微分法６<br>関数の最大値，最小値の３つの候補を知る

この記事では次の問題を考えましょう．

定義域$-1\leqq x\leqq 4$の関数

$\begin{align*}f(x)=\dfrac{1}{4}\bra{x^3-3x^2-2}\end{align*}$

の最大値・最小値を求めよ．

微分可能な関数$f$の導関数$f’$について

$f'(x)>0$なら単調増加
$f'(x)<0$なら単調減少

となるのでした．

このことを利用すれば，微分可能な関数$f$の極値（極大値・極小値）を求められることを前回の記事で説明しました．

さて，関数$f$の極値は$f$の最大値・最小値の候補となる重要な値で，上の問題でもキーポイントとなります．

この記事では

関数の最大値・最小値の候補
関数の最大値・最小値の具体例

を順に説明します．

「微分法」の一連の記事

最大値，最小値の候補
具体例

最大値，最小値の候補

そもそも関数の最大値・最小値は以下のように定義されますね．

関数$f$が$a$で最大値をとるとは，任意の$x$に対して$f(x)\leqq f(a)$となることをいう．また，関数$f$が$b$で最小値をとるとは，任意の$x$に対して$f(x)\geqq f(b)$となることをいう．

一般に$f(x)$が最大値，最小値となるような$x$の候補は

極値をとる$x$
定義域の端点$x$
グラフが繋がっていない$x$

の３つで，この他の$x$で関数が最大値・最小値をとることはありません．

３つ目は数学IIではほぼ扱われませんが，数学IIIでは不連続点として学びます．

極値をとる点

関数の極値での値は最大値・最小値をとる点の候補です．

関数$f$が$a$で極大値をとるとは，$a$の十分近くの$x$に対して$f(x)\geqq f(a)$が成り立つことを言うのでした．

実数全体で最大であれば当然$a$の十分近くの$x$に対して$f(x)\geqq f(a)$となりますから，極大値は最大値の候補ですね．

例えば，$f(x)=-(x+1)^2+2$は$x=-1$で極大値$2$をとりますが，この極大値$2$は最大値でもありますね．

極小値についても同様に，極小値は最小値の候補ですね．

端点

関数$f$に定義域が定められているとき，定義域の「端の値」のことを端点と言い，端点は最大値，最小値をとる$x$の候補です．

例えば，$f(x)=-(x+1)^2+2$ $(-3\leqq x\leqq -2)$に対して，$y=f(x)$のグラフは下図のようになります．

よって，

端点$x=-2$で最大値$1$
端点$x=-3$で最小値$-2$

をとります．

不連続点

関数の連続性は数学IIIの範囲なので，数学IIの範囲でこの場合の最大・最小が出題されることはほとんどありません．そのため，分からない人はここを読み飛ばしても構いません．

関数$f$が$a$で不連続であるとは，大雑把に言えば「$y=f(x)$のグラフが$x=a$で切れている」ということを言い，不連続点は最大値，最小値をとる$x$の候補です．

例えば，

$\begin{align*}f(x)=\begin{cases}0&(x<-1,1<x)\\x&(-1\leqq x\leqq1)\end{cases}\end{align*}$

に対して，$y=f(x)$のグラフは下図のようになります．

よって，

不連続点$x=-1$で最小値$-1$
不連続点$x=1$で最大値１

をとります．

具体例

それでは具体例を考えましょう．

定義域$-1\leqq x\leqq 4$の関数

$\begin{align*}f(x)=\dfrac{1}{4}\bra{x^3-3x^2-2}\end{align*}$

の増減表を書き，最大値・最小値を求めよ．

関数$f(x)=\dfrac{1}{4}(x^3-3x^2-2)$の導関数$f'(x)$は

$\begin{align*}f'(x)=&\dfrac{1}{4}(3x^2-6x) \\=&\dfrac{3}{4}x(x-2)\end{align*}$

なので，方程式$f'(x)=0$を解くと$x=0,2$です．また，

$\begin{align*}&f(-1)=\frac{(-1)^3-3\times(-1)^2-2}{4}=-\frac{3}{2}, \\&f(0)=\frac{0^3-3\times0^2-2}{4}=-\frac{1}{2}, \\&f(2)=\frac{2^3-3\times2^2-2}{4}=-\frac{3}{2}, \\&f(4)=\frac{4^3-3\times4^2-2}{4}=\frac{7}{2}\end{align*}$

なので，$-1\leqq x\leqq 4$での$f(x)$の増減表は，

$\begin{align*}\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -1&\dots & 0 & \dots & 2 & \dots & 4 \\ \hline f'(x) & &+ & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -\frac{3}{2} &\nearrow & -\frac{1}{2} & \searrow & -\frac{3}{2} & \nearrow & \frac{7}{2} \end{array}\end{align*}$