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張力の基本|滑車があっても怖くない

  
   

張力は教科書でもあまり大きな扱われ方をしませんが,高校物理では頻出ですからきっちり抑えておく必要があります.

張力がはたらく場合で迷う人が多いのは,滑車が関わってくる場合です.しかし,滑車が関わってくる場合でも,張力のはたらき方はいたってシンプルです.

張力自体は全く複雑ではありません.張力のはたらき方をこの記事でしっかり押さえてください.

なお,張力を求めるためには「力のつりあい」や「運動方程式」を用いることが多いので,そちらもきっちり押さえておいてください.

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張力

まずは,張力の基本を確認します.

糸の端が物体につながっているととき,糸をピンと張ると糸が物体を引く力がはたらく.この力を「張力」という.

張力に関しては,次の[基本]が成り立ちます.

[基本] 1本の糸で物体Aと物体Bをつなぎ,糸をピンと張る.このとき,「糸が物体Aを引く張力の大きさ」と「糸が物体Bを引く張力の大きさ」は等しい.

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一本の糸の両端が引っ張る張力の大きさは等しいというわけですね.

次に滑車にかかる張力を説明しますが,これも簡単です.

[滑車の基本] 滑車に糸がかかっているとき,「滑車の両端それぞれにかかる張力」は等しい.

%e5%bc%b5%e5%8a%9b4結局,滑車があろうがなかろうが,一本の糸に関係する張力の大きさはすべて等しいわけです.

さて,言葉で説明しても「ふーん」程度の感想しか持てないと思います.以下でいくつか例を考えるので,実際に例で張力の感覚をつかんでください.

張力の例

以下でいくつかの例を見ますが,上で説明した[基本]と[滑車]を意識しながら読んでください.

なお,張力は「力のつりあい」や「運動方程式」を用いて計算することが多いので,張力の問題を解くにあたっては,これをはきちんと押さえておいてください.

例1(天井から物体を吊した場合)

%e5%bc%b5%e5%8a%9b1重力加速度をg[\mathrm{m/s^{2}}]とします.質量m[kg]の物体を天井から糸で吊るし,物体は静止しているとします.

このとき,天井と物体に張力がはたらきます.[基本]から,この張力の大きさは等しいことが分かります.この張力の大きさを求めるために,まずは張力の大きさをS[\mathrm{N}]とします.

いま,物体は静止しているので,物体にはたらく力はつりあっています.すなわち,物体にはたらく力の合力は0[\mathrm{N}]です.

物体にはたらく力は「大きさmg[\mathrm{N}]の鉛直下向きの重力」と「大きさS[\mathrm{N}]の鉛直上向きの張力」のみなので,mg-S=0だからS=mgとなります.

【参考記事:力の基本2|力のつりあいとその例

例2(2物体を滑車を通して繋いだ場合1)

%e5%bc%b5%e5%8a%9b2重力加速度をg[\mathrm{m/s^{2}}]とします.1本の糸で質量mの物体AとMの物体Bをつなぎます.この糸を天井に固定された滑車にかけると,物体Aは地面についており,物体Bは糸に吊られて宙に浮いていたとします.ただし,m>Mであるとします.

このとき,滑車と物体Aと物体Bに張力がはたらきます.[滑車の基本]から,これらのすべての張力は等しいことが分かります.この張力の大きさを求めるために,まずは張力の大きさをS[\mathrm{N}]とします.

いま,m>Mであることから,物体Aと物体Bは静止しています.したがって,物体にはたらく力はつりあっています.

とくに,物体Bに注目すると,物体Bにはたらく力は「大きさMg[\mathrm{N}]の鉛直下向きの重力」と「大きさS[\mathrm{N}]の鉛直上向きの張力」のみなので,Mg-S=0だからS=Mgとなります.

したがって,滑車にはたらく張力の大きさは,Mg[\mathrm{N}]ずつが両側にかかります.したがって,滑車には併せて大きさ2Mg[\mathrm{N}]の張力がはたらいていることが分かります.

また,物体Aにはたらく力は「大きさmg[\mathrm{N}]の鉛直下向きの重力」と「大きさS[\mathrm{N}]=Mg[\mathrm{N}]の鉛直上向きの張力」と「垂直抗力N[\mathrm{N}]」のみなので,mg-Mg-N=0だからN=(m-M)gとなります.

N=(m-M)gについて,糸がない場合の物体Aと床の間の垂直抗力はMg[\mathrm{N}]ですから,確かにを糸で物体Bが物体AをMg[\mathrm{N}]分だけ持ち上げて垂直抗力が減少しているのが分かります.

また,滑車には大きさ2Mg[\mathrm{N}]の張力がはたらいているわけですが,これは物体Bを吊っている力の大きさMg[\mathrm{N}]と垂直抗力以外の物体Aを支えている力の大きさMg[\mathrm{N}]の和であることが分かります.

確かに,いろいろ直感に即していることが確認できると思います.

例3(2物体を滑車を通して繋いだ場合2)

%e5%bc%b5%e5%8a%9b3重力加速度をg[\mathrm{m/s^{2}}]とします.1本の糸で質量mの物体AとMの物体Bをつなぎます.この糸を天井に固定された滑車にかけると,物体Aは地面についており,物体Bは糸に吊られて宙に浮いていたとします.ただし,m<Mであるとします.

例2と比べて,mMの大小が逆になっているだけですが,これが大きな違いを生みます.

さて,例2と同じく滑車と物体Aと物体Bに張力がはたらき,[滑車の基本]からこれらのすべての張力は等しいので,張力の大きさをS[\mathrm{N}]とします.

今度は,m<Mであることから,物体Bは滑車を通して物体Aを吊り上げていきます.

このとき,物体Aにはたらく力は「大きさmg[\mathrm{N}]の鉛直下向きの重力」と「大きさS[\mathrm{N}の鉛直上向きの張力」なので,合力は「大きさ(S-mg)[\mathrm{N}]の鉛直上向き」となります.

一方,物体Bにはたらく力は「大きさMg[\mathrm{N}]の鉛直下向きの重力」と「大きさS[\mathrm{N}]の鉛直上向きの張力」なので,合力は「大きさ(mg-S)[\mathrm{N}]の鉛直上向き」となります.

いま,物体Aと物体Bにはともに一定の力がはたらいているので,ともに等加速度運動をしますが,糸は常にピンと張った状態ですから,物体Aの加速度の大きさと物体Bの大きさは等しいです.

ですから,ここで物体Aの加速度の大きさ,物体Bの加速度の大きさをa[\mathrm{m/s^{2}}]とします.物体Aの加速度は鉛直上向き,物体Bの加速度は鉛直下向きですから,運動方程式から

\begin{cases} S-mg=ma\\ Mg-S=Ma \end{cases}

が成り立ちます.

【参考記事:力の基本3|運動方程式,力と質量と加速度の関係

さて,この連立方程式ですが,未知数がS,aの2つで式が2つですから,この連立方程式は解くことができます.2式の辺々を足すと,

Mg-mg=ma+Ma

ですから,a=\dfrac{(M-m)g}{m+M}を得ます.これを第1式に代入すると,

S-mg=\dfrac{(M-m)mg}{m+M}

ですから,S=\dfrac{2mMg}{m+M}を得ます.

なお,Sを求めるときには,第1式のM倍から第2式のm倍を引くことでも求められます.

例2は直感的にも求めようと思えば求められますが,例3を直感で求めるのは少々難儀ですね.物理は直感も大切ですが,きちんと計算しても止めることも大切です.

まとめ

張力に関しては「1本の糸による張力の大きさは等しい」ということを押さえておけば対処できます.

また,重力のようにパッと求められる公式がないので,張力の大きさをS[\mathrm{N}]などとおいて,「力のつりあい」や「運動方程式」を用いるのが常套手段です.

ですから,張力を求めるためには「力のつりあい」や「運動方程式」をまずは理解しておかなければなりません.

【参考記事:力の基本2|力のつりあいとその例
【参考記事:力の基本3|運動方程式,力と質量と加速度の関係

なお,「力の基本2」の記事では,張力を用いる例も挙げているので,それも考えてみてください.

最後まで読んで頂きありがとうございました!

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