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極限の基本1|lim(リミット)は何を意味しているのか

「極限」には

  • 関数の極限
  • 数列の極限

の2種類があります.この記事では数IIで習う「関数の極限」について扱います.

平たく言えば,「関数f(x)xをある実数aに近付けたときに,関数f(x)がどのような値に近付くのか」ということを考えるのが「関数の極限」です.

数IIまでしか習わない人にとっては,極限は微分を学ぶ時にしか現れないので,あまり印象に残らない概念の1つです.

しかし,理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから,確実に押さえておく必要があります.

なお,「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事で書くことにします.

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「関数の極限」の基本

「極限」に慣れてくるとあたかも「代入」のように思えてしまいがちですが,実は「極限をとること」と「代入すること」とは似て非なるものです.

そのことを例題を用いて考えてみましょう.

定義

「関数の極限」の定義は以下の通りです.

[関数の極限] 関数f(x)に対して,xaと異なる値を取りながらaに限りなく近づくとき,f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近付くならば,このことを

\lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha または x \to aのときf(x)\to\alpha

と表し,「x\to aのときf(x)\alpha収束する」といい,この\alphaを「x\to aのときのf(x)極限値」という.

大切なことは「xaと異なる値を取りながらaに限りなく近づける」という点です.

あくまで「x=aに近くなりはすれど,x=aとはしない」というところに「極限の良さ」があります.

例題

この「極限の良さ」を知るために,次の[問1],[問2]を考えてみます.

[問1] 極限\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)を求めよ.

[問2] 極限\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}を求めよ.

[解答]

[問1] x\to3のとき,x^2+2x-33^2+2\cdot3-3=12に近付く.

したがって,\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)=12である.

[問2] \dfrac{x^2-3x+2}{x-1}

\begin{align*} \frac{x^2-3x+2}{x-1} =\frac{(x-1)(x-2)}{x-1} =x-2 \end{align*}

となるから,x\to1のとき1-2=-1に近付く.

したがって,\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=-1である.

[解答終]

[問2]では次のような疑問を持つ人がいるかもしれません.

\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}の分母x-1x=1を代入したら0になるけど,分母って0になったらあかんのとちゃうの?」

確かに,分母が0の分数は確かに考えることはできません.しかし,大切なことは「極限と代入は違う」ということです.

定義で書いたように極限はあくまで「xaと異なる値を取りながらaに限りなく近づくとき」を考えます.

なので,極限\lim\limits_{x\to1}極限はxを1に近づけるだけであって,x=1を代入するのではないのです.

ですから,xを1に近づけたときに,\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}が近付いていく値」というのが,\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}の意味なのです.

このように,むしろxは1になってはいけないのです.

なので,xが1にどれだけ近付いてもx\neq1であれば,\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}を考えることに問題はありません.

[問1]では,x^2+2x-3xを3に近づけると,x=3を代入した値に近づくので,\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)の値はx=1を代入したものが極限になっているだけなのです.

不定形

もう1つ,[問2]の\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}について,次のような疑問を持った人もいるでしょう.

\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}x\to1で分母も分子も0に近づくんやから,極限は\dfrac{0}{0}って書けばええやん」

しかし,極限をとって\dfrac{0}{0}となるものは不定形といい,これは正しい極限を表せていないのです.

このことを見るために,次の[問3]を考えてみます.

[問3] 極限\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}を求めよ.

[解答]

\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}

\begin{align*} \frac{2(x^2-3x+2)}{x-1} =\frac{2(x-1)(x-2)}{x-1} =2(x-2) \end{align*}

なので,\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}2(x-2)=-2である.

[解答終]

さて,[問3]の\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}をよく見てみると,x\to1で分母も分子も0に近付きます.つまり,不定形\dfrac{0}{0}となっています.

さて,[問2]の極限も[問3]の極限も,ともに不定形\dfrac{0}{0}ですが,[問2]の極限は-1で[問3]の極限は-2となりました.

つまり,同じ不定形\dfrac{0}{0}でも極限は異なるのです.

この意味で,\dfrac{0}{0}では実際の極限の値が分からず,答えになっていないというわけですね.

これが「不定形」という名前の通り,\dfrac{0}{0}は「値が定まらない形」なのですね.

分母も分子もx\to1で0になるということは,[因数定理]から分母も分子も(x-1)を因数にもつということになります.

ですから,x-1で約分することで,不定形とならずうまくいったわけです.

実は,\dfrac{0}{0}の他にも,\dfrac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty-\inftyの形になるものも「不定形」と呼ばれ,これらもその時々によって極限値が変わってきます.

このように,不定形は約分などにより不定形にならない式に変形してから,極限をとらなければ極限が分からないことに注意して下さい.

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コメント

  1. sabi より:

    例題の1での、解答の際の\lim\limits_{x\to1}\lim\limits_{x\to3}ではないでしょうか

    • 山本 拓人 より:

      ご指摘をありがとうございます.
      ご指摘の通り,私の書き間違いで,正しくは\lim\limits_{x\to3}です.

  2. 数学初心者 より:

    間違えていたらすみません。
    問1の回答の一部分は +3 ではなく −3ではないでしょうか。
    数学が苦手なので分かりませんが、疑問に思ったので、
    コメントしてみました。

    • 山本 拓人 より:

      ご指摘をありがとうございます.
      おっしゃる通り,前後で-3+3に化けていました.
      記事を訂正致しました.