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図形と方程式の基本4|2直線の関係

前の記事「図形と方程式の基本3|直線の方程式の導出」の続きです.

前の記事では,条件が与えられたときの直線の方程式の導出法について説明しました.

この記事では,2本の直線があったとき,この2本の直線が平行であったり垂直であったりしたときの,2つの直線の方程式の関係について書きます.

また,ここからxyの連立1次方程式が解をもつ条件などが得られます.

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2直線の傾きの関係

y軸にもx軸にも平行でない2直線の傾きについて,次の関係が成り立ちます.

[定理1] xy平面上のy軸にもx軸にも平行でない2直線ll'に対し,直線lの傾き,直線l'の傾きをそれぞれmm'とする.このとき,

  1. 直線lと直線l'が平行であることと,m=m'であることは同値
  2. 直線lと直線l'が垂直であることと,mm'=-1であることは同値

である.

2直線が平行なとき

これは良いでしょう.

xがちょうど1増加するとき,yがどれだけ増加するか,というのが傾きでしたから,平行なら傾きは等しいです.逆に,傾きが等しいなら平行であることも分かります.

2直線が垂直なとき

図形と方程式9

どちらでも一緒なので,直線lが右上がり,直線l'が右下がりの場合を考えます.

このとき,直線lの傾き,直線l'の傾きがそれぞれmm'なので,たとえば右図のようになります.このとき,

\angle\mathrm{ADB}=90^{\circ}=\angle\mathrm{CDA}

であることと,

\angle\mathrm{ABD}
=180^{\circ}-\angle\mathrm{ADB}-\angle\mathrm{DAB}
=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle\mathrm{DAB}
=90^{\circ}-\angle\mathrm{DAB}
=\angle\mathrm{CAD}

であることから,\triangle\mathrm{ADB}\triangle\mathrm{CDA}が相似であることが分かります.よって,

\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{CD}:\mathrm{DA}\Longleftrightarrow 1:m=-m':1\Longleftrightarrow mm'=-1

が得られます.

もしかすると,図を見て「あれ?\mathrm{CD}=m'ちゃうの?」と思う人もいるかもしれませんが,直線l'は右下がりなのでm'は負ですから,\mathrm{CD}=|m'|=-m'となって正しいです.

2直線の関係

xy平面上の2直線が平行なとき,垂直なときの,2直線の方程式の関係を考えます.結論から言うと,次のようになります.

[定理2] xy平面上の直線l:ax+by+c=0 (abの少なくとも一方は0でない)に対して,

  1. 直線lに平行で(x_1,y_1)を通る直線l_1a(x-x_1)+b(y-y_1)=0
  2. 直線lに垂直で(x_1,y_1)を通る直線l_2b(x-x_1)-a(y-y_1)=0

である.

この[定理2]のイメージはy軸にもx軸にも平行でない直線の場合で考えれば,理解が深まります.[定理2]を理解するために[定理1]の「2直線の傾きの関係」を使います.

[定理2]について,「係数がややこしい……」「覚えられない……」という人も多いですが,次の考え方と関連付けて考えれば覚えなくても済みます.

abがともに0でなければ,直線ly=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}なので,直線l_1の傾きは-\dfrac{a}{b}で,直線l_2の傾きは\dfrac{b}{a}です.

前の記事「図形と方程式の基本3|直線の方程式の導出」で説明したように,点(x_1,y_1)を通るという条件から,直線l_1y-y_1=-\dfrac{a}{b}(x-x_1)で,直線l_2に垂直な直線はy-y_1=\dfrac{b}{a}(x-x_1)です.

これらの分母を払って全て左辺に移項すると,直線l_1,直線l_2の式は[定理2]に書いた式になることが分かります.

abの一方が0のときは,直線l_1,直線l_2x軸,y軸のいずれかに垂直であることから,この場合でも[定理2]が成り立つことが簡単な計算から分かります.

このように,[定理2]は覚えるのではなく,理解してしまえば簡単に導くことができます.

次の記事「図形と方程式の基本5|2点間の距離,点と直線の距離」に続きます.

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