極限の基本１｜lim(リミット)は何を意味しているのか

「極限」には「関数の極限」と「数列の極限」の2つがありますが，この記事では数IIで習う「関数の極限」について扱います．

「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが，これについては次の記事【極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の違い】で書くことにします．

平たくいえば，「関数の極限」とは，関数 $f(x)$ の $x$ をある実数 $a$ に近付けたときに，関数 $f(x)$ がどのような値に近付くのか，ということです．

とくに文系の人にとって，極限の概念は微分を学ぶ時にしか出て来ず，しかも微分を習った後はほとんど極限を扱うことはないので，あまり印象に残らないようです．

しかし，理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから，確実に押さえておいてください．

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私の持っている数学IIの教科書によると，「関数の極限」は次のように書かれています．

[関数の極限]　関数 $f(x)$ において， $x$ が $a$ と異なる値を取りながら $a$ に限りなく近づくとき， $f(x)$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づく場合

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\alpha$ 　または　 $x \to a$ のとき $f(x)\to\alpha$

と書き，この値 $\alpha$ を， $x\to a$ のときの $f(x)$ の極限値という．

まず，次の[問1]，[問2]を考えてみます．

[問1]　極限 $\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)$ を求めよ．

[問2]　極限 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ を求めよ．

[解答]

[問1]　 $x\to3$ のとき， $x^2+2x-3$ は $3^2+2\cdot3-3=12$ に近付く．

したがって， $\lim\limits_{x\to3}(x^2+2x-3)=12$ である．

[問2]　 $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$ だから， $x\to1$ のとき $1-2=-1$ に近付く．

したがって， $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=-1$ である．

[解答終]

[問2]では，

「 $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ の分母 $x-1$ に $x=1$ を代入したら $0$ になるけど，分母って $0$ になったらあかんのとちゃうの？」

という疑問を持った人がいるかもしれません．

確かに，分母が $0$ の分数は確かに考えることはできません．しかし，極限と代入は違うのです．

どういうことかというと，上で書いたように極限では，あくまで「 $x$ が $a$ と異なる値を取りながら $a$ に限りなく近づくとき」を考えます．

[問2]ではあくまで極限は $x$ を $1$ に近づけるだけであって， $x=1$ を代入するのではないのです．

ですから，「 $x$ を $1$ に近づけたときに $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ が近付いていく値」というのが， $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ の意味なのです．

したがって，むしろ $x$ は $1$ になってはいけないのです． $x$ が $1$ にどれだけ近付いても $x\neq1$ である限り， $\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ を考えることに問題はありません．

[問1]では， $x^2+2x-3$ で $x$ を $3$ に近づけると， $x=3$ を代入した値に近づくので， $\lim\limits_{x\to1}(x^2-3x+2)$ の値は $x=1$ を代入したものが極限になっているだけなのです．

もう一度，[問2]の $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ を見てみます．

$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ は $x\to1$ で分母も分子も $0$ に近づくので，極限は $\dfrac{0}{0}$ と書きたいところなのですが，実はこれではいけません． $\dfrac{0}{0}$ は不定形といって，答えになっていないのです．

次の[問3]を考えてみます．

[問3]　極限 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$ を求めよ．

[解答]

$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}2(x-2)=-2$

[解答終]

さて，[問3]の $\dfrac{2(x^2-3x+2)}{x-1}$ をよく見てみると， $x\to1$ で分母も分子も $0$ に近付きます．つまり，不定形 $\dfrac{0}{0}$ となります．

さて，[問2]の極限も[問3]の極限も，ともに不定形 $\dfrac{0}{0}$ ですが，[問2]の極限は $-1$ で[問3]の極限は $-2$ となりました．

つまり，同じ不定形 $\dfrac{0}{0}$ でも極限は異なるのです．この意味で， $\dfrac{0}{0}$ では答えになっていないのです．可能性がたくさんありますから．

ですから，何とかして $\dfrac{0}{0}$ となる状況を脱しなければなりません．そして，約分するとうまくいく場合が多いのです．

また， $\dfrac{\infty}{\infty}$ ， $0\cdot\infty$ ， $\infty-\infty$ の形になるものも「不定形」と呼ばれ，これらもその時々によって極限値が変わってきます．

このように，不定形は約分などにより不定形にならない式に変形してから，極限をとらなければ極限が分からないことに注意して下さい．

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