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ワンポイント数学2|絶対値の定義と直感的理解

  
   

「絶対値は中身が0以上ならそのまま外す,中身が負ならマイナスをかけて外す」と絶対値の外し方を言うことができる人は多いです.

それはそれで素晴らしいことなのですが,「じゃあ,その理由は?」を聞いても考え込んでしまう人が多いのも事実です.これは絶対値のイメージが意識できていないのが原因です.

絶対値のイメージをもっている人は,たとえば絶対値を含んだ不等式|x-3|<5などは瞬時に解くことができます.

絶対値のイメージをしっかり理解して,自信を持って扱えるようにしてください.

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絶対値の定義と帰結

絶対値の定義を聞くと,冒頭に書いたような「中身が0以上のときは中身の値になって,負のときは中身の値にマイナスがつくもの」と言う人が少なからずいます.

確かに,絶対値の性質としてこれは間違ってはいませんが,定義ではありません.

定義

絶対値の定義は次の通りです.

[絶対値] 実数aに対して,aと原点0との距離を|a|で表し,|a|aの絶対値という.

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絶対値は|3||-3|のように|\quad|の間に数字を挟んで表しますが,なんということはなく絶対値は「原点との距離」を表しているだけなのです.

ここで大切なことは次の[事実]です.

[事実] 実数abの大小関係がb<aであれば,abの距離はa-bである.

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いわゆる「距離は大ひく小」です.

中学で耳にタコができるほど言われた人もいるかもしれませんね.要するに,数直線上の2点について,右にあるものから左にあるものを引けば2点間の距離が出るということです.

数直線を思い浮かべて,以下の例を考えてください.

  • 2と原点0との距離は2-0=2ですから,|2|=2です.
  • -2と原点0との距離は0-(-2)=2ですから,|-2|=2です.
  • \piと原点0との距離は\pi-0=\piですから,|\pi|=\piです.
  • 0と原点0との距離は0-0=0ですから,|0|=0です.
  • -\f{2}{3}と原点0との距離は0-\bra{-\f{2}{3}}=\f{2}{3}ですから,\abs{-\f{2}{3}}=\f{2}{3}です.

[定義(絶対値)]と[事実]を考えれば当たり前ですね?

帰結

さて,次にa\ge0のときの|a|と,a<0のときの|a|を考えてみます.

  1. a\ge0のとき,aと原点0との距離はa-0=aですから,|a|=aです.
  2. a<0のとき,aと原点0との距離は0-a=-aですから,|a|=-aです.

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実際に数直線をイメージして[定義(絶対値)]と[事実]を考えてみてください.実際に,a=3a=-3を代入して読んでみるとより納得できると思います.

さて,これが絶対値の定義から出てくる帰結の1つ目です.

[帰結1] 絶対値について,次が成り立つ.

|a|=\begin{cases}a&(a\ge0)\\-a&(a<0)\end{cases}

これが冒頭に書いた「絶対値の中身が正のとき……」の正体ですね.

また,次の[帰結2]も当たり前にしておきましょう.

[帰結2] 実数abに対して,|a-b|abの距離を表す.

簡単に説明します.

|a-b|a-bと原点0との距離でした.

よって,数直線上でa-bを右にちょうどbだけ動かしたaと,原点0を右にちょうどbだけ動かしたbとの距離も,並行移動しただけですから|a-b|です.

したがって,|a-b|abの距離を表すことが分かりました.

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この[帰結2]はほとんど定義そのままですが,非常に強力にはたらくことも多いです.

絶対値の定義から簡単に解ける問題

さて,[帰結1]を読んで,

「間違ってへんねんから,絶対値の定義じゃなくて[帰結1]覚えといたらええやん!」

という意見があるかもしれません.

しかし,絶対値の定義をしっかり意識していれば,次のような問題は瞬時に解けます.

次の不等式を解け.

[問1] |x|=2

[問2] |x|<2

[問3] |x-3|<5

[解答]

[問1] [定義]から|x|xと原点0との距離を表す.よって,|x|=2は「xと原点0との距離が2」ということである.

したがって,x=\pm2を得る.

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[問2] [定義]から|x|xと原点0との距離を表す.よって,|x|<2は「xと原点0との距離が2より小さい」ということである.

したがって,-2<x<2を得る.

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[問3] [帰結2]から|x-3|x3との距離を表す.よって,|x-3|<5は「x3との距離が5より小さい」ということである.

したがって,3-5<x<3+5,すなわち-2<x<8を得る.

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[解答終]

絶対値の定義がしっかり意識できていれば,当たり前ですね?

  • [問1]は原点との距離が2なのはどこですか?
  • [問2]は原点との距離が2より小さいのはどこですか?
  • [問3]は3との距離が5より小さいのはどこですか?

という問題に過ぎないことが分かりますね.

絶対値のイメージが威力を発揮するさまをご覧頂けたでしょうか?

最後までお読み頂き,ありがとうございました!

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