ワンポイント数学4
0で割るのは反則!ダメな理由を説明

ワンポイント数学
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例えば,

  • ${}0\times6$
  • ${}6\times0$
  • ${}0\div6$

はいずれも答えは${}0$です.では,${}6\div0$はどうでしょうか?

結果から言えば,実は${}6\div0$の答えは${}0$ではないどころか定義ができません.

このように$0$で割ることを$0$除算などといいますが,数学では$0$除算は論理的に不合理なことをしているので避けなければなりません.

この記事では

  • $0$で割ってはいけない理由
  • $0$で割るとどうおかしなことが起こるか

などを説明します.

${}0$で割ってはいけない理由

まずは$0$で割ってはいけなさそうなことを実感しましょう.

電卓で実験してみる

電卓を使って$6\div0$を計算してみるとどうなるか,試してみたことはあるでしょうか?

是非とも一度やってみて欲しいのですが,少なくとも$0$にはならないはずです.

なお,

  • 私のスマートフォンの電卓では”$6\div0=\infty$”
  • 関数電卓では”Math Error”

となりました

$6\div0=\infty$という答えは数学的にも間違いです.

また,電卓で

  • $0\times6$
  • $6\times0$
  • $0\div6$

を計算するとはいずれも$0$になります.

このことからも「どうやら$6\div0$は少なくとも仲間はずれではあるらしい」ということが感じられると思います.

${}0$除算が直感的におかしい理由

もうひとつ${0}$除算が直感的におかしい理由を挙げておきます.例えば,

   \begin{align*} &6\div1=6, \\&6\div0.1=60, \\&6\div0.01=600, \\&6\div0.001=6000, \\&\quad\vdots \end{align*}

と割る数を正の方からどんどん$0$に近づけていくと,商はどんどん大きくなっていきます.

一方,

   \begin{align*} &6\div(-1)=-6, \\&6\div(-0.1)=-60, \\&6\div(-0.01)=-600, \\&6\div(-0.001)=-6000, \\&\quad\vdots \end{align*}

と割る数を負の方からどんどん$0$に近づけていくと,商はどんどん小さくなります.

このように,どちらも同じく$6\div0$に近付いているはずなのに,一方は無限に増加し,他方は無限に減少します.

このことは反比例のグラフ$y=\dfrac{6}{x}$を考えれば分かります.

Rendered by QuickLaTeX.com

確かに

  • $x$を正の方から$0$に近付けると,どんどん大きく
  • $x$を負の方から$0$に近付けると,どんどん小さく

なっていますね.こう考えても確かに$6\div0$をうまく値として定義するのは難しそうですね.

以上のことは数IIIの言葉を使うと

  • 右極限$\lim\limits_{x\to+0}\frac{6}{x}=\infty$
  • 左極限$\lim\limits_{x\to-0}\frac{6}{x}=-\infty$

が一致しないと説明できます.

${}0$除算がダメな理由

そもそも割り算は掛け算の逆演算として定義されたのでした.

例えば,$3\times2=6$という掛け算をもとに,割り算は$6\div2=3$や$6\div3=2$と表すのでした.

このことは,一般には次のように書けますね.

実数$a$, $b$, $c$が$a\times b=c$をみたすとき,$c\div a=b$や$c\div b=a$と表す.

さて,ここで$0$で割ることを考えてみます.

$6\div0$が何らかの実数$X$になったとしましょう.つまり,$6\div0=X$と書けたとします.

このとき,$6\div0=X$のもとの掛け算は

   \begin{align*}0\times X=6\end{align*}

ですが,$X$がどんな数であっても$0$をかけると必ず$0$になるので,等式$0\times X=6$は成り立ち得ません.

したがって,$6\div0=0$の結果をどのような実数$X$としても,掛け算に直したときにおかしなことになってしまうわけですね.

これが$0$除算がダメな理由です.

補足

いくつか補足をします.

${}1=2$のナンチャッテ証明

数学において$0$除算はハッキリやってはいけないことなのですが,$0$除算を使うとあたかも$1=2$が証明できているように見える「ナンチャッテ証明」があります.

以下の議論の誤りを指摘せよ:

$a=b$が成り立っているとする.このとき,両辺に$a$をかけて

   \begin{align*}a^2=ab\end{align*}

となり,さらに両辺から$b^2$を引くことで

   \begin{align*}a^2-b^2=ab-b^2\end{align*}

となる.両辺を因数分解すると

   \begin{align*}(a-b)(a+b)=(a-b)b\end{align*}

だから,両辺を$a-b$で割って$a+b=b$となる.

$a=b$だったから$2b=b$となり,両辺を$b$で割って$1=2が従う.

色々とカモフラージュされておかしいところが見えづらいかもしれませんが,ダメなところが分かるでしょうか?

もし分かり辛ければ,実際に$a=1$, $b=1$とおいて追ってみれば,おかしなところが分かるかもしれません.


もともと$a=b$だったから$a-b=0$なので,$a-b$で両辺を割るということは$0$除算をしてしまっている点が誤りである.

例えば,もし$a=b=1$のとき,途中の

   \begin{align*}(a-b)(a+b)=(a-b)b\end{align*}

は$0\times2=0\times1$であるが,ここから$2=1$と結論づけていることになっている.

不能と不定

覚える必要はありませんが,

  • 「存在しないこと」を不能
  • 「1つに定まらないこと」を不定

といいます.例えば,

  • 「方程式で解なしの場合」を不能
  • 「方程式で解が無数の場合」を不定

となるわけですね.

不能となる場合

上のように$6\div0=X$を考えた場合,掛け算になおすと$0\times X=6$をみたす$X$が存在しませんでした.

したがって,この場合には不能となります.

「$3\div0$は?」や「$1\div0$は?」などと聞かれたときには,「定義できない」や「不能」と答えるのが正しいことになります.

不定となる場合

一方,$0\div0=X$となったとすると,もとの掛け算は$0\times X=0$となります.$0$にどんな実数をかけても$0$でしたから,$X$が何であってもこの掛け算をみたします.

したがって,$0\div0$の場合は値が1つに定まらないので不定となります.

「$0\div0$は?」と聞かれたときには,「定まらない」や「不定」と答えるのが正しいことになります.

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