図形と方程式８
円の接線の方程式を一発で求める公式

[ステップ１]　原点を$\mrm{O}$とする．直線$\mrm{OP}$の方程式が$qx-py=0\dots(*)$となることを示す．

[1]　$p\neq0$のとき，直線$\mrm{OP}$は原点を通り，傾きは$\dfrac{q}{p}$なので，直線$\mrm{OP}$の方程式は$y=\dfrac{q}{p}x$である．

よって，分母を払って整理すると$(*)$が得られる．

[2]　$p=0$のとき，直線$\mrm{OP}$は$y$軸に一致するので，直線$\mrm{OP}$の方程式は$x=0$である．

点$\mrm{P}$が円$C$上にあることから$p$と$q$は同時に$0$にはならないから$q\neq0$なので，

となって$(*)$を得る．

[ステップ２]　直線$\ell$は点$\mrm{P}$で円$C$に接していることから直線$\ell$と直線$\mrm{OP}$は垂直である．

また，直線$\ell$は点$\mrm{P}(p,q)$を通るので，一般の直線の方程式の垂直条件より直線$\ell$の方程式は

となる．

いま，点$\mrm{P}(p,q)$が円$C:x^2+y^2=r^2$上の点であることから$p^2+q^2=r^2$が成り立つので，直線$\ell$の方程式は$px+qy=r^2$である．

円$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2$と点$\mrm{P}$を

• $x$軸方向に$-\alpha$
• $y$軸方向に$-\beta$

平行移動させると，円$C$は原点中心の円$C’:x^2+y^2=r^2$に移り，点$\mrm{P}$は点$\mrm{P’}(p-\alpha,q-\beta)$に移る．

よって，円$C’$の点$\mrm{P’}$での接線$\ell’$の方程式は$(p-\alpha)x+(q-\beta)y=r^2$である．

接線$\ell’$を先ほどの平行移動と逆に動かして，接線$\ell$の方程式は

となる．