図形と方程式

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図形と方程式の基本9|2円の共有点を通る円と直線

図形と方程式の基本8|円の接線の方程式】の続きです.

前の記事と2つ前の記事で,直線と円の関係について書きました.

この記事では,2つの共有点をもつ円C_1と円C_2が与えられたときに,それら2つ共有点を通る円(または直線)の方程式がどのように求められるのかを考えます.

この公式はこれは単に式を覚えるだけでは,問題に対応できなくなる恐れがあります.なぜ,そのような公式が成り立つのかを理解するようにして下さい.

とくに,この記事の「注意」の部分はよく理解するようにして下さい.

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図形と方程式の基本8|円の接線の方程式

図形と方程式の基本7|円と直線の共有点】の続きです.

前の記事では,どのようなときに

  1. 直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
  2. 直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
  3. 直線と円が共有点をもたない

となるのかについて説明しました.この記事では,2の「直線と円がちょうど1つの共有点をもつ(接する)場合」について,接線が円に対してどのように得られるのかを説明します.

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図形と方程式の基本7|円と直線の共有点

図形と方程式の基本6|円の方程式】の続きです.

前回までの記事で,直線の方程式と円の方程式について一通り書きました.

次は,直線と円の関係について考えます.円と直線の位置関係は,

  1. 直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
  2. 直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
  3. 直線と円が共有点をもたない

の3種類あり,直線の方程式と円の方程式が与えられたとき,上の1~3のどれになるのかを判別出来るようになっておかなければなりません.

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図形と方程式の基本6|円の方程式

形と方程式の基本5|2点間の距離,点と直線の距離】の続きです.

前回の記事までで,xy平面上の点や直線に関する性質について説明しました.

「円」は「中心の位置」と「半径」が分かれば描くことができます.これは,コンパスで円を書くことをイメージすれば分かりやすいでしょう.

一般に,xy平面上の中心(x_1,y_1),半径rの「円の方程式」は

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2

と表されます.この記事では,xy平面上の「円」について説明します.

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図形と方程式の基本5|2点間の距離,点と直線の距離

図形と方程式の基本4|一般の直線の方程式と2直線の関係】の続きです.

この記事では,xy平面上で,「2点が与えられたときの『2点間の距離』」と「1点と1本の直線が与えられたときの『点と直線の距離』」について書きます.

「2点間の距離」は中学校でも習っているはずで難しくはないのですが,「点と直線の距離」の公式は式の形が少し複雑で嫌いな人が多いようです.

ベクトルを使うと「点と直線の距離」の公式の意味を理解することもできますが,この記事では公式を導出するに留めます.

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図形と方程式の基本4|一般の直線の方程式と2直線の関係

図形と方程式の基本3|直線の方程式の導出】の続きです.

前の記事では,条件が与えられたときの直線の方程式の導出法について説明しました.

xy平面上の2本の直線に関して,この2本の直線が平行であったり垂直であったりしたとき,2本の直線の方程式の係数はある関係をもちます.

この関係のことを2直線の「平行条件」,「垂直条件」といいます.

この記事では,

  1. 2本の傾きをもつ直線の平行条件,垂直条件
  2. 2本の一般の直線の平行条件,垂直条件

に分けて解説します.

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図形と方程式の基本3|直線の方程式の導出

図形と方程式の基本2|直線の方程式】の続きです.

前の記事では,xy平面上の一般の直線の方程式がax+by+c=0 (abの少なくとも一方は0でない)で表せることを説明しました.

この記事では,条件が与えられたときの直線の方程式の導出法について説明します.

  1. 直線の「傾き」と「通る1点」が分かっている場合
  2. 直線がy軸に平行な場合
  3. 直線がx軸に平行な場合

の3つが基本的な場合で,これらの場合には,直線の方程式は直ちに求められます.ほかの場合は,この3つのいずれかに帰着させて考えます.

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