背理法1|背理法はこう考える!仕組みを具体例から理解する

数学の証明には色々な論法が用いられ,とくに高校数学では

  • 背理法
  • 数学的帰納法

の2つが重要な証明の手法となっています.

この記事で説明する背理法は,たとえば

  • $\sqrt{2}$が無理数である
  • 素数は無限に存在する(次の記事で証明します)

などの証明に有効です.

また,受験数学では有名な「$\tan{1^{\circ}}$は無理数か.」という京都大学の過去の入試問題も背理法を使って証明することができます(次の記事で証明します).

この記事では「背理法」がどんな論法なのかを説明し,具体的に背理法を用いる証明問題を解きます.

背理法はどういう論法なのか

背理法のイメージは「犯人の取り調べ」です.

「犯人」は嘘をついて自分の潔白を突き通そうとしてきます.

あなたが刑事なら,この犯人の言っていることが嘘であることをどうやって立証しますか?

おそらくいろいろな証拠を集めて,「犯人」の発言に矛盾を見つけようとするはずです.

犯人「$X$が成り立たないことがある」

刑事「でも,それだと〜という理由で矛盾するだろう.ということは,お前の言っていることは嘘だ!」

犯人「バレたか」

というわけですね.

つまり,背理法で「$X$が成り立つ」ことを証明したければ

  1. 「$X$は成り立たない」と嘘の仮定をする.
  2. この仮定から何らかの矛盾を導く.
  3. 矛盾は本当かどうか分からない仮定を1でおいたことが原因である.
  4. 仮定が誤りなので$X$は成り立つ.

という流れになります.

もう少し簡単にいうと,背理法は「矛盾を導いて嘘を見破ることで証明する論法」というわけですね.

わざと「$X$が成り立たない」と間違った仮定して矛盾を導き,仮定を誤りだとして「$X$が成り立つ」ことを導く方法を背理法という.

背理法を使った証明の例

それでは,具体的に背理法を使った証明問題を解きましょう.

次の問いに答えよ.

  1. 整数$a$に対し,$a^2$が偶数なら$a$も偶数であることを示せ.
  2. $\sqrt{2}$は無理数であることを示せ.

(1)は「$a$が偶数である」を証明するので,背理法の仮定は「$a$は偶数でない」となりますね.この背理法の仮定は「$a$は奇数である」とも言えますね.

この背理法の仮定と「$a^2$が偶数である」という条件を併せて矛盾を導くことになります.

(2)は「$\sqrt{2}$は無理数である」を証明するので,背理法の仮定は「$\sqrt{2}$は無理数でない」となりますね.この背理法の仮定は「$\sqrt{2}$は有理数である」とも言えますね.

この背理法の仮定から矛盾を導くことになります.

なお,有理数と無理数の定義が怪しい人はしっかり確認しておきましょう.

$x=\dfrac{p}{q}$ ($p$, $q$は整数,$q\neq0$)と表される実数$x$を有理数 (rational number)という.また,有理数でない実数を無理数 (irrational number)という.

それでは(1)と(2)を解きます.

(1) $a$が偶数でないと仮定する.

すなわち,$a$は奇数だから$a=2n+1$ ($n$は整数)と表せるので

\begin{align*} a^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1 \end{align*}

となる.

$2n^2+2n$は整数だから$2(2n^2+2n)+1$は奇数なので,$a^2$は奇数である.

一方,条件から$a^2$は偶数だったから,これは矛盾である.

よって,$a^2$が偶数であるという仮定が誤りなので,$a$は偶数である.

(2) $\sqrt{2}$は無理数でないと仮定する.

すなわち,$\sqrt{2}$は有理数だから$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ ($p$, $q$は正の整数,$p,q$は互いに素)と表せるから,両辺2乗して

\begin{align*} 2=\frac{p^2}{q^2}\quad \therefore 2q^2=p^2 \end{align*}

となる.

$2q^2$は偶数でこれと等しい$p^2$も偶数なので,(1)より$p$は偶数である.よって,$p=2k$($k$は整数)と表せるから,$2q^2=p^2$に代入すると

\begin{align*} 2q^2=4k^2 \quad \therefore q^2=2k^2 \end{align*}

となる.$2k^2$は偶数でこれと等しい$q^2$は偶数なので,再び(1)より$q$は偶数と分かる.

よって,$p$も$q$も偶数となったので同じ素因数2をもつ.

一方,$p$, $q$は互いに素,すなわち同じ素因数を持たないとしたので,これは矛盾である.

よって,$\sqrt{2}$が無理数でないという仮定は誤りなので,$\sqrt{2}$は無理数である.

かなり丁寧に解答を書きましたが,4つのステップが分かったでしょうか.

(2)は有名問題で,多くの本では(2)だけがいきなり出題されることが多のですが,実はこの(1)が予備知識として必要なのでここでつまずく人が多い印象があるので,(1)も丁寧に説明しました.ます.

次の記事では,背理法がどういうタイプの証明に有効なのかを説明します.

最後までありがとうございました!

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