数学において（数学でなくとも）仮定・結論を意識することはとても大切です．
さて，数学では「$p$ならば$q$である」という形の主張がよく登場します．
この記事では，論理の基本として
- 命題と条件
- 必要条件と十分条件
を順に説明します．
「論理と集合」の一連の記事
命題と条件
まずは条件と命題を説明します．
命題
例えば，
- $2$は偶数である
- $5$は$4$で割り切れる
と言っている人がいたとしましょう．
これらの主張のうち，(1)は正しいものの，(2)は誤りですね．
これについて，次のように命題というものを定義しましょう．
正しいか否かが明確に決まる主張を命題という．また，命題が正しいとき命題は真であるといい，命題が正しくないとき命題は偽であるという．
命題でないものとしては，
- 彼女は頭が良い
- 彼は背が高い
などは，正しいか否かが明確には決まりませんから命題ではありません．
しかし，これらを
- 彼女の直近の試験の成績は学年１位である
- 彼の身長は180cm以上である
という主張に変えれば，正しいか正しくないかが明確に決まるのでこれらは命題です．
また，上の例について
- 「$2$は偶数である」は真
- 「$5$は$4$で割り切れる」は偽
というわけですね．
条件
数学では「$p$ならば$q$である」という形の命題がよく登場します．例えば，
- 整数$x$に対して，$x$が$4$の倍数ならば，$x$は偶数である
- 三角形$\mrm{X}$に対して，$\mrm{X}$が二等辺三角形ならば，$\mrm{X}$は正三角形である
などですね．なお，(1)は真ですが，(2)は偽ですね．
命題「$p$ならば$q$である」が真と言えるのは「$p$となるとき必ず$q$となるとき」であり，$p$が成り立っているのに$q$が成り立っていない場合が１つでもあれば「$p$ならば$q$である」は偽です．
さて，この命題「$p$ならば$q$である」において$p$や$q$のことを条件といいます．
対象$x$を含んだ文や式を$x$の条件という．
例えば，上の例(1)では
- $x$は$4$の倍数
- $x$は偶数
は整数$x$の条件で，また上の例(2)では
- $\mrm{X}$は二等辺三角形
- $\mrm{X}$は正三角形
は三角形$\mrm{X}$の条件です．
必要条件と十分条件
「$p$ならば，$q$である」型の命題については必要条件と十分条件という概念が重要です．
条件$p$, $q$に対して，命題「$p$ならば$q$である」を$p\Rightarrow q$と表す．命題$p\Rightarrow q$が真であるとき，
- $p$は$q$の十分条件である
- $q$は$p$の必要条件である
という．また，命題$p\Rightarrow q$と命題$q\Rightarrow p$がともに真であるとき，$p$は$q$の必要十分条件である，または$p$と$q$は同値であるという．
この定義から
- $p$は$q$の十分条件である
- $q$は$p$の必要条件である
は全く同じ意味であり，
- $p$は$q$の必要条件である
- $q$は$p$の十分条件である
全く同じ意味であることに注意してください．
$p$が$q$の必要条件・十分条件であるかを調べるときのポイントは，
- $p\Rightarrow q$の真偽（$p$が成り立つとき，必ず$q$が成り立つか？）
- $q\Rightarrow p$の真偽（$q$が成り立つとき，必ず$p$が成り立つか？）
を考えるということです．
いくつか具体的に考えてみましょう．
具体例１
次の条件$p$, $q$はそれぞれ他方の必要条件か，十分条件か．
- $p$；A君はX高校の生徒である
- $q$：A君は高校生である
$p$が$q$の十分条件（$q$が$p$の必要条件）であるかどうかは，命題$p\Rightarrow q$の真偽を考えればよいですね．
また，$q$が$p$の必要条件（$p$が$q$の十分条件）であるかどうかは，命題$q\Rightarrow p$の真偽を考えればよいですね．
(1)$p\Rightarrow q$の真偽：A君はX高校の生徒（条件$p$）であるとき，必ずA君は高校生（条件$q$）でしょうか？
X高校に生徒として通っているということは，必ず高校生ということになりますね．
つまり，命題「$p\Rightarrow q$」は真ですから，$p$は$q$の十分条件（$q$は$p$の必要条件）ですね．
(2)$q\Rightarrow p$の真偽：A君は高校生（条件$q$）とするとき，必ずA君はX高校の生徒（条件$p$）でしょうか？
たとえば，A君はY高校の生徒かもしれませんし，Z高校の生徒かもしれませんから，必ずしもA君がX高校の生徒であるとは言えません．
つまり，命題「$q\Rightarrow p$」は偽ですから，$p$は$q$の必要条件ではない（$q$は$p$の十分条件ではない）ですね．
(1), (2)より$p$は$q$の十分条件だが必要条件でない（$q$は$p$の必要条件だが十分条件でない）と分かりました．
具体例２
次の条件$p$, $q$はそれぞれ他方の必要条件か，十分条件か．
- $p$：$x$は偶数である
- $q$：$x$は４の倍数である
(1)$p\Rightarrow q$の真偽：$x$は偶数（条件$p$）とするとき，必ず$x$は$4$の倍数（条件$q$）でしょうか？
たとえば，$x=6$は$p$をみたしますが，$q$は満たしていません．
つまり，命題「$p\Rightarrow q$」は偽ですから，$p$は$q$の十分条件ではない（$q$は$p$の必要条件ではない）ですね．
(2)$q\Rightarrow p$の真偽：$x$は$4$の倍数（条件$q$）とするとき，必ず$x$は偶数（条件$p$）でしょうか？
$x$が4の倍数であるとき，$x$は整数$m$によって$x=4m$と表せますね．このとき，$x=2\times2m$であり，$2m$は整数ですから$x$は偶数ですね．
つまり，命題「$q\Rightarrow p$」は真ですから，$p$は$q$の必要条件（$q$は$p$の十分条件）ですね．
(1), (2)より$p$は$q$の必要条件だが十分条件でない（$q$は$p$の十分条件だが必要条件でない）と分かりました．
具体例３
次の条件$p$, $q$はそれぞれ他方の必要条件か，十分条件か．
- $p$：$x$は$6$の倍数である
- $q$：$x$は$2$の倍数かつ$3$の倍数である
(1)$p\Rightarrow q$の真偽：$x$は$6$の倍数（条件$p$）とするとき，必ず$x$は$2$の倍数かつ$3$の倍数である（条件$q$）でしょうか？
$x$が$6$の倍数であるとき，$x$は整数$m$によって$x=6m$と表せますね．このとき，
であり，$2m$と$3m$はともに整数ですから$x$は$3$の倍数かつ$2$の倍数ですね．
つまり，命題「$p\Rightarrow q$」は真ですから，$p$は$q$の十分条件（$q$は$p$の必要条件）ですね．
(2)$q\Rightarrow p$の真偽：$x$は$2$の倍数かつ$3$の倍数である（条件$q$）とするとき，必ず$x$は$6$の倍数（条件$p$）でしょうか？
$x$が$2$の倍数であるとき，$x$は整数$m$によって$x=2m$と表せます．さらに，$x=2m$が$3$の倍数であれば，$m$が$3$の倍数でなければなりませんから，$m$は整数$n$によって$m=3n$と表せます．
よって，$x=6n$となり$x$は$6$の倍数です．
つまり，命題「$q\Rightarrow p$」は真ですから，$p$は$q$の必要条件（$q$は$p$の十分条件）ですね．
(1), (2)より$p$は$q$の必要十分条件（$q$は$p$の必要十分条件）と分かりました．
以上のように，
- 真の場合は証明
- 偽の場合は反例
を考えればよいというわけですね．
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