張力の基本|滑車があっても怖くない,シンプルに理解しよう

張力は教科書でもあまり大きな扱われ方がされないためか,張力をなんとなくで捉えてしまっている人が多くいる印象を受けます.

しかし,高校物理で張力は頻出ですから,きっちり理解して使えるようになっておく必要があります.

例えば,糸を両側から引っ張ると両側に力が働きますが,このときはたらく張力は両側で等しいです.

また,張力に関する問題で迷う人が多いのは滑車が関わってくる問題ですが,滑車が関わってくる場合でも張力の考え方はいたってシンプルです.

この記事では,基本的な張力の考え方を説明し,具体例を用いて張力のはたらき方をみていきます.

なお,張力を求めるためには「力のつりあい」や「運動方程式」を用いることが多いので,そちらもきっちり押さえておいてください.

張力

ここでは

  1. まっすぐ糸を引く場合
  2. 滑車にかけて糸を引く場合

の2つに分けて基本の事実を整理しておきましょう.

まっすぐ糸を引く場合

例えば,糸の端が物体に繋がっているとき,糸を引っ張ると糸は物体を引きます.

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このように,「それほど弾力のない糸が物体を引く力」を「張力」といい,張力に関しては次の[張力]が成り立ちます.

[張力] 糸がピンと張られた状態で,糸の両端で張力の大きさは等しい.

滑車を通して糸を引く場合

例えば,下図のように物体Aと物体Bがピンと張られた糸で繋がっているとき,「糸が物体Aを引く張力」と「糸が物体Bを引く張力」は同じ大きさで,向きは逆になります.

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滑車が絡む場合の張力については,次の[滑車]が成り立ちます.

[滑車] 滑車に糸がかかっているとき,糸が滑車を引く張力の大きさは滑車の両側で等しい.

例えば,下図のように天井に留めた滑車に糸をかけて下から引くとき,「滑車の右から出ている糸が引く張力」と「滑車の右から出ている糸が引く張力」は同じ大きさです.

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なお,現実には滑車が動くときには「右の張力の大きさ」と「左の張力の大きさ」はほんの少しだけ異なります.

しかし,過剰に速く動かすのでない限りこの誤差は無視して良いので,高校物理では「滑車を引く張力の大きさはどちらも同じ」とするのが普通です.

結局,滑車があろうがなかろうが,一本の糸に関係する張力の大きさはすべて等しいと考えるわけですね.

糸の両端が引く張力の大きさは等しく,また滑車を引く張力も等しい

張力の例

さて,上で見た2つの事実([張力]と[滑車])をもとに,具体例で張力の考え方を見ていきましょう.

例1(単純な張力)

質量$m[\mrm{kg}]$の物体を天井から糸で吊るし,物体は静止している状態を考えます.このときの張力を考えます.

ただし,重力加速度の大きさを$g[\mrm{m/s^{2}}]$とします.

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このとき,天井と物体は糸から張力を受けて引っ張られます.[基本]からこの張力の大きさは等しく,この張力の大きさを$T[\mrm{N}]$としましょう.

また,物体の質量が$m[\mrm{kg}]$,重力加速度が$g[\mrm{m/s^2}]$なので,物体には鉛直下向きに大きさ$mg[\mrm{N}]$の重力がはたきます.

これらを図に書き込むと下図のようになります.

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物体は静止していることから,物体にはたらく力はつりあっているので,つりあいの条件から

\begin{align*} T-mg=0 \iff T=mg \end{align*}

となり,張力の大きさが$mg[N]$と分かりました.

例2(滑車が動かない場合)

物体Aを質量$M[\mrm{kg}]$の物体,物体Bを質量$m[\mrm{kg}]$の物体とします.ただし,$M>m$とします.

1本の糸で物体Aと物体Bを繋ぎ,糸を天井に固定された滑車にかけたところ,物体A地面についており,物体Bは糸に吊られて宙に浮いている状態になったとします.

このときの張力を考えます.ただし,重力加速度の大きさを$g[\mrm{m/s^{2}}]$とします.

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このとき,滑車は左右の糸から張力を受けて引っ張られ,物体A, Bも糸から張力を受けて引っ張られます.[基本]と[張力]からこの張力の大きさは等しく,この張力の大きさを$T[\mrm{N}]$としましょう.

また,物体A, Bの質量がそれぞれ$M[\mrm{N}]$, $m[\mrm{N}]$,重力加速度が$g[\mrm{m/s^{2}}]$なので,物体A, Bには鉛直下向きに大きさ$Mg[\mrm{N}]$, $mg[\mrm{N}]$の重力がそれぞれはたきます.

さらに,忘れてはいけないのは物体Aが床から受ける「垂直抗力」ですね.この垂直抗力の大きさを$N[\mrm{N}]$としましょう.

2つの物体が接しているときには,必ず垂直抗力がはたらいていないか注意する癖をつけてください.

これらを図に書き込むと下図のようになります.

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$m>M$より物体Aの方が重く,物体Aと物体Bは静止し続けるので,物体にはたらく力はつりあっています.よって,つりあいの条件から

\begin{align*} \begin{cases} T+N-Mg=0\\ T-mg=0 \end{cases} \iff\begin{cases} T=mg\\ N=(M-m)g \end{cases} \end{align*}

となり,張力の大きさが$mg[\mrm{N}]$,垂直抗力の大きさが$(M-m)g[\mrm{N}]$と分かりました.

なお,$N=(m-M)g$が当たり前に思えるでしょうか?

糸がない場合を考えると,物体Aには大きさ$Mg[\mrm{N}]$の重力と床からの垂直抗力がつりあうので,垂直抗力は$Mg[\mrm{N}]$です.

いまの問題では,糸で物体Aをつって物体Bが反対側から物体Aを持ち上げようと力を大きさ$mg[\mrm{N}]$の重力かけているので,$Mg[\mrm{N}]$よりも$mg[\mrm{N}]$分だけ持ち上げられ,垂直抗力が$(M-m)g[\mrm{N}]$となっているわけですね.

例3(滑車が動く場合)

物体Aを質量$m[\mrm{kg}]$の物体,物体Bを質量$M[\mrm{kg}]$の物体とします.ただし,$M>m$とします.

1本の糸で物体Aと物体Bを繋ぎ,糸を天井に固定された滑車にかけたところ,物体A地面についており,物体Bは糸に吊られて宙に浮いている状態になったとします.

このときの張力を考えます.ただし,重力加速度の大きさを$g[\mrm{m/s^{2}}]$とします.

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例2と比べて,$m$と$M$の大小が逆になっているだけですが,これが大きな違いを生みます.

例2と同じく,滑車が左右の糸から受ける張力,物体A, Bが糸から受ける張力の大きさは等しく,この張力の大きさを$T[\mrm{N}]$としましょう.

また,物体A, Bには鉛直下向きに大きさ$mg[\mrm{N}]$, $Mg[\mrm{N}]$の重力がそれぞれはたきます.

しかし,今回は物体Bの方が重いので,物体Bが滑車を通して物体Aを吊り上げていくため,物体Aに垂直抗力はかかりません.

このとき,物体Aが上昇する加速度と物体Bが下降する加速度の大きさは等しく,これを$a[\mrm{m/s^{2}}]$としましょう.

これらを図に書き込むと下図のようになります.

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物体Aは大きさ$a[\mrm{m/s^{2}}]$の加速度で上昇し,物体B大きさ大きさ$a[\mrm{m/s^{2}}]$の加速度で下降するから,運動方程式から

\begin{align*} \begin{cases} T-mg=ma\\ Mg-T=Ma \end{cases} \iff\begin{cases} T=\dfrac{2mM}{m+M}g\\ a=\dfrac{M-m}{M+m}g \end{cases} \end{align*}

となり,張力の大きさが$\dfrac{2mM}{m+M}g[\mrm{N}]$,物体A, Bの加速度の大きさが$\dfrac{M-m}{M+m}g[\mrm{N}]$と分かりました.

なお,張力の$\dfrac{2mM}{m+M}$の部分は$\dfrac{2}{\frac{1}{M}+\frac{1}{m}}$と変形できますが,これを$m$と$M$の調和平均と言います.

一般に,$n$個の正の数$a_1,\dots,a_n$に対して,$\dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}}$を$a_1,\dots,a_n$の調和平均と言います.

物理や数学には,調和平均がいろいろなところに顔を出すので,注意してみると面白いかもしれませんね.

張力は他の力との関係から求めることになるため,張力の大きさを$S[\mrm{N}]$などとおいて,「力のつりあい」や「運動方程式」を用いるのが常套手段である.その際,「1本の糸の両端の張力の大きさは等しい」という事実を踏まえて考える.

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