２円の２交点を通る直線・円の方程式はこう求めよ！

$xy$平面上の２点で交わる２円$C_1$, $C_2$の方程式が与えられたとき，２交点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$を通る円や直線の方程式はどのように求められるでしょうか？

素朴に考えるなら，円$C_1$の方程式と円$C_2$の方程式を連立させて解けば$\mrm{A}$, $\mrm{B}$の座標が得られるので，そこから２点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$を通る直線と円の方程式が求められます．

しかし，円の方程式は２次なので計算は煩雑になるため，このアプローチはあまり上手くありません．

実は２点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$を通る直線や円がまとめて得られる公式があり，この公式を使えば面倒な計算をする必要がありません．

この記事では

２円の２交点を通る直線の方程式
２円の２交点を通る円の方程式

を順に説明します．

「図形と方程式」の一連の記事

２円の２交点を通る直線の方程式
1. 公式
2. 証明
２円の２交点を通る直線の方程式
1. 公式
2. 証明

２円の２交点を通る直線の方程式

２交点をもつ異なる円$C_1$, $C_2$を考えるとき，２交点を通る直線$\ell$が１本だけ存在しますね．

公式

これら２円$C_1$, $C_2$を$xy$平面上において，$C_1$, $C_2$の方程式が分かっているとき，直線$\ell$の方程式は次のように得られます．

$xy$平面上の２つの交点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$をもつ異なる２円$C_1$, $C_2$の方程式が

$\begin{align*}&C_1:x^2+y^2+ax+by+c=0, \\&C_2:x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0\end{align*}$

であるとする．このとき，直線$\mrm{AB}$の方程式は

$\begin{align*}(a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0\end{align*}$

である．

この方程式$(a-a’)x+(b-b’)y+(c-c’)=0$は$C_1$, $C_2$の方程式で辺々を引いてできる方程式ですね．

例えば，$xy$平面上の２円

$\begin{align*}&C_1:x^2+y^2-4=0, \\&C_2:x^2+y^2-4x+2y+3=0\end{align*}$

は２つの交点を持ちます．

このときの２交点を通る直線$\ell$の方程式は

$\begin{align*}&(x^2+y^2-4)-(x^2+y^2-4x+2y+3)=0 \\\iff&4x-2y-7=0\end{align*}$

と得られるわけですね．

証明

公式を証明しましょう．

（再掲）$xy$平面上の２つの交点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$をもつ異なる２円$C_1$, $C_2$の方程式が

$\begin{align*}&C_1:x^2+y^2+ax+by+c=0, \\&C_2:x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0\end{align*}$

であるとする．このとき，直線$\mrm{AB}$の方程式は

$\begin{align*}(a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0\quad\dots(*)\end{align*}$

である．

以下の証明で本質的に重要なのは(1)です．考え方を理解するために(1)はよく理解しておいてください．

直線$\mrm{AB}$の方程式が$(*)$であることを示すには

２点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$が方程式$(*)$のグラフ上に存在すること
$x,y$の方程式$(*)$のグラフが直線であること

を示せば良い．

(1)　点$\mrm{A}$の座標を$(p,q)$とする．点$\mrm{A}$は円$C_1$上の点でも円$C_2$上の点でもあるから，

$\begin{align*}&p^2+q^2+ap+bq+c=0, \\&p^2+q^2+a'p+b'q+c'=0\end{align*}$

が成り立つ．この辺々を引いて

$\begin{align*}(a-a')p+(b-b')q+(c-c')=0\end{align*}$

が成り立つから，点$\mrm{A}(p,q)$は$x,y$の方程式$(*)$のグラフ上の点である．

同様に点$\mrm{B}$も$x,y$の方程式$(*)$のグラフ上の点である．

(2)　$a-a’$と$b-b’$の少なくとも一方が$0$でないことを示せば良い．

$a-a’=0$かつ$b-b’=0$であると仮定すると，$(a,b)=(a’,b’)$だから各方程式の左辺を平方完成して$C_1$, $C_2$の中心が一致することが分かり，

$c\neq c’$なら中心が等しく半径が異なるから，交点を持つという仮定に矛盾
$c=c’$なら$C_1$, $C_2$が一致するから，$C_1$, $C_2$が異なるという仮定に矛盾

といずれの場合も矛盾する．

よって，仮定は誤りなので$a-a’$と$b-b’$の少なくとも一方は$0$でないから，結局$x,y$の方程式$(*)$のグラフは直線である．

(2)では$x,y$の方程式$Ax+By+c=0$のグラフが直線であるためには，$A$と$B$の少なくとも一方が$0$であることが必要十分であることを用いています．

詳しくは以前の記事を参照してください．

図形と方程式４
一般の直線の方程式と平行条件・垂直条件

xy平面上の直線にはy=ax+bの形の方程式で表せない直線があり，そのような直線も併せて表せる直線の方程式を「一般の直線の方程式」といいます．この記事では，一般の直線の方程式の平行条件・垂直条件を具体例とともに説明します．

２円の２交点を通る直線の方程式

２交点をもつ異なる円$C_1$, $C_2$を考えるとき，２交点を通る円はたくさん存在しますね．

公式

これら２円$C_1$, $C_2$を$xy$平面上において，$C_1$, $C_2$の方程式が分かっているとき，直線$\ell$の方程式は次のように得られます．

$xy$平面上の２つの交点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$をもつ異なる２円$C_1$, $C_2$の方程式が

$\begin{align*}&C_1:x^2+y^2+ax+by+c=0, \\&C_2:x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0\end{align*}$

であるとする．このとき，２点$\mrm{A}, \mrm{B}$を通る円の方程式は

$\begin{align*}k(x^2+y^2+ax+by+c)-k'(x^2+y^2+a'x+b'y+c')=0\end{align*}$

と表せる．ただし，$k$, $k’$は異なる定数である．

２交点$\mrm{A},\mrm{B}$を通るどんな円の方程式も，うまく異なる定数$k$, $k’$をとれば作ることができるというわけですね．

$k=k’$の場合は２次の項が消えて直線の方程式となります．つまり，先ほどの２交点を通る直線の方程式が出来上がるわけですね．

例えば，先ほども考えた２交点をもつ$xy$平面上の２円

$\begin{align*}&C_1:x^2+y^2-4=0, \\&C_2:x^2+y^2-4x+2y+3=0\end{align*}$

に対して，$k=1$, $k’=-1$とすると

$\begin{align*}&1\cdot(x^2+y^2-4)-(-1)(x^2+y^2-4x+2y+3)=0 \\\iff&2x^2+2y^2-4x+2y-1=0 \\\iff&x^2+y^2-2x+y-\frac{1}{2}=0\end{align*}$

で表される円$C$は下図のようになります．

このように，$k$と$k’$に異なる値を入れると円がひとつ出来上がります．

証明

公式を証明しますが，２交点を通る直線の場合と同じです．

（再掲）$xy$平面上の２つの交点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$をもつ異なる２円$C_1$, $C_2$の方程式が

$\begin{align*}&C_1:x^2+y^2+ax+by+c=0, \\&C_2:x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0\end{align*}$

であるとする．このとき，２点$\mrm{A}, \mrm{B}$を通る円の方程式は

$\begin{align*}k(x^2+y^2+ax+by+c)-k'(x^2+y^2+a'x+b'y+c')=0\quad\dots(*)\end{align*}$

と表せる．ただし，$k$, $k’$は異なる定数である．

２交点を通る直線の時と同じく，この証明で本質的に重要なのは$(*)$上に２交点$\mrm{A}, \mrm{B}$が存在することです．

ここでは，このことのみ示しましょう．

２点$\mrm{A}$, $\mrm{B}$が方程式$(*)$のグラフ上に存在することのみ示す．

点$\mrm{A}$の座標を$(p,q)$とする．点$\mrm{A}$は円$C_1$上の点でも円$C_2$上の点でもあるから，

$\begin{align*}&p^2+q^2+ap+bq+c=0, \\&p^2+q^2+a'p+b'q+c'=0\end{align*}$

が成り立つ．よって，それぞれ両辺を$k$倍，$k’$倍して辺々引くと，

$\begin{align*}k(p^2+q^2+ap+bq+c)-k'(p^2+q^2+a'p+b'q+c')=0\end{align*}$

が成り立つから，点$\mrm{A}(p,q)$は$x,y$の方程式$(*)$のグラフ上の点である．

同様に点$\mrm{B}$も$x,y$の方程式$(*)$のグラフ上の点である．

図形と方程式９
２円の共有点を通る直線・円はこう求めよ！

２円の２交点を通る直線の方程式

公式

証明

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公式

証明

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