極限の基本１｜lim(リミット)は何を意味しているのか

「極限」には

• 関数の極限
• 数列の極限

の2種類があります．この記事では数IIで習う「関数の極限」について扱います．

平たく言えば，「関数のをある実数に近付けたときに，関数がどのような値に近付くのか」ということを考えるのが「関数の極限」です．

数IIまでしか習わない人にとっては，極限は微分を学ぶ時にしか現れないので，あまり印象に残らない概念の1つです．

しかし，理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから，確実に押さえておく必要があります．

なお，「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが，これについては次の記事で書くことにします．

「関数の極限」の基本

「極限」に慣れてくるとあたかも「代入」のように思えてしまいがちですが，実は「極限をとること」と「代入すること」とは似て非なるものです．

そのことを例題を用いて考えてみましょう．

定義

「関数の極限」の定義は以下の通りです．

[関数の極限]　関数に対して，がと異なる値を取りながらに限りなく近づくとき，がある一定の値に限りなく近付くならば，このことを

　または　のとき

と表し，「のときはに収束する」といい，このを「のときのの極限値」という．

大切なことは「がと異なる値を取りながらに限りなく近づける」という点です．

あくまで「に近くなりはすれど，とはしない」というところに「極限の良さ」があります．

例題

この「極限の良さ」を知るために，次の[問1]，[問2]を考えてみます．

[解答]

[問1]　のとき，はに近付く．

したがって，である．

[問2]　は

となるから，のときに近付く．

したがって，である．

[解答終]

[問2]では次のような疑問を持つ人がいるかもしれません．

「の分母にを代入したら0になるけど，分母って0になったらあかんのとちゃうの？」

確かに，分母が0の分数は確かに考えることはできません．しかし，大切なことは「極限と代入は違う」ということです．

定義で書いたように極限はあくまで「がと異なる値を取りながらに限りなく近づくとき」を考えます．

なので，極限は極限はを1に近づけるだけであって，を代入するのではないのです．

ですから，「を1に近づけたときに，が近付いていく値」というのが，の意味なのです．

このように，むしろは1になってはいけないのです．

なので，が1にどれだけ近付いてもであれば，を考えることに問題はありません．

[問1]では，でを3に近づけると，を代入した値に近づくので，の値はを代入したものが極限になっているだけなのです．

不定形

もう１つ，[問2]のについて，次のような疑問を持った人もいるでしょう．

「はで分母も分子も0に近づくんやから，極限はって書けばええやん」

しかし，極限をとってとなるものは不定形といい，これは正しい極限を表せていないのです．

このことを見るために，次の[問3]を考えてみます．

[解答]

は

なので，である．

[解答終]

さて，[問3]のをよく見てみると，で分母も分子も0に近付きます．つまり，不定形となっています．

さて，[問2]の極限も[問3]の極限も，ともに不定形ですが，[問2]の極限はで[問3]の極限はとなりました．

つまり，同じ不定形でも極限は異なるのです．

この意味で，では実際の極限の値が分からず，答えになっていないというわけですね．

これが「不定形」という名前の通り，は「値が定まらない形」なのですね．

分母も分子もで0になるということは，[因数定理]から分母も分子もを因数にもつということになります．

ですから，で約分することで，不定形とならずうまくいったわけです．

実は，の他にも，, , の形になるものも「不定形」と呼ばれ，これらもその時々によって極限値が変わってきます．

このように，不定形は約分などにより不定形にならない式に変形してから，極限をとらなければ極限が分からないことに注意して下さい．