数学

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無限級数3|無限等比級数の収束条件

無限級数2|無限級数の収束条件と収束しない3つの例】の続きです.

「無限級数」は無限個の数の和というイメージであり,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kの形で書かれるものでした.

ですが,本来,無限級数は無限個の数の和ではなく,部分和の極限として定義されます.このことは【無限級数1|「無限級数」と「数列の極限」】で,詳しく書きました.

しかし,部分和の極限として話を進めるよりも,無限個の数の和として無限級数の話をした方が分かりやすいときもあるので,これらは適宜使い分けることにします.

この記事では無限級数の1つである「無限等比級数」について書きます.

無限等比級数は無限級数の中でも「収束,発散が簡単に判別でき,しかも収束する場合は簡単に計算ができる」という非常に分かりやすい無限級数だということができます.

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無限級数2|無限級数の収束条件と収束しない3つの例

無限級数1|「無限級数」と「数列の極限」】の続きです.

この記事では「無限級数」の1つの「無限等比級数」について説明します.

ですが,「無限等比級数」の説明に入る前に,普通の「無限級数」の収束条件について書きます.

なお,本来「無限級数」はただの「数列の極限」ですが,「無限個の数の和」と考えたほうが説明しやすいこともあるので,その時々で説明しやすい方で説明します.

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無限級数1|「無限級数」と「数列の極限」

無限級数は「数列の極限」が絡んでくるので数IIIの内容です.

「無限級数」とは「数列の項を無限に足し合わせたもの」というのが簡単なイメージです.

しかし,「無限に足し合わせる」という操作は数学では「極限」を使って定式化するため,「無限級数」は「極限」の分野に入ることになります.

また,「無限級数」というと身構える人も多いのですが,結局は「無限級数」も「数列の極限」と変わりません.しかし,初めて習う人は「無限級数」に戸惑うことも多いようです.

この記事で,「無限級数」が「数列の極限」に思えるようになってください.

【参考カテゴリー:数列

【参考記事:極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い

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極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い

極限の基本1|lim(リミット)は何を意味しているのか】の続きです.

あまり意識はしないかも知れませんが,実は「関数の極限」と「数列の極限」には少し違いがあります.

しかし,この両者の本質はほとんど同じで,実際にはそこまで意識しなくても同じように解けてしまう問題も多いのですが,この違いが分かっていないと間違えてしまう問題も存在します.

高校数学ではこれらは別々のものとして教わることが多いですし,そう考える方が分かりやすいと思います.なので,この記事でもそれぞれを別のものとして捉え,その違いを説明します.

なお,「数列の極限」は実は数IIIの範囲なのですが,京都大学の2015年度入試の文系数学において数列の極限が出題されました.

しかし,「文系数学での数列の極限を出題するのはダメだ!」という声は聞きませんでしたし,出題されてもほとんどの文系受験生は気付かずに普通に解こうとするはずです.

ですから,文系受験生もいざという時のためにこの記事の内容を頭の片隅に置いておいても損はないでしょう.

一方,理系受験生は「数列の極限」も「関数の極限」も範囲内ですので,この違いを押さえておくことが望まれます.あまり意識してこなかった人は是非押さえておいてください.

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極限の基本1|lim(リミット)は何を意味しているのか

「極限」には「関数の極限」と「数列の極限」の2つがありますが,この記事では数IIで習う「関数の極限」について扱います.

「数列の極限」と「関数の極限」の違いを知っておくことは重要ですが,これについては次の記事【極限の基本2|「関数の極限」と「数列の極限」の違い】で書くことにします.

平たくいえば,「関数の極限」とは,関数f(x)xをある実数aに近付けたときに,関数f(x)がどのような値に近付くのか,ということです.

とくに文系の人にとって,極限の概念は微分を学ぶ時にしか出て来ず,しかも微分を習った後はほとんど極限を扱うことはないので,あまり印象に残らないようです.

しかし,理系の人は数IIIでは極限を頻繁に使うことになりますから,確実に押さえておいてください.

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鳩の巣原理の基本と使い方

数学で重要な定理の一つに,「鳩の巣原理」というものがあります.「引き出し原理」「ディリクレ(Dirichlet)の箱入れ原理」ともいうこともあります.

非常に簡単な定理で,内容を聞くと,

「うん,そらそうやろうな」

と思う人も多いことでしょう.

高校ではあまり習いませんが,大学受験の数学にも出ることがありますし,驚くべき威力を発揮することもあります.

この記事では,「鳩の巣原理」の説明し,例を挙げて考えてみます.

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背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例

背理法1|背理法の仕組みと例】の続きです.

前回の記事では,「背理法」の基本的な考え方を説明しました.「最初に結論が間違っていると決め付けて,それを利用して矛盾を導くことでその決めつけが間違っている」という論法が「背理法」でした.

例えるなら,「相手の嘘を暴くには,相手にその嘘と矛盾することを喋らせれば良い」というわけですね

この記事では,どのようなタイプの証明に「背理法」が有効なのかを説明します.また,その理由も説明します.

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