論理と集合

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論理と集合の基本5|「逆,裏,対偶」と対偶の利用

論理と集合の基本4|命題と集合の関係】の続きです.

この記事では,命題の「逆」,「裏」,「対偶」について説明します.「逆」と「裏」に関しては目新しい重要な定理はないのですが,「対偶」に関しては次の定理が成り立ちます.

命題「p\Rightarrow q」の真偽は,その対偶「\overline{q}\Rightarrow\overline{p}」の真偽に一致する.

この事実は非常に重要で,背理法の根拠にもなっています.

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論理と集合の基本4|命題と集合の関係

論理と集合の基本3|必要条件と十分条件】の続きです.

前回の記事では,条件pqに対するp\Rightarrow qの形の命題について,「必要条件」と「十分条件」を説明しました.

条件は集合を用いて表すことができるのですが,命題の真偽を集合の包含関係を用いて考えることができます.

この記事では,条件pをみたす集合Pと条件qをみたす集合Qを考えたときの,命題p\Rightarrow qと集合PQの関係について書きます.

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論理と集合の基本3|必要条件と十分条件

論理と集合の基本2|ド・モルガンの法則】の続きです.

数学では「仮定」が何で,「結論」が何かということを意識するのは非常に重要です.これを間違えるとまったく意味のない議論になってしまい,すべてが破綻することもあります.

たとえば,「pであるとき,qを証明せよ.」という問いで,証明の中でqを使ってしまうという誤りがよくあります.これは「まだqが成り立つか分かっていないのに,qが成り立つ前提で話を進めてしまっている」というのが間違いです.

この記事では,論理関係の基本として,必要条件,十分条件について詳しく説明します.

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論理と集合の基本2|ド・モルガンの法則

論理と集合の基本1|集合の基礎知識】の続きです.

この記事では,前回の記事で説明した集合の共通部分,和集合,補集合などが合わさったときに,集合がどうなるかということを説明します.

そのなかでポイントとなるのが「ド・モルガンの法則(de Morgan’s law)」です.

「ド・モルガンの法則」は「共通部分の補集合や,和集合の補集合をとったときにどうなるのか」ということを述べた定理で,基本中の基本です.

「ド・モルガンの法則」空気を吸うように当たり前に使えるようになっておいてほしいところです.

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論理と集合の基本1|集合の基礎知識

集合は数学の基礎です.全ての数学の基礎は集合にあるといってよいほど大切な概念です.しかし,高校数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思います.

確かに大学で専門的に数学をする場合以外では,そこまで意識しなくても大丈夫な場合が多いのも事実です.しかし,数学を学ぶ上で最低限の集合に関する知識はもっておきたいところです.

とはいえ,高校数学の段階では「場合の数」や「確率」などの分野で集合を扱うことになります.集合の和集合,共通部分,補集合などの扱いには慣れておく必要があります.

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背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例

背理法1|背理法の仕組みと例】の続きです.

前回の記事では,「背理法」の基本的な考え方を説明しました.「最初に結論が間違っていると決め付けて,それを利用して矛盾を導くことでその決めつけが間違っている」という論法が「背理法」でした.

例えるなら,「相手の嘘を暴くには,相手にその嘘と矛盾することを喋らせれば良い」というわけですね

この記事では,どのようなタイプの証明に「背理法」が有効なのかを説明します.また,その理由も説明します.

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背理法1|背理法の仕組みと例

数学の証明には色々な論法が用いられますが,その中でも「背理法」は非常に重要な証明法です.

「背理法」は本質には「命題とその対偶の真偽は一致する」という事実があります.

【参考記事:論理と集合の基本5|「逆,裏,対偶」と対偶の利用

細かい話は抜きにして,実用的には \sqrt{2}が無理数である」「素数は無限に存在する」などの事実の証明に用いられます.他には受験数学で有名な<b style="color: red;"> </b>\tan{1^{\circ}}は無理数か.」という京都大学の過去の入試問題も背理法を使って解きます.

この記事ではまず「背理法」がどんな論法なのかを説明し,次の記事で「背理法」がどのような証明に対して有効なのかを説明します.

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