることからこの長さも $r$ 倍となる．

度数法と弧度法の関係

実際に計算すれば分かりますが，[度数法]と[弧度法]の関係は下表のようになります．

[度数法]と[弧度法]の関係
度数法	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
弧度法	0	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$

以上の有名角の $30^\circ$ ， $45^\circ$ ， $60^\circ$ は，すぐに弧度法で考えられるようになっておいてください．特に，

度数法での $180^\circ$
弧度法での $\pi$

が一致することを意識しておけば，

6等分すれば $30^\circ=\dfrac{\pi}{6}$
4等分すれば $45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$
3等分すれば $60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$

となることが分かりますね．

[1]　 $30^\circ$ の場合は6等分

[2]　 $45^\circ$ の場合は4等分

[3]　 $60^\circ$ の場合は3等分

弧度法の公式

弧度法について，以下が成り立ちます．

半径 $r$ ，中心角 $\theta$ の扇形について，弧の長さを $\ell$ ，面積を $S$ とすると，以下が成り立つ．

$r\theta=\ell$
$\dfrac{1}{2}r^{2}\theta=S$

弧の長さの公式

1つ目の公式 $r\theta=\ell$ は，上の例で見たように，相似の考え方を使うことで分かります．

半径1，中心角 $\theta$ の扇形
半径 $r$ ，中心角 $\theta$ の扇形

の2つを考えると，下図のようになります．

先ほど説明したように，半径1の扇形においては(中心角)=(弧の長さ)なので $\theta$ でした．

左の扇形(半径1)と右の扇形(半径 $r$ )の相似比は $1:r$ ですから，弧の長さも当然 $1:r$ となります．

よって，半径 $r$ の扇形の弧の長さは $r\theta$ となりますね．

面積の公式

まずは扇形の面積の公式を復習しておきましょう．

半径 $r$ ，弧の長さ $\ell$ の扇形の面積は $\dfrac{1}{2}r\ell$ である．

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詳しい説明は省略しますが，

高さ $r$ ，底辺の長さ $\ell$ の三角形の面積
半径 $r$ ，弧の長さ $\ell$ の扇形の面積

はどちらも $\dfrac{1}{2}r\ell$ ですね．

さて，これが分かっていれば，1つ目の公式から扇形の面積公式が得られます．

半径 $r$ ，中心角 $\theta$ の扇形の弧の長さは $r\theta$ でしたから，面積 $S$ は

$\begin{align*} S=\dfrac{1}{2}r\cdot r\theta =\dfrac{1}{2}r^2\theta \end{align*}$

となりますね．

扇形に関する公式は半径1，中心角 $\theta$ の扇形との相似を考えれば簡単に得られる．

【次の記事：三角関数４｜有名角の三角関数は覚えるな！図で判断するコツ】

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