高校数学で学ぶ「極限」では
- 関数の極限
- 数列の極限
の2種類があり，これらを区別して扱うことが多くあります．
その中でも，この記事では数IIで習う「関数の極限」について解説します．
平たく言えば，「関数$f(x)$の$x$をある実数$a$に近付けたときに，関数$f(x)$がどのような値に近付くのか」ということを考えるのが「関数の極限」です．
数IIまでしか習わない人にとっては，極限は微分を学ぶ時にしか現れないので，あまり印象に残らない概念の１つです．
しかし，理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから，確実に押さえておく必要があります．
なお，「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが，これについては次の記事で書くことにします．
一連の記事はこちら
【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】←今の記事
【極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い】
【無限級数１｜[無限級数]の考え方を具体例から理解する】
【無限級数２｜無限級数の発散条件と収束しない３つの例】
【無限級数３｜無限等比級数の収束・発散は初項と公比に注目！】
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「関数の極限」の基本
「極限」に慣れてくるとあたかも「代入」のように思えてしまいがちですが，
- 極限をとること
- 代入すること
は似て非なるものです．
このことを例題を用いて考えてみましょう．
定義
「関数の極限」の定義は以下の通りです．
[関数の極限] 関数$f(x)$に対して，$x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき，$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば，このことを
または
$x \to a$のとき$f(x)\to\alpha$
と表し，「$x\to a$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束する」といい，この$\alpha$を「$x\to a$のときの$f(x)$の極限値」という．
大切なことは「$x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づける」という点です．
あくまで「$x=a$に近くなりはすれど，$x=a$とはしない」というところに「極限の良さ」があります．
例題
この「極限の良さ」を知るために，次の問題を考えてみます．
次の極限値を求めよ．
- $\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)$
- $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$
(1) $x\to3$のとき，$x^2+2x-3$は$3^2+2\cdot3-3=12$に近付く．
したがって，$\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)=12$である．
(2) $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$は
となるから，$x\to1$のとき$1-2=-1$に近付く．
したがって，$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=-1$である．
(2)では
「$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$の分母$x-1$は$x=1$で０になるけど大丈夫？」
という疑問を持つ人がいるかもしれません．確かに，
- $x=1$では分母が０になりますし，
- ０で割ることはいけません
しかし，この極限の場合には問題ありません．
大切なことは「$x\to1$の極限」と「$x=1$の代入」は違うということです．
定義で書いたように$x\to a$極限はあくまで「$x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき」を考えているだけなので，$x\to1$の極限は$x$を１に近づけるだけであって$x=1$を代入するのではないのです．
ですから，「$x$を１に近づけたときに，$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$が近付いていく値」が，$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$の意味なのです．
このように，$x\to 1$ではむしろ$x$は１になってはいけないのです．
$x$が１にどれだけ近付いても$x\neq1$であれば，分母は０にならなので$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$を考えることに問題はありませんね．
(1)では，$x^2+2x-3$で$x$を３に近づけると，$x=3$を代入した値に近づくので，$\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)$の値は$x=1$を代入したものが極限になっているだけなのです．
なお，０で割ってはいけない理由については，以下の記事で説明しています．
割り算$6\div3=2$は掛け算$2\times3=6$と同じ意味です．そこで，例えば割り算$6\div0=x$を掛け算に直すと$x\times0=6$となります．しかし，どのような$x$に対してもこの等式は成り立たないので，$x$は定義できません．したがって，0で割ることはできません．
不定形
もう１つ，(2)の$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$について，
「$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$は$x\to1$で分母も分子も0に近づくんやから，極限は$\frac{0}{0}$って書けばええやん」
という疑問を持つ人がいるかもしれません．
これについて，次の(3)を考えてみます．
次の極限値を求めよ．
- $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$
$\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$は
なので，
である．
さて，(3)の$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$をよく見てみると，$x\to1$で分母も分子も０に近付きます．つまり，不定形$\frac{0}{0}$となっています．
さて，(2)の極限も(3)の極限もともに$\frac{0}{0}$ですが，
- (2)の極限は$-1$
- (3)の極限は$-2$
となりました．つまり，同じ$\frac{0}{0}$の形でも極限は異なるのです．
このように，極限をとって$\frac{0}{0}$となるものは不定形といい，$\frac{0}{0}$では正しい極限を表せていないのです．
これが「不定形」という名前の通り，$\frac{0}{0}$は「値が定まらない形」なわけですね．
分母も分子も$x\to1$で0になるということは，[因数定理]から分母も分子も$(x-1)$を因数にもつということになります．
【多項式の基本８｜[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前！】
[因数定理]と[剰余の定理]は使えはするものの，なんとなくよく分からないという人が多い定理です．しかし，実際には理解してしまえば「アタリマエ」に思えるほど単純な定理なので，しっかり理解して使えるようにしてください．
ですから，$x-1$で約分することで，不定形とならずうまくいったわけです．
実は，$\frac{0}{0}$の他にも，$\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$の形になるものも不定形と呼ばれ，これらもその時々によって極限値が変わってきます．
このように，不定形は約分などにより不定形にならない式に変形してから，極限をとらなければ極限が分からないことに注意して下さい．
関数の極限と数列の極限の違い
数学IIIでは
- 数列の極限
- 関数の極限
の２つの極限を扱います．
これらの違いを雑に考えていると，間違えてしまう問題もあるので注意が必要です．
例えば
- 数列$\{a_n\}$を$a_n=\sin{(\pi n)}$
- 関数$f(x)$を$f(x)=\sin{(\pi x)}$
とするとき，数列の極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$と関数の極限$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$の答えは違ってきます．
次の記事では，「数列の極限」と「関数の極限」の大きな２つの違いを説明します．