背理法が有効な証明問題の特徴｜具体例から２タイプを解説

背理法により示す．すなわち，「$x$, $y$, $z$の少なくとも１つは０」の否定「$x$, $y$, $z$はいずれも０でない」が成り立つと仮定して矛盾を導く．

この仮定より$xyz\neq0$だから，$xyz=0$に矛盾する．

よって，仮定が誤りなので「$x$, $y$, $z$の少なくとも１つは０」が成り立つ．

背理法により示す．すなわち，「$x>0$または$y>0$」の否定「$x\le0$かつ$y\le0$」が成り立つと仮定して矛盾を導く．

この仮定より$x+y\le0+0=0$だから，$x+y>0$に矛盾する．

よって，仮定「$x\le0$かつ$y\le0$」が誤りなので，「$x>0$または$y>0$」が成り立つ．

背理法により示す．すなわち，「整数$a$, $b$が等式$a^2-2=4b$を満たす」と仮定して矛盾を導く．

この仮定より$a^2=2(1+2b)$なので$a^2$は偶数だから，$a$も偶数となる．

よって，$a=2k$（$k$は整数）とおけるから，$a^2=2(1+2b)$に代入して

となる．しかし，左辺$2k^2$は偶数，右辺$1+2b$は奇数だから矛盾する．

よって，仮定が誤りなので整数$a$, $b$は等式$a^2-2=4b$を満たし得ない．

$a+b$と$a-b$がいずれも有理数であると仮定して矛盾を導く．

この仮定から$a+b=\dfrac{q}{p}$（$p$, $q$は整数，$p\neq0$），$a+b=\dfrac{s}{r}$ ($r$, $s$は整数，$r\neq0$)とおける．

２式の辺々を加えたものと引いたものはそれぞれ

である．$2pr$, $qr+ps$, $qr-ps$はいずれも整数だから$a$, $b$はともに有理数である．

よって矛盾するから，$a+b$と$a-b$の少なくとも一方は無理数である．

素数が有限個$a_1,\dots,a_n$しかないと仮定して矛盾を導く．

このとき，任意の$i=1,\dots,n$に対して

であり，$a_i\ge2$より$\dfrac{1}{a_i}$は整数でないので，$\dfrac{x}{a_i}$も整数でない．

よって，$x$は$a_i$で割り切れないから，$x$は自身と１でしか割り切れないことになり素数である．

一方，$x>a_1$だから$a_1,\dots,a_n$のいずれとも異なり，$a_1,\dots,a_n$が全ての素数としたことに矛盾する．

よって，素数は無限に存在する．

$\tan{1^\circ}$が有理数であると仮定して矛盾を導く．

このとき，$\tan$の加法定理より$\tan{(1^\circ+n^\circ)}=\dfrac{\tan{1^\circ}+\tan{n^\circ}}{1-\tan{1^\circ}\tan{n^\circ}}$が成り立つ．

$\tan{n^\circ}$が有理数なら，右辺は有理数だから$\tan{(1^\circ+n^\circ)}$も有理数である．

また，仮定より$\tan{1^\circ}$は有理数だから，数学的帰納法により任意の自然数$n$に対して$\tan{n^\circ}$は有理数である．

一方，$\tan{30^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$は無理数なので，矛盾する．よって，$\tan{1^\circ}$は無理数である．