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ワンポイント数学3|根号(ルート)の基本と二重根号の外し方

  
   

根号(ルート)の中身が2乗であれば,根号\ro{\quad}が外れるのはよく知られていますが,そこでよくある間違いがあります.

実数aに対して,\sqrt{a^2}で根号\ro{\quad}を外すとどうなるのか,正しく言えるでしょうか?

\sqrt{a^2}=aは間違いですよ.

また,これが正しく言えなければ,\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1といった二重根号を外すときにも間違いをしかねません.

この記事で,根号\ro{\quad}の扱いを確実にしてください.

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根号の基本

まず,「平方根」と「根号」の定義をしましょう.

[根号] baの「平方根」であるとは,b^2=aをみたすことをいう.

また,0以上の実数aに対して,「a0以上の平方根」を\sqrt{a}と表す.この記号\ro{\quad}の名前を「根号」といい,「ルート」と読む.

0の平方根は0だけですね.

また,「正の数aの平方根」は正と負の2つあります.そのうちの,正の方を\sqrt{a}と表すわけですから,中身が正の数であれば\ro{\quad}は正であると即答できます.

なお,負の実数にも平方根を考えることはできますが,この記事では正の実数の平方根を考えることにします.

平方根の性質

次の平方根の性質は基本的です.

[基本性質] 根号\ro{\quad}に関して,次が成り立つ.

  1. 実数abの平方根なら,-abの平方根である.
  2. 正の実数aに対して,(\sqrt{a})^2=a
  3. 正の実数abに対して,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\ro{b}が成り立つ.

[証明]

1.実数abの平方根であることから,a^2=bが成り立つ.

よって,(-a)^2=a^2=bなので,[定義]から-abの平方根である.

2.\sqrt{a}aの平方根の1つだから,2乗するとaとなる.すなわち,[定義]から(\sqrt{a})^2=aが成り立つ.

3.\sqrt{a}\sqrt{b}は正の数であり,2より(\sqrt{a}\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2=abが成り立つから,\sqrt{a}\sqrt{b}abの正の平方根である.

よって,[定義]から,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}が成り立つ.

[証明終]

2乗の平方根

さて,ここで実数aに対して,\sqrt{a^2}がどうなるのかを考えてみます.

実数aに対してa^20以上の実数なので,[定義]から\sqrt{a^2}2乗してa^2になる正の数です.

2乗してa^2となる数は\pm aですから,\sqrt{a^2}a-aの正の方となるわけですが,実数aという条件だけではa-aのどちらが正の数か分かりません.

ですが,もしa\ge0a<0という条件があれば,話は別です.つまり,次の[事実]が成り立ちます.

[事実] 実数aに対して,次が成り立つ.

\sqrt{a^2}=\begin{cases}a&(a\ge0)\\-a&(a<0)\end{cases}

a\ge0のときには\ro{a^2}=aなのですが,a<0のときには\ro{a^2}=-aとなります.

a<0のときに\ro{a^2}=a」ではないことに納得できるでしょうか?

\ro{a^2}は正の数ですから,a<0の場合に\ro{a^2}=a<0となって,これでおかしいことが分かりますね.

また,\ro{a^2}=aaに具体的に負の数を代入してみても,おかしいことが実感できると思います.例えば,a=-3とすると,\ro{(-3)^2}=-3となるわけですが,\ro{(-3)^2}=\ro{9}=3が正しいのですから,これは明らかにおかしいですね.

このように,a<0の場合には根号\ro{\quad}の中身が負の数の2乗となっているため,そのまま根号\ro{\quad}を外すと負の数となってしまいおかしくなるのです.

さて,[事実]の式の右辺をどこかで見た覚えはないでしょうか?

実は,[事実]の式の右辺は絶対値|a|と全く同じなのです.つまり,|a|a\ge0のときはaa<0のときは-aとなのです.

【参考記事:ワンポイント数学2|絶対値の定義と直感的理解

つまり,次の[事実’]が成り立ちます.

[事実’] 実数aに対して,次が成り立つ.

\sqrt{a^2}=|a|

このように,\sqrt{a^2}を根号\ro{\quad}を外すと絶対値となるのです.

と,書いてきましたが,よく考えると実数aに対して|a|0以上の実数であり,2乗するとa^2になるので[定義]から\sqrt{a^2}=|a|となるのは当たり前ですね(笑).

当たり前ですが,先ほど書いたa\ge0a<0で場合分けして考えることも大切ですから,このあたりはどちらの考え方でも直感的に当たり前にしておきたいところです.

 

根号\ro{\quad}の中身が正の数であれば,いつでも正である.また,根号\ro{\quad}の中身が2乗になっているとき,根号\ro{\quad}を外すことができるが,その際絶対値|\quad|を忘れないようにする.

二重根号

根号\ro{\quad}の中に根号\ro{\quad}が入ったものを二重根号と言いますが,二重根号は\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1のように二重根号を外すことができる場合があります.

二重根号\ro{\ro{\quad}}を外すために実数abに対して,\sqrt{(a\pm b)^2}=|a\pm b|が成り立つことを用います.

したがって,根号\ro{\quad}の中身をa^2\pm 2ab+b^2の形に変形することがポイントになります.

\sqrt{a^2\pm 2ab+b^2}の形に変形できれば,因数分解の公式a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2を使って,\sqrt{(a\pm b)^2}=|a\pm b|と変形できますね.

定理の形にまとめれば次のようになります.

[二重根号] 正の実数k\ellに対して,実数aba+b=kab=\ellを満たせば,次が成り立つ.

\ro{k\pm2\ro{\ell}}=|a\pm b|

 

[証明]

正の実数k\ellに対して,実数aba+b=kab=\ellを満たせば,

\ro{k\pm2\ro{\ell}}
=\ro{a\pm2\ro{a}\ro{b}+b}
=\ro{(a\pm b)^2}
=|a\pm b|

が従う.

[証明終]

因数分解の時と同じで,かけてk,たして\ellとなるようなabを見つければ良いわけですね.

このことは,因数分解の公式を使って二重根号\ro{\ro{\quad}}を外せることを知っていれば,自分で導くことができます.

【参考記事:ひねられても応用できる数学の勉強法4|数学は暗記か?

以下で例を見ますが,無理矢理にでも因数分解の公式の”2ab“の”2“を作り出して,二重根号\ro{\ro{\quad}}を外していることに注意してください.

例1

\sqrt{3+2\sqrt{2}}を考えます.

3=2+1=(\sqrt{2})^2+1^2\ro{2}=2\times\ro{2}\times1ですから,

\sqrt{3+2\sqrt{2}}
=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2\times\sqrt{2}\times1+1^2}
=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}
=\sqrt{2}+1

となります.ただし,最後の等式では,\sqrt{2}+1>0であることに注意.

例2

\sqrt{5-4\sqrt{3}}を考えます.

5=3+2=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^24\sqrt{3}=2\sqrt{6}=2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}ですから,

\sqrt{5-2\sqrt{2}}
=\sqrt{(\sqrt{3})^2-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}+(\sqrt{2})^2}
=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}
=\sqrt{3}-\sqrt{2}

となります.ただし,最後の等式では,\sqrt{3}-\sqrt{2}>0であることに注意.

例3

\sqrt{3-\sqrt{5}}を考えます.

\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\f{6-2\sqrt{5}}{2}}

であり,6=(\sqrt{5})^2+1^22\sqrt{5}=2\times\sqrt{5}\times1ですから,

\sqrt{3-\sqrt{5}}
=\sqrt{\f{6-2\sqrt{5}}{2}}
=\f{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2\times\sqrt{5}\times1+1^2}}{\sqrt{2}}
=\f{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{\sqrt{2}}
=\f{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}
=\f{\sqrt{2}\bra{\sqrt{5}-1}}{2}

となります.ただし,\sqrt{5}-1>0であることに注意.

二重根号でありがちなミス

例えば,例2では

\sqrt{5-2\sqrt{2}}
=\sqrt{(\sqrt{2})^2-2\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{3})^2}
=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}
=\sqrt{2}-\sqrt{3}

とするミスがよくあるのですが,間違いが分かるでしょうか?

\sqrt{2}-\sqrt{3}<0ですから,

=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}
=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|
=-(\sqrt{2}-\sqrt{3})
=\sqrt{3}-\sqrt{2}

としなければならないのです.ここでも,\ro{a^2}=|a|が重要であることが分かりますね.

\ro{a^2}=|a|に注意できていれば,

=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}
=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|
=-(\sqrt{2}-\sqrt{3})

としようが,

=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}
=|\sqrt{3}-\sqrt{2}|
=\sqrt{3}-\sqrt{2}

としようが同じ結果になります.

例1〜例3で最後に根号\ro{\quad}の中身の正負に言及しているのは,このように根号\ro{\quad}を外すときにそのまま外すのかマイナスをつけて外すか変わってくるためです.

2乗の平方根でパッと根号\ro{\quad}外してはいけない例の1つですね.根号\ro{\quad}の中身の正負は必ず確認するようにしてください.

また,二重根号\ro{\ro{\quad}}は必ずしも外せるわけではありませんが,外せるときには外しておかないと減点されるので注意してください.

最後までお読み頂き,ありがとうございました!

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