微分

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微分の基本7|方程式の解の個数,不等式の証明

微分の基本6|関数の最大値,最小値】の続きです.

前回の記事までで,増減表を用いて関数の極値や最大値,最小値を求められるようになりました.

これらを利用して,方程式の解の個数を調べたり,不等式の証明をすることができます.

やはり,やることは今までと同じく,導関数を求めて増減表を書きます.

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微分の基本6|関数の最大値,最小値

微分の基本5|導関数と極大値,極小値】の続きです.

関数f(x)に対して,導関数f'(x)を求めることで,関数の増減を調べることができるのでした.そして,関数の増減を調べることができるということは,関数の最大値,最小値を求めることができます.

例えば,前回の記事で説明した極値は,最大値,最小値の候補の1つとなります.

この記事では,f(x)が最大値,最小値をとるようなxについて解説します.

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微分の基本5|導関数と極大値,極小値

微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方】の続きです.

前回の記事で,関数f(x)に対して,導関数f'(x)を求めることによって,関数f(x)の増減が分かるということについて説明しました.

さて,関数f(x)の増減が分かれば,関数f(x)の最大値や最小値も求めることができるようになります.

この記事では,最大値/最小値の候補となる「極値(極大値/極小値)」について説明します.

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微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方

微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質】の続きです.

xy平面上に関数y=f(x)のグラフを描くときの最も素朴な方法は,x=0x=1x=2,……とy=f(x)に代入していき,通る点を確認する方法です.

このように,通る点をxy平面上に書き込むことを「プロット」と言いますが,グラフはプロットした点を確実に通ります.したがって,プロットすることによってグラフの形がどんな風になるのか,だいたい分かります.

しかし,プロットしてグラフを描く方法では,プロットした点の間ではどのようなグラフになっているのかが分からないという欠点もあります.

たとえば,x=0x=1でプロットしてグラフを書いても,厳密に分かっているのはx=0x=1での値だけであって,0<x<1ではグラフがぐにゃぐにゃに曲がっているかもしれません.

このように考えたとき,関数y=f(x)が増加しているのかになっているのか,減少しているのかが分かれば,安心してグラフを描くことができます.

この関数の増減を調べるために,導関数は非常に有効にはたらきます.

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微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質

微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ】の続きです.

関数y=f(x)の導関数f'(x)とは,各xf(x)の微分係数を表す関数のことをいうのでした.

導関数を定義して次に考えることは,導関数に関する性質でしょう.

この記事では,「多項式の導関数」と「導関数の性質」について説明します.

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微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ

微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義】の続きです.

関数y=f(x)x=aでの微分係数は,y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))を通る直線の平均変化率の極限として定義され,f'(a)と表すのでした.

すなわち,式で書けば,

f'(a)=\li_{h\to 0}\f{f(a+h)-f(a)}{h} \bra{=\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}}

で定義されるのでした.

さて,この記事では微分係数から自然に定義される導関数の基本と,導関数の性質について説明します.

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微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義

放物線(2次関数)y=f(x)と直線(1次関数)y=g(x)が接するかどうかといった問題は,判別式Dを用いてD=0となるのかどうかを調べるのがよくある方法です.

つまり,この問題は「放物線」と「直線」が与えられていて,それらが接するかどうかの判定です.

さて,これから解説する「微分」を用いると,「放物線」と「放物線上の点\mrm{A}」が与えられれば,点\mrm{A}での放物線の「接線」を求めることができます.

「微分」は非常に汎用性が高く,放物線だけでなく,そのほか多くの関数に対しても接線を求めることができます.

この記事では,「微分」の初歩として,「微分係数」について説明します.

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