ド・モルガンの法則｜和集合A∪Bの補集合・共通部分A∩Bの補集合

２つの集合$A$, $B$に対して，

$A$にも$B$にも属する要素全部の集合を共通部分$A\cap B$
$A$と$B$の少なくとも一方に属する要素全部の集合を和集合$A\cup B$

と言います．また，$A\subset U$のとき，$A$に属さない$U$の要素全部の集合を$A$の補集合と言い，$\overline{A}$と表します．

それでは和集合の補集合$\overline{A\cup B}$と，共通集合の補集合$\overline{A\cup B}$とはどのようになるでしょうか？

実は

$\begin{align*}&\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}, \\&\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\end{align*}$

が成り立ち，これらの等式が成り立つことをド・モルガンの法則と言います．

この記事では，

重要な集合（空集合，和集合，共通部分，補集合）
ベン図
ド・モルガンの法則

を順に説明します．

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論理と集合の基本

背理法
1. 6 背理法はこう考える！仕組みを具体例から理解しよう
2. 7 背理法が有効な証明問題の特徴！２タイプを意識せよ！

重要な集合
ベン図
ド・モルガンの法則
1. $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$の考え方
2. $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$の考え方

重要な集合

まずは

空集合
和集合
共通部分
補集合

を説明します．

空集合

ここで，重要な集合である空集合くうしゅうごうを説明しておきます．

要素を１つももたない集合を空集合といい$\emptyset$と表す．

空集合$\emptyset$を無理矢理書くなら$\{\quad\}$ということですね．

また，空集合$\emptyset$は任意の集合の部分集合であるということに注意しましょう．つまり，どんな集合$A$に対しても$\emptyset\subset A$が成り立ちます．

和集合と共通部分

２つの集合から，以下のように新しい集合を定義します．

集合$A$, $B$を集合とする．

「$A$, $B$の少なくとも一方に属する要素全部の集合」を$A$と$B$の和集合といい$A\cup B$と表す．
「$A$, $B$の両方に属する要素全部の集合」を$A$と$B$の共通部分といい$A\cap B$と表す．

和集合$A\cup B$と$A\cap B$はそれぞれ

$A\cup B=\{x|x\in A$または$x\in B\}$
$A\cup B=\{x|x\in A$かつ$x\in B\}$

とも表せますね．

日常での「または」は「どちらか一方」という意味で用いることが多いですが，数学での「または」は「少なくとも一方」の意味で用いることに注意してください．

そのため，数学の「または」は両方満たしていてもOKです．

次のそれぞれの集合$A$, $B$に対して，和集合$A\cup B$と共通部分$A\cap B$を求めよ．

$A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{2,4,6\}$
$A=\{2n|n=1,2,3\}$, $B=\{2n-1|n=1,2,3\}$

(１)　$A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{2,4,6\}$に対して，$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$である．

また，$A\cap B=\{2,4\}$である．

(２)　$A=\{2,4,6\}$, $B=\{1,3,5\}$だから，$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$である．

また，$A\cap B=\emptyset$である．

(1)のように和集合$A\cup B$において，$A$にも$B$にも属している元は１つにまとめて表します．

補集合

最後に，補集合について説明します．

集合$U$と$U$の部分集合$A$を考える．$A$に属さない$U$の要素全部の集合を$U$における$A$の補集合といい$\overline{A}$と表す．また，このときの$U$を全体集合という．

すなわち，$U$における$A$の補集合は

$\begin{align*}\overline{A}=\{x|x\in U,\ x\not\in A\}\end{align*}$

となりますね．

補集合を考える上でで大切なことは「どの集合の中での補集合なのか」ということです．これは常に意識しておきましょう．

集合$A=\{1,3,5\}$に対して，次のそれぞれの集合$U$における補集合$\overline{A}$を求めよ．

$U=\{0,1,2,3,4,5\}$
$U=\{1,3,5,7\}$

(1)　$U=\{0,1,2,3,4,5\}$での$A$の補集合は$\overline{A}=\{0,2,4\}$である．

(2)　$U=\{1,3,5,7,9\}$での$A$の補集合は$\overline{A}=\{7\}$である．

ベン図

数のように閉じた曲線で集合を模した図をベン図といいます．べン図は集合を視覚的に表す際によく用いられます．

全体集合$U$と集合$A$, $B$に対して

共通部分$A\cap B$
和集合$A\cup B$
$A$の補集合$\overline{A}$

は下図のようになりますね．

ド・モルガンの法則

和集合の補集合，共通部分の補集合に対して，次のド・モルガンの法則が成り立ちます．

[ド・モルガンの法則]　全体集合が同じ集合$A$, $B$に対し，次の等式が成り立つ．

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$

それぞれ

共通部分の補集合は，補集合の和集合
和集合の補集合は，補集合の共通部分

ということができますね．

形式的には$\overline{\cap}=\cup$, $\overline{\cup}=\cap$ということですね．

以下，全体集合を$U$とし，ド・モルガンの法則が成り立つことをベン図から考えてみましょう．

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$の考え方

$\overline{A}$と$\overline{B}$をそれぞれベン図で表せば，下図のようになりますね．

よって，これらの和集合$\overline{A}\cup \overline{B}$は下図のようになります．

これは$A\cap B$の補集合$\overline{A\cap B}$なので，

$\begin{align*}\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\end{align*}$

が成り立つことが分かりますね．

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$の考え方

同様の考え方により，$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$が成り立つことも分かります．

$\overline{A}$と$\overline{B}$をそれぞれベン図で表せば，

なので，この共通部分$\overline{A}\cap \overline{B}$は下図のようになりますね．

これは$A\cup B$の補集合$\overline{A\cup B}$なので，

$\begin{align*}\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\end{align*}$

が成り立つことが分かりました．