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ワンポイント数学3|0で割ってはいけない理由

  
   

小学校で習う割り算ですが,割り算ではやってはいけないことがあります.この記事のタイトルにもあるように,それは「0で割る」ということです.

掛け算では0が出てくれば直ちに0になりますし,割り算でも0をどんな数で割っても0になることは事実です.そのためか,そのまま割り算でも0が出てくれば0だと勘違いしてしまうことがあるようです.

この記事で,0で割ってはいけない理由をしっかり理解してください.

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0で割ってはいけない理由

0で割ることがなぜダメなのか」の説明の前に,電卓を使って3\div0を計算してみるとどうなるでしょうか?

一度やってみてください.

結果は電卓によって変わるかもしれませんが,少なくとも0にはならないはずです.

なお,私のスマートフォンの電卓では”3\div0=\infty“となり,関数電卓では”Math Error”となりました.(なお,スマートフォンの\inftyという答えは数学的にも間違いです.)

ともかく,「どうやら3\div00ではないらしい」ということを少しでも感じてもらえれば,とりあえずこの電卓遊びは成功です.

さて,0で割ってはいけない理由ですが,実はそれほど難しい話ではありません.

そもそも割り算とは掛け算の逆演算として定義されたのでした.つまり,例えば3\times2=6という掛け算から,6\div3=26\div2=3を考えるのが割り算でした.

ですから,一般的には,次のように書けますね.

[割り算] 実数abcに対して,a\times b=cが成り立っているとき,c\div a=bc\div b=aと表す.

さて,ここで0で割ることを考えてみます.

もし,3\div0が何らかの実数Xになったとします.つまり,3\div0=Xと書けたとします.このとき,3\div0=Xの元の掛け算は0\times X=3ですね.

さて,この0\times X=3の意味は「X0をかけると3になる」ということですが,実数に0をかけると必ず0になるので,3にはなり得ません.

したがって,3\div0の結果をどのようにしても,掛け算に直したときにおかしなことになってしまうのです.

以上のように,「0で割る」というのは割り算の定義から,おかしなことをしていることが分かりますね.

補足

いくつか補足をします.

直感的におかしい理由

なお,「0除算」が直感的におかしい理由を(厳密ではないですが)1つ書いておきます.

例えば,

[1]
3\div1=3
3\div0.1=30
3\div0.01=300
3\div0.001=3000
……

と割る数を正の方からどんどん0に近づけていくと,商はどんどん大きくなります.(極限を使って書けば,\li_{x\to\infty}3\div x=\inftyとなります.)

一方,

[2]
3\div(-1)=-3
3\div(-0.1)=-30
3\div(-0.01)=-300
3\div(-0.001)=-3000
……

と割る数を負の方からどんどん0に近づけていくと,商はどんどん小さくなります.(極限を使って書けば,\li_{x\to-\infty}3\div x=-\inftyとなります.)

このように,[1]も[2]も同じく3\div0に近付いているはずなのに,かたや非常に大きくなり,かたや非常に小さくなります.

この例からも,3\div0を定義するのは難しそうですね.

1=2の証明

数学(算数)において,「0除算」はハッキリやってはいけないことなのですが,実際に「0除算」を使うと,あたかも1=2が証明できているように見える「ナンチャッテ証明」があります.

[ナンチャッテ証明]

a=bが成り立っているとする.

このとき,両辺にaをかけてa^2=abとなり,さらに両辺からb^2を引くことでa^2-b^2=ab-b^2となります.

両辺を因数分解すると(a-b)(a+b)=(a-b)bだから,両辺をa-bで割ってa+b=bとなる.

a=bだったから2b=bとなり,両辺をbで割って1=2が従う.

[ナンチャッテ証明終]

さて,色々とカモフラージュされておかしいところが見えづらいですが,ダメなところが分かるでしょうか?

途中で「a-bで両辺を割って」いますが,もともとa=bでしたからa-b=0ですね.ですから,ここで「0除算」をしてしまっているのが問題なのです.

もし分かり辛ければ,実際にa=1b=1とおいて,上のナンチャッテ証明を追ってみれば,おかしなところが分かりやすいかもしれません.

不能と不定

覚える必要はありませんが,数学には「不能」と「不定」という言葉があります.

あまり詳しく説明しませんが,これらを平たくいうと「存在しないこと」を「不能」,「1つに定まらないこと」を「不定」ということになります.

身近な例では,「方程式で解なしの場合」を「不能」,「方程式で解が無数の場合」を「不定」となります.

不能となる場合

上のように3\div0=Xを考えた場合,掛け算になおすと0\times X=3をみたすXが存在しませんでした.

ですから,この場合には「不能」となります.

3\div0は?」や「1\div0は?」などと聞かれたときには,「定義できない」や「不能」と答えるのが正しいことになります.

不定となる場合

一方,0\div0を考えた場合は「不能」ではありません.

もし,0\div0=Xとなったとすると,もとの掛け算はo\times X=0となります.0にどんな実数をかけても0でしたから,Xが何であってもこの掛け算をみたします.

したがって,0\div0の場合は値が1つに定まらないので「不定」となるわけです.

0\div0は?」と聞かれたときには,「定まらない」や「不定」と答えるのが正しいことになります.

最後まで読んで頂きありがとうございました!

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