ワンポイント数学３<br>平方根と根号√の基本・二重根号の外し方

根号について，次の問題に正しく答えられますか？

実数 $a$ に対して， $\sqrt{a^{2}}$ の根号 $\sqrt{}$ を外せ．

$\sqrt{a^{2}} = a$ というのは間違いですよ．

これが正しく言えなければ，例えば $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ といった二重根号を外すときにも間違いをしかねません．

この記事では

平方根と根号の基本
二重根号の外し方

を順に説明します．

平方根と根号の基本
1. 平方根と根号の性質
2. ２乗の平方根
二重根号
1. 具体例
2. 二重根号でありがちなミス

平方根と根号の基本

まずは平方根と根号の定義を確認しておきましょう．

$0$ 以上の実数 $a$ に対して， $2$ 乗して $a$ となる実数を $a$ の平方根という．

例えば， $4$ の平方根は $2$ 乗して $4$ になる実数なので $\pm 2$ ですね．

正の実数に対して平方根は必ず正負の２つ存在し， $0$ の平方根は $0$ のみですね．

$0$ 以上の実数 $a$ に対して， $a$ の $0$ 以上の平方根を $\sqrt{a}$ と表す．この記号 $\sqrt{}$ を根号といい， $\sqrt{a}$ を「ルート $a$ 」と読む．

例えば， $3$ の $0$ 以上の平方根を $\sqrt{3}$ と表すので， $3$ の平方根は $\pm \sqrt{3}$ ですね．

「 $0$ 以上の平方根を $\sqrt{a}$ と表す」と定義することから分かるように， $0$ 以上の実数 $a$ に対して $\sqrt{a}$ が負になることはありません．

平方根と根号の性質

次の平方根と根号の性質は当たり前にしておきましょう．

次が成り立つ．

実数 $a$ が $0$ 以上の実数 $b$ の平方根なら， $- a$ も $b$ の平方根である．
正の実数 $a$ に対して， $(\sqrt{a})^{2} = a$
正の実数 $a$ , $b$ に対して， $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ が成り立つ．

(1)実数 $a$ が $b$ の平方根であることから $a^{2} = b$ が成り立つ．よって， $(- a)^{2} = a^{2} = b$ が成り立つので $- a$ も $b$ の平方根である．

(2) $\sqrt{a}$ は $a$ の平方根の１つだから $2$ 乗すると $a$ となる．すなわち， $(\sqrt{a})^{2} = a$ が成り立つ．

(3) $\sqrt{a} \sqrt{b}$ は正の数であり，(2)より $(\sqrt{a} \sqrt{b})^{2} = (\sqrt{a})^{2} (\sqrt{b})^{2} = a b$ が成り立つ．よって， $\sqrt{a} \sqrt{b}$ は $a b$ の正の平方根なので， $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ が成り立つ．

２乗の平方根

ここで冒頭の問題について，実数 $a$ に対して $\sqrt{a^{2}}$ は次のようになります．

実数 $a$ に対して

$\begin{align*}\sqrt{a^2}=\begin{cases}a&(a\ge0)\\-a&(a<0)\end{cases}\end{align*}$

が成り立つ．

つまり， $a$ の正負によりどのように根号 $\sqrt{}$ が外れるか変わるわけですね．

以下で証明しますが，根号 $\sqrt{a^{2}}$ の定義は「 $a^{2}$ の $0$ 以上の平方根」だったことに注意しましょう．

[1] $a \geq 0$ のときには $a$ を $2$ 乗すると $a^{2}$ なので， $a$ は $a^{2}$ の $0$ 以上の平方根である．

よって， $\sqrt{a^{2}} = a$ である．

[2] $a < 0$ のときには $- a > 0$ で， $- a$ を $2$ 乗すると $a^{2}$ なので， $- a$ は $a^{2}$ の $0$ 以上の平方根である．

よって， $\sqrt{a^{2}} = - a$ である．

繰り返しますが，大切なことは根号が $0$ 以上の平方根を表すという点ですね．

例えば， $\sqrt{3^{2}}$ と $\sqrt{(- 3)^{2}}$ の根号を上の公式を用いて外すと

$\sqrt{3^{2}}$ は公式で $a ≧ 0$ の場合に相当するので $\sqrt{3^{2}} = 3$
$\sqrt{(- 3)^{2}}$ は公式で $a < 0$ の場合に相当するので $\sqrt{(- 3)^{2}} = - (- 3) = 3$

となります．実際，きちんと計算すれば，確かに

$\begin{align*}&\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3, \\&\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\end{align*}$

となりますね．

上の公式の右辺は絶対値 $| a |$ と全く同じですから， $\sqrt{a^{2}}$ は次のようにもすっきり表すことができますね．

実数 $a$ に対して， $\sqrt{a^{2}} = | a |$ が成り立つ．

絶対値について詳しくは以下の記事を参照してください．

ワンポイント数学２
絶対値の定義から一瞬で解ける問題

絶対値を定義をきちんとイメージで理解していれば，不等式|x-3|<5や方程式|x-2|+|x-4|=8などはものの数秒で答えを出すことができます．この記事では，絶対値の定義を基礎から解説し，一瞬で解ける問題の考え方も紹介しています．

二重根号

根号 $\sqrt{}$ の中に根号 $\sqrt{}$ が入ったものを二重根号と言いますが，

$\begin{align*}\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\end{align*}$

のように二重根号は外せる場合があります．

二重根号を外すには，実数 $A$ , $B$ に対して $\sqrt{(A \pm B)^{2}} = | A \pm B |$ が成り立つことを用います．

実数 $a$ , $b$ に対して，

$\begin{align*}\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}\pm \sqrt{b}|\end{align*}$

が成り立つ（複号同順）．ただし，左辺の根号の中は $0$ 以上であるとする．

$(a + b) \pm 2 \sqrt{a b} = (\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}$ なので，

$\begin{align*}\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}\pm\sqrt{b}|\end{align*}$

が従う．

具体例

いくつか具体例を考えてみましょう．

例１

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ の二重根号を外せ．

$3 = 2 + 1$ , $2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2 \cdot 1}$ なので，

$\begin{align*}\sqrt{3+2\sqrt{2}} =&\sqrt{(2+1)+2\sqrt{2\cdot1}} \\=&\sqrt{(\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^2} \\=&\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} =\sqrt{2}+1\end{align*}$

となる．ただし，最後の等式では， $\sqrt{2} + 1 > 0$ であることに注意．

例２

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ の二重根号を外せ．

$7 = 3 + 4$ , $4 \sqrt{3} = 2 \sqrt{12} = 2 \sqrt{3 \cdot 4}$ なので，

$\begin{align*}\sqrt{7+4\sqrt{12}} =&\sqrt{(3+4)+2\sqrt{3\cdot4}} \\=&\sqrt{(\sqrt{3})^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot2+2^2} \\=&\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} =\sqrt{3}+2\end{align*}$

となる．ただし，最後の等式では， $\sqrt{3} + 2 > 0$ であることに注意．

例３

$\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ の二重根号を外せ．

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{2}}$ であり， $6 = 5 + 1$ , $2 \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{5 \cdot 1}$ なので，

$\begin{align*}\sqrt{3-\sqrt{5}} =&\sqrt{\frac{(5+1)-2\sqrt{5\cdot1}}{2}} \\=&\frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2\cdot\sqrt{5}\cdot1+1^2}}{\sqrt{2}} \\=&\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} \\=&\frac{\sqrt{2}\bra{\sqrt{5}-1}}{2}\end{align*}$

となる．ただし， $\sqrt{5} - 1 > 0$ であることに注意．

二重根号でありがちなミス

上の例３で

$\begin{align*}\sqrt{5-2\sqrt{2}} =&\sqrt{(\sqrt{2})^2-2\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{3})^2} \\=&\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2} =\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{align*}$