極限の考え方を知ろう！｜lim(リミット)って一体なに？

高校数学で学ぶ「極限」では

関数の極限
数列の極限

の2種類があり，これらを区別して扱うことが多くあります．

その中でも，この記事では数IIで習う「関数の極限」について解説します．

平たく言えば，「関数 $f(x)$ の $x$ をある実数 $a$ に近付けたときに，関数 $f(x)$ がどのような値に近付くのか」ということを考えるのが「関数の極限」です．

数IIまでしか習わない人にとっては，極限は微分を学ぶ時にしか現れないので，あまり印象に残らない概念の1つです．

しかし，理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから，確実に押さえておく必要があります．

なお，「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが，これについては次の記事で書くことにします．

一連の記事はこちら

【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】←今の記事
【極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の2つの違い】
【無限級数１｜「無限級数」は「数列の極限」と同じ！】
【無限級数２｜無限級数の収束条件と収束しない３つの例】
【無限級数３｜無限等比級数の収束・発散は初項と公比に注目！】

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「関数の極限」の基本

「極限」に慣れてくるとあたかも「代入」のように思えてしまいがちですが，

極限をとること
代入すること

は似て非なるものです．

このことを例題を用いて考えてみましょう．

定義

「関数の極限」の定義は以下の通りです．

[関数の極限]　関数 $f(x)$ に対して， $x$ が $a$ と異なる値を取りながら $a$ に限りなく近づくとき， $f(x)$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近付くならば，このことを

$\begin{align*} \lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha \end{align*}$

または

$x \to a$ のとき $f(x)\to\alpha$

と表し，「 $x\to a$ のとき $f(x)$ は $\alpha$ に収束する」といい，この $\alpha$ を「 $x\to a$ のときの $f(x)$ の極限値」という．

大切なことは「 $x$ が $a$ と異なる値を取りながら $a$ に限りなく近づける」という点です．

あくまで「 $x=a$ に近くなりはすれど， $x=a$ とはしない」というところに「極限の良さ」があります．

例題

この「極限の良さ」を知るために，次の[問1]，[問2]を考えてみます．

次の極限値を求めよ．

$\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)$
$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$

[解答]

(1)　 $x\to3$ のとき， $x^2+2x-3$ は $3^2+2\cdot3-3=12$ に近付く．

したがって， $\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)=12$ である．

(2)　 $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ は

$\begin{align*} \frac{x^2-3x+2}{x-1} =&\frac{(x-1)(x-2)}{x-1} \\=&x-2 \end{align*}$

となるから， $x\to1$ のとき $1-2=-1$ に近付く．

したがって， $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=-1$ である．

[解答終]

(2)では

「 $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ の分母 $x-1$ は $x=1$ で0になるけど，分母って0になったらあかんのとちゃうの？」

という疑問を持つ人がいるかもしれません．確かに，

$x=1$ では分母が0になりますし，
0で割ることはいけません

しかし，この極限の場合には問題ありません．なお，0で割ってはいけない理由については，以下の記事で説明しています．

【ワンポイント数学４｜０で割ってはいけない理由】

割り算 $6\div3=2$ は掛け算 $2\times3=6$ と同じ意味です．そこで，例えば割り算 $6\div0=x$ を掛け算に直すと $x\times0=6$ となります．しかし，どのような $x$ に対してもこの等式は成り立たないので， $x$ は定義できません．したがって，0で割ることはできません．

しかし，大切なことは「 $x\to1$ の極限」と「 $x=1$ の代入」は違うということです．

定義で書いたように極限はあくまで「 $x$ が $a$ と異なる値を取りながら $a$ に限りなく近づくとき」を考えます．

なので，極限 $\lim\limits_{x\to1}$ は極限は $x$ を1に近づけるだけであって， $x=1$ を代入するのではないのです．

ですから，「 $x$ を1に近づけたときに， $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ が近付いていく値」が， $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ の意味なのです．

このように，むしろ $x$ は1になってはいけないのです．

なので， $x$ が1にどれだけ近付いても $x\neq1$ であれば， $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ を考えることに問題はありません．

[問1]では， $x^2+2x-3$ で $x$ を3に近づけると， $x=3$ を代入した値に近づくので， $\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)$ の値は $x=1$ を代入したものが極限になっているだけなのです．

不定形

もう１つ，(2)の $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ について，

「 $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ は $x\to1$ で分母も分子も0に近づくんやから，極限は $\frac{0}{0}$ って書けばええやん」

という疑問を持つ人がいるかもしれません．

これについて，次の(3)を考えてみます．

次の極限値を求めよ．

$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$

[解答]

$\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$ は

$\begin{align*} \frac{2(x^2-3x+2)}{x-1} =\frac{2(x-1)(x-2)}{x-1} =2(x-2) \end{align*}$

なので， $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}2(x-2)=-2$ である．

[解答終]

さて，(3)の $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$ をよく見てみると， $x\to1$ で分母も分子も0に近付きます．つまり，不定形 $\frac{0}{0}$ となっています．

さて，(2)の極限も(3)の極限も，ともに不定形 $\frac{0}{0}$ ですが，(2)の極限は $-1$ で(3)の極限は $-2$ となりました．

つまり，同じ $\frac{0}{0}$ でも極限は異なるのです．

このように，極限をとって $\frac{0}{0}$ となるものは不定形といい， $\frac{0}{0}$ では正しい極限を表せていないのです．

これが「不定形」という名前の通り， $\frac{0}{0}$ は「値が定まらない形」なのですね．

分母も分子も $x\to1$ で0になるということは，[因数定理]から分母も分子も $(x-1)$ を因数にもつということになります．

【多項式の基本６｜[因数定理]と[剰余の定理]は当たり前！】

[因数定理]と[剰余の定理]は使えはするものの，なんとなくよく分からないという人が多い定理です．しかし，実際には理解してしまえば「アタリマエ」に思えるほど単純な定理なので，しっかり理解して使えるようにしてください．

ですから， $x-1$ で約分することで，不定形とならずうまくいったわけです．

実は， $\frac{0}{0}$ の他にも， $\frac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $\infty-\infty$ の形になるものも不定形と呼ばれ，これらもその時々によって極限値が変わってきます．

このように，不定形は約分などにより不定形にならない式に変形してから，極限をとらなければ極限が分からないことに注意して下さい．

【次の記事：極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の2つの違い】

数列 $\{a_n\}$ を $a_n=\sin{(\pi n)}$ ，関数 $f(x)$ を $f(x)=\sin{(\pi x)}$ とします．両者は同じ式に見えますが，数列の極限 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ と関数の極限 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ の答えは違ってきます．この理由を説明できますか？