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論理と集合3|「必要条件」「十分条件」は論理のド基本

数学では「仮定」が何で,「結論」が何かということを意識するのは非常に重要です.

これを間違えるとまったく意味のない議論になってしまい,すべてが破綻することもあります.

たとえば,「 p であるとき, q を証明せよ.」という問いで,証明の中で q を使ってしまうという誤りがよくあります.

これは「まだ q が成り立つか分かっていないのに, q が成り立つ前提で話を進めてしまっている」というのが間違いです.

この記事では,論理関係の基本として,必要条件,十分条件について詳しく説明します.

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命題と条件

必要条件,十分条件について説明する前に,「命題」と「条件」の概念について整理しておきます.

しかし,この節はあまり深く考えるとよく分からなくなる恐れがあるので,ある程度読み飛ばして次の「必要条件と十分条件」の節に進んでしまっても構いません.

命題

まずは「命題」について説明します.

正しいか正しくないかが明確に決まる主張を命題という.また,命題が正しいとき命題はであるといい,命題が正しくないとき命題はであるという.

少し曖昧な感じがする人はその感覚は正しいです.

しかし,厳密に命題というものを定義するには「数理論理学」という数学を学ぶ必要があるので,詳しくはここでは触れません.

要は

  • 彼の身長は180cm以上ある
  • 2は偶数である
  • 5は4で割り切れる

など正しいか正しくないかが決まる事柄を命題というわけですね.

一方,

  • 彼女は頭が良い
  • 彼は背が高い

など判断する人の主観に依存する事柄は命題とは言いません.

また,

  • 「2は偶数である」は真
  • 「5は4で割り切れる」は偽

ですね.

条件

次に「条件」について説明します.

文字 x を含んだ文や式において,文字のとる値を変えると真偽が変わるものがある.このような文字 x を含んだ文や式を, x条件という.

たとえば,

  • x は整数である
  • x は3以上の奇数である

x が変わるごとに真偽もそれに対して決まるので「 x の条件」ですね.

命題と条件

命題は条件 pq を用いて「 p ならば, q である」の形で書かれることが多くあります.

たとえば,条件 pq

  • px は4の倍数である
  • qx は偶数である

と定めると,「 p ならば, q である」は「 x が4の倍数ならば, x は2の倍数である」ということになり,これは真の命題です.

また,条件 pq

  • p :三角形Xは二等辺三角形である
  • q :三角形Xは正三角形である

と定めると,「 p ならば, q である」は「三角形Xが二等辺三角形ならば,Xは正三角形である」ということになり,これは偽の命題ですね.

命題p\Ra qが真であるとは, p が成り立つときに必ず q が成り立つことをいう.

必要条件と十分条件

それではこの記事の本題の

  • 必要条件
  • 十分条件

について説明します.

必要条件と十分条件の定義

[必要条件,十分条件] 条件 p , q に対し,命題「 p ならば, q である」を,

\begin{align*} p\Ra q \end{align*}

と書く.命題p\Ra qが真であるとき,

  • pq十分条件である
  • qp必要条件である

という.また,命題p\Ra qと命題q\Ra pがともに真であるとき, pq必要十分条件である,または pq同値であるという.

pq の必要十分条件なときは, qp の必要十分条件でもありますね.

さて,すでに「命題の真偽」については少し説明しましたが,ここでもう一度触れておきます.

先ほど[ポイント]で「命題p\Ra qが真であるとは, p が成り立つときに必ず q が成り立つことをいう.」と書きましたが,この「必ず」という部分が重要です.

つまり, p が成り立っているのに, q が成り立たない場合が1つでもあれば,命題p\Ra qは偽であるということになります.

具体例

それでは具体例を考えてみましょう.

次のそれぞれの場合において,命題 p , q はそれぞれ他方の必要条件か,十分条件か.

  1. p ;A君はX高校の生徒である
    q :A君は高校生である
  2. px は偶数である
    qx は4の倍数である
  3. px は6の倍数である
    qx は2の倍数かつ3の倍数である

(1) [p\Ra qの真偽] 「 p :A君はX高校の生徒である」とするとき,必ず「 q :A君は高校生である」でしょうか?

これは必ず正しいですから,命題「p\Rightarrow q」は真です.

したがって, pq の十分条件です.

[q\Ra pの真偽] 「 q :A君は高校生である」とするとき,必ず「 p :A君はX高校の生徒である」でしょうか?

たとえば,A君はY高校の生徒かもしれませんし,Z高校の生徒かもしれませんから, p が必ず成り立つとは言えません.

したがって, pq の必要条件ではありません.

以上より,「 pq の十分条件だが必要条件でない」と分かりました.

また,

  • pq の十分条件である」と「 qp の必要条件である」は同じ
  • pq の必要条件でない」と「 qp の十分条件でない」は同じ

ですから,q は( p の)必要条件だが十分条件でない」ということでもありますね.

(2) [p\Ra qの真偽] 「 px は偶数である」とするとき,必ず「 qx は4の倍数である」でしょうか?

たとえば,x=6p をみたしますが, q はみたしていません.

したがって, pq の十分条件ではありません.

[q\Ra pの真偽] 「 qx は4の倍数である」とするとき,必ず「 px は偶数である」でしょうか?

x が4の倍数であるとき, x は整数mによって

\begin{align*} x=4m =2\cdot2m \end{align*}

と表すことができ,2mは整数ですから x は偶数となりますね.

したがって, pq の必要条件です.

以上より「 pq の必要条件だが十分条件でない」と分かりました.また,これは「 qp の十分条件だが必要条件でない」ということでもありますね.

(3) [p\Ra qの真偽] 「 px は6の倍数である」とするとき,必ず「 qx は2の倍数かつ3の倍数である」でしょうか?

x が6の倍数であるとき, x は整数mによって

\begin{align*} x=6m=3\cdot2m=2\cdot3m \end{align*}

と表すことができ,2mは整数ですから x は3の倍数,3mは整数ですから x は2の倍数となりますね.

したがって, pq の十分条件, qp の必要条件です.

[q\Ra pの真偽] 「 qx は2の倍数かつ3の倍数である」とするとき,必ず「 px は6の倍数である」でしょうか?

x が2の倍数であるとき, x は整数mによってx=2mと表せます.さらに,x=2mが3の倍数であれば,mが3の倍数でなければなりませんから,mは整数nによってm=3nと表せます.

よって,x=6nとなり x は6の倍数です.

したがって, pq の必要条件, qp の十分条件です.

以上より「 pq の必要十分条件である」,「 qp の必要十分条件である」と分かりました.

問題集ではさらっと解答が書かれていることが多いのですが,必要条件,十分条件を調べるときは,いつでも上の解答のようにp\Ra q, q\Ra pの真偽をみなければなりません.

このとき,

  • 真の場合は証明をし
  • 偽の場合は反例を見つければ

良いというわけですね.

条件 p , q に対して,p\Ra qの真偽で p の十分性が,q\Ra pの真偽で p の必要性が分かる.また,真の場合には証明を,偽の場合には判例を見つければよい.

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