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極限の基本1|lim(リミット)の意味は?極限の考え方

高校数学で学ぶ「極限」では

  • 関数の極限
  • 数列の極限

の2種類があり,これらを区別して扱うことが多くあります.

その中でも,この記事では数IIで習う「関数の極限」について解説します.

平たく言えば,「関数f(x)x をある実数 a に近付けたときに,関数f(x)がどのような値に近付くのか」ということを考えるのが「関数の極限」です.

数IIまでしか習わない人にとっては,極限は微分を学ぶ時にしか現れないので,あまり印象に残らない概念の1つです.

しかし,理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから,確実に押さえておく必要があります.

なお,「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事で書くことにします.

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「関数の極限」の基本

「極限」に慣れてくるとあたかも「代入」のように思えてしまいがちですが,

  • 極限をとること
  • 代入すること

は似て非なるものです.

このことを例題を用いて考えてみましょう.

定義

「関数の極限」の定義は以下の通りです.

[関数の極限] 関数f(x)に対して, xa と異なる値を取りながら a に限りなく近づくとき,f(x)がある一定の値\alphaに限りなく近付くならば,このことを

\begin{align*} \lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha \end{align*}

または

x \to aのときf(x)\to\alpha

と表し,「x\to aのときf(x)\alpha収束する」といい,この\alphaを「x\to aのときのf(x)極限値」という.

大切なことは「 xa と異なる値を取りながら a に限りなく近づける」という点です.

あくまで「x=aに近くなりはすれど,x=aとはしない」というところに「極限の良さ」があります.

例題

この「極限の良さ」を知るために,次の問題を考えてみます.

次の極限値を求めよ.

  1. \lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)
  2. \lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}

(1) x\to3のとき,x^2+2x-33^2+2\cdot3-3=12に近付く.

したがって,\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)=12である.

(2) \dfrac{x^2-3x+2}{x-1}

\begin{align*} \frac{x^2-3x+2}{x-1} =&\frac{(x-1)(x-2)}{x-1} \\=&x-2 \end{align*}

となるから,x\to1のとき1-2=-1に近付く.

したがって,\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=-1である.

(2)では

\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}の分母x-1x=1で0になるけど大丈夫?」

という疑問を持つ人がいるかもしれません.確かに,

  • x=1では分母が0になりますし,
  • 0で割ることはいけません

しかし,この極限の場合には問題ありません.

大切なことは「x\to1の極限」と「x=1の代入」は違うということです.

定義で書いたようにx\to a極限はあくまで「 xa と異なる値を取りながら a に限りなく近づくとき」を考えているだけなので,x\to1の極限は x を1に近づけるだけであってx=1を代入するのではないのです.

ですから,「 x を1に近づけたときに,\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}が近付いていく値」が,\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}の意味なのです.

このように,x\to 1ではむしろ x は1になってはいけないのです.

x が1にどれだけ近付いてもx\neq1であれば,分母は0にならなので\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}を考えることに問題はありませんね.

(1)では,x^2+2x-3x を3に近づけると,x=3を代入した値に近づくので,\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)の値はx=1を代入したものが極限になっているだけなのです.

なお,0で割ってはいけない理由については,以下の記事で説明しています.

不定形

もう1つ,(2)の\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}について,

\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}x\to1で分母も分子も0に近づくんやから,極限は\frac{0}{0}って書けばええやん」

という疑問を持つ人がいるかもしれません.

これについて,次の(3)を考えてみます.

次の極限値を求めよ.

  1. \lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}

\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}

\begin{align*} \frac{2(x^2-3x+2)}{x-1} =\frac{2(x-1)(x-2)}{x-1} =2(x-2) \end{align*}

なので,

\begin{align*} \lim_{x\to1}\frac{2(x^2-3x+2)}{x-1}=\lim_{x\to1}2(x-2)=-2 \end{align*}

である.

さて,(3)の\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}をよく見てみると,x\to1で分母も分子も0に近付きます.つまり,不定形\frac{0}{0}となっています.

さて,(2)の極限も(3)の極限もともに\frac{0}{0}ですが,

  • (2)の極限は-1
  • (3)の極限は-2

となりました.つまり,同じ\frac{0}{0}の形でも極限は異なるのです.

このように,極限をとって\frac{0}{0}となるものは不定形といい,\frac{0}{0}では正しい極限を表せていないのです.

これが「不定形」という名前の通り,\frac{0}{0}は「値が定まらない形」なわけですね.

分母も分子もx\to1で0になるということは,[因数定理]から分母も分子も(x-1)を因数にもつということになります.

ですから,x-1で約分することで,不定形とならずうまくいったわけです.

実は,\frac{0}{0}の他にも,\frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty-\inftyの形になるものも不定形と呼ばれ,これらもその時々によって極限値が変わってきます.

このように,不定形は約分などにより不定形にならない式に変形してから,極限をとらなければ極限が分からないことに注意して下さい.

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