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三角関数2|三角比の超重要な7つの公式

前回の記事では三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を定義し,30^\circ60^\circ90^\circの三角比の値を計算しました.

さて,三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}は独立したものではなく,互いに関係性をもっています.この関係式は全部で4つあり,三角比の計算をする上では非常に重要です.

また,角度\thetaが変わったときに,三角比もどのように変わるのかも知りたいところです.

三角比では\sin{(90^\circ-\theta)}\cos{(90^\circ-\theta)}\tan{(90^\circ-\theta)}がそれぞれ\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を使って表すことができ,この3つの角度の変換公式が重要です.

本記事では,これら三角比の間の4つの関係式と,3つの角度の変換公式を説明します.

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三角比の間の4つの関係式

三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}の間には次の関係式が成り立ちます.

0<\theta<90^\circなる実数\thetaについて,

  1. \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  2. \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  3. 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  4. 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

の4つの関係式が成り立つ.

最初の3つは教科書にも載っていますが,この3つ目は「頑張って覚えている」という人が多くいます.

しかし,実は最初の2個の公式から3つ目の公式は,瞬時に求められるのでほとんど覚える必要がありません.

そして,この3つ目の公式の求め方が分かっていれば,おそらく多くの人が見慣れないであろう4つ目の公式も瞬時に求められるようになります.

さて,0<\theta<90^\circなる実数\thetaで三角比を考えるとき,\theta=\ang{A}かつ\ang{B}=90^\circを満たす\tri{ABC}を考えれば良いですね.

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このとき,\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}\sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}\tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}ですね.

公式1

\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}は三角比が3つとも現れる関係式ですね.

この式は三角比の定義から簡単に導けますが,三角比では\cos{\theta}\neq0なので分母を払った\tan{\theta}\cos{\theta}=\sin{\theta}と同値ですね.

こちらを示す方が,繁分数(分数の分数)にならなくて,少し見栄えがいいです.

[証明]

定義より,

\tan{\theta}\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\cdot\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}=\sin{\theta}

が成り立つ.

[証明終]

また,この公式は\cos{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\tan{\theta}}とも書けますね.

すなわち,この公式から三角比のうち2つが分かれば残り1つが決まるということが分かります.

公式2

\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1\sin{\theta}\cos{\theta}の関係式ですね.

つまり,この公式を使えば\sin{\theta}から\cos{\theta}が,また逆に\cos{\theta}から\sin{\theta}が得られるということになります.

この公式も公式1と同様に定義から得られますが,図形的に示すこともできます.

定義から明らかですが,三角比において以下の考え方は非常に便利です.

斜辺\mrm{AC}の長さがrの直角三角形\tri{ABC}において,

  • \mrm{AB}=r\cos{\theta}
  • \mrm{BC}=r\sin{\theta}

が成り立つ.

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つまり,斜辺の長さが分かれば,残りの2辺は\sin{\theta}\cos{\theta}をかければ得られるということになります.

したがって,斜辺の長さが1の直角三角形\tri{ABC}を考えると,残りの2辺の長さは\cos{\theta}\sin{\theta}となります.

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この三角形で三平方の定理を用いると,目的の関係式

\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1

が得られました.

このように,公式2は斜辺の長さが1の直角三角形で三平方の定理を使うだけで求められます.

これが見えれば,この公式2が三平方の定理にしか見えなくなってきますね.

公式3

1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}\tan{\theta}\cos{\theta}の関係式ですね.

つまり,この公式を使えば\tan{\theta}から\cos{\theta}が,また逆に\cos{\theta}から\tan{\theta}が得られるということになります.

この公式も公式1と同様に定義から得られますが,公式1と公式2を使えば以下のように瞬時に導くことができます.

[証明]

公式2の\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\cos^{2}{\theta}で割って,

1+\bra{\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}^{2}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}

が成り立ち,ここで公式1を使えば

1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}

が得られる.

[証明終]

\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\cos^{2}{\theta}で割って,\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\tan{\theta}に置き換えるだけですね.

これが見えるとほとんど覚える必要なく,一瞬で導くことができますね.

公式4

公式2は「\sin{\theta}\cos{\theta}の関係式」で,公式3は「\tan{\theta}\cos{\theta}の関係式」でしたから,あとは「\tan{\theta}\sin{\theta}の関係式」が欲しいですね.

実は,公式4の1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}が「\tan{\theta}\sin{\theta}の関係式」となっています.

つまり,この公式を使えば\tan{\theta}から\sin{\theta}が,また逆に\sin{\theta}から\tan{\theta}が得られるということになります.

この公式4は公式3と同様に,以下のように瞬時に導くことができます.

[証明]

公式2の\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\sin^{2}{\theta}で割って,

\bra{\dfrac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}^{2}+1=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

が成り立ち,ここで公式1を使えば

1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}

が得られる.

[証明終]

公式2の\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\cos^{2}{\theta}で割れば公式3がすぐに求まったように,\sin^{2}{\theta}で割れば公式4がすぐに求まります.

やはり,公式4もほとんど覚える必要なく,一瞬で導くことができますね.

3つの三角比の関係式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}は覚えるのがよく,\sin\cosの関係式\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1は斜辺の長さが1の直角三角形で三平方の定理を考えれば直ちに得られる.

また,この2つの公式から\tan\cosの関係式1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}\tan\sinの関係式1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}が直ちに得られる.

三角比の3つの角度の変換公式

\sin{(90^{\circ}-\theta)}\cos{(90^{\circ}-\theta)}\tan{(90^{\circ}-\theta)}は,次のように三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}で表せます.

0<\theta<90^\circなる実数\thetaについて,

  1. \sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}
  2. \cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}
  3. \tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}

の3つの関係式が成り立つ.

上と同じく,\ang{B}=90^\circかつ\theta=\ang{A}を満たす\tri{ABC}を考えます.このとき,\ang{C}=90^{\circ}-\thetaですね.

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また,\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}\sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}\tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}ですね.

公式1,公式2

直角三角形\tri{ABC}をくるっと裏返して回転させると,公式1と公式2は直ちに導かれます.

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よって,\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}なので,これは\cos{\theta}に等しいですね.同様に,\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}なので,これは\cos{\theta}に等しいです.

よって,

  1. \sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}
  2. \cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}

が得られました.

つまり,角度90^{\circ}-\theta\sin\cosは,角度を\thetaにすると入れ替わるわけですね.

このように,直角三角形を裏返した図を考えると,すぐに分かりますね.

公式3

図から\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{BC}}で,これは\tan{\theta}の逆数なので\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}は簡単に分かりますね.

また,式からも以下のように簡単に分かります.

公式3は今みた公式1,公式2と,3つの三角比の関係式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}から,以下のように直ちに得られます.

\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\sin{(90^{\circ}-\theta)}}{\cos{(90^{\circ}-\theta)}}=\dfrac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}

角度90^{\circ}-\theta\sin\cosはそれぞれ\cos\sinになるわけですから,分母に\sin,分子に\cosがきて\tan{\theta}の逆数になるわけですね.

角度90^\circ-\thetaの三角比は,角度\thetaの三角比で表せる.その際,\sin\cosに,\cos\sinに,\tan\tanの逆数になる.

 

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