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極限の基本1|lim(リミット)の意味は?極限の考え方

高校数学で学ぶ「極限」では

  • 関数の極限
  • 数列の極限

の2種類があり,これらを区別して扱うことが多くあります.

その中でも,この記事では数IIで習う「関数の極限」について解説します.

平たく言えば,「関数$f(x)$の$x$をある実数$a$に近付けたときに,関数$f(x)$がどのような値に近付くのか」ということを考えるのが「関数の極限」です.

数IIまでしか習わない人にとっては,極限は微分を学ぶ時にしか現れないので,あまり印象に残らない概念の1つです.

しかし,理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから,確実に押さえておく必要があります.

なお,「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事で書くことにします.

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「関数の極限」の基本

「極限」に慣れてくるとあたかも「代入」のように思えてしまいがちですが,

  • 極限をとること
  • 代入すること

は似て非なるものです.

このことを例題を用いて考えてみましょう.

定義

「関数の極限」の定義は以下の通りです.

[関数の極限] 関数$f(x)$に対して,$x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき,$f(x)$がある一定の値$\alpha$に限りなく近付くならば,このことを

\begin{align*} \lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha \end{align*}

または

$x \to a$のとき$f(x)\to\alpha$

と表し,「$x\to a$のとき$f(x)$は$\alpha$に収束する」といい,この$\alpha$を「$x\to a$のときの$f(x)$の極限値」という.

大切なことは「$x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づける」という点です.

あくまで「$x=a$に近くなりはすれど,$x=a$とはしない」というところに「極限の良さ」があります.

例題

この「極限の良さ」を知るために,次の問題を考えてみます.

次の極限値を求めよ.

  1. $\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)$
  2. $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$

(1) $x\to3$のとき,$x^2+2x-3$は$3^2+2\cdot3-3=12$に近付く.

したがって,$\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)=12$である.

(2) $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$は

\begin{align*} \frac{x^2-3x+2}{x-1} =&\frac{(x-1)(x-2)}{x-1} \\=&x-2 \end{align*}

となるから,$x\to1$のとき$1-2=-1$に近付く.

したがって,$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=-1$である.

(2)では

「$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$の分母$x-1$は$x=1$で0になるけど大丈夫?」

という疑問を持つ人がいるかもしれません.確かに,

  • $x=1$では分母が0になりますし,
  • 0で割ることはいけません

しかし,この極限の場合には問題ありません.

大切なことは「$x\to1$の極限」と「$x=1$の代入」は違うということです.

定義で書いたように$x\to a$極限はあくまで「$x$が$a$と異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき」を考えているだけなので,$x\to1$の極限は$x$を1に近づけるだけであって$x=1$を代入するのではないのです.

ですから,「$x$を1に近づけたときに,$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$が近付いていく値」が,$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$の意味なのです.

このように,$x\to 1$ではむしろ$x$は1になってはいけないのです.

$x$が1にどれだけ近付いても$x\neq1$であれば,分母は0にならなので$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$を考えることに問題はありませんね.

(1)では,$x^2+2x-3$で$x$を3に近づけると,$x=3$を代入した値に近づくので,$\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)$の値は$x=1$を代入したものが極限になっているだけなのです.

なお,0で割ってはいけない理由については,以下の記事で説明しています.

不定形

もう1つ,(2)の$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$について,

「$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$は$x\to1$で分母も分子も0に近づくんやから,極限は$\frac{0}{0}$って書けばええやん」

という疑問を持つ人がいるかもしれません.

これについて,次の(3)を考えてみます.

次の極限値を求めよ.

  1. $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$

$\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$は

\begin{align*} \frac{2(x^2-3x+2)}{x-1} =\frac{2(x-1)(x-2)}{x-1} =2(x-2) \end{align*}

なので,

\begin{align*} \lim_{x\to1}\frac{2(x^2-3x+2)}{x-1}=\lim_{x\to1}2(x-2)=-2 \end{align*}

である.

さて,(3)の$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$をよく見てみると,$x\to1$で分母も分子も0に近付きます.つまり,不定形$\frac{0}{0}$となっています.

さて,(2)の極限も(3)の極限もともに$\frac{0}{0}$ですが,

  • (2)の極限は$-1$
  • (3)の極限は$-2$

となりました.つまり,同じ$\frac{0}{0}$の形でも極限は異なるのです.

このように,極限をとって$\frac{0}{0}$となるものは不定形といい,$\frac{0}{0}$では正しい極限を表せていないのです.

これが「不定形」という名前の通り,$\frac{0}{0}$は「値が定まらない形」なわけですね.

分母も分子も$x\to1$で0になるということは,[因数定理]から分母も分子も$(x-1)$を因数にもつということになります.

ですから,$x-1$で約分することで,不定形とならずうまくいったわけです.

実は,$\frac{0}{0}$の他にも,$\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$の形になるものも不定形と呼ばれ,これらもその時々によって極限値が変わってきます.

このように,不定形は約分などにより不定形にならない式に変形してから,極限をとらなければ極限が分からないことに注意して下さい.

最後までありがとうございました!

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