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ワンポイント数学5|2つの微分の定義式を図から理解しよう

関数f(x)x=aでの微分係数f'(a)は,y=f(x)のグラフの接線の傾きを基にして定義されます.

教科書には,2通りの定義式\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}が書かれています.

見た目は違うもののこれらは等しい式で,どちらを用いて計算しても同じ結果になります.

この記事では,これら2つの微分の定義式が同値であることを,例を用いて直感的に説明します.

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2つの微分係数の定義

微分係数は平均変化率の極限で定義されますが,図形的な意味としては接線の傾きを表します.

微分係数の定義1

1つ目の微分の定義式は次のものです.

[定義1] 関数f(x)と実数aに対して,極限

\lim\limits_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

が存在するとき,f(x)x=aで微分可能であるという.また,この極限を「関数f(x)x=aにおける微分係数」といい,f'(a)と表す.

このf'(a)y=f(x)の傾きを表すわけですが,それは次のような図形的イメージから来ています.

xy平面上に,点\mrm{A}(a,f(a))と異なるy=f(x)上の点\mrm{B}(b,f(b))を考えます.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,b\to aとすれば直線\mrm{AB}\ellの点\mrm{A}での接線に近付きます.

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そのため,直線\mrm{AB}の傾き

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

は,b\to aとすれば\ellの点\mrm{A}での接線の傾きに近付くので,極限\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}\ellの点\mrm{A}での接線の傾きとなるわけです.

微分係数の定義2

2つ目の微分の定義式は次のものです.

[定義2] 関数f(x)と実数aに対して,極限

\li_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

が存在するとき,f(x)x=aで微分可能であるという.また,この極限を「関数f(x)x=aにおける微分係数」といい,f'(a)と表す.

[定義1]と同じく,このf'(a)y=f(x)の傾きを表すわけですが,その図形的イメージも[定義1]と同様に次のようになります.

hを実数とすると,xy平面上に点\mrm{A}(a,f(a))と異なるy=f(x)上の点\mrm{B}(a+h,f(a+h))をとることができます.

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このとき,h\to0とすれば直線\mrm{AB}\ellの点\mrm{A}での接線に近付きます.

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そのため,直線\mrm{AB}の傾き

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}\bra{=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}

も,h\to0とすれば\ellの点\mrm{A}での接線の傾きに近付くので,極限\li_{h\to 0}\f{f(a+h)-f(a)}{h}\ellの点\mrm{A}での接線の傾きとなるわけです.

[定義1]も[定義2]も,文字は違うものの,同じ図をイメージしていることが分かりますね.

2つの定義式が等しいこと

次に,[定義1]の定義式と[定義2]の定義式が等しいことを説明します.

[定義1]の定義式と[定義2]の定義式を念のため再掲しておきます.

  • [定義1]の定義式:\li_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
  • [定義2]の定義式:\li_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

[定義1]の考え方では点Aのx座標と点Bのx座標の差はb-aで,[定義2]のの考え方では点Aのx座標と点Bのx座標の差はhです.

これらは同じものを表しているので,[定義1]のbと[定義2]のhは,b-a=h\Lra b=a+hという関係をもつことが分かります.

b=a+hから,

b\to a
\iff a+h\to a
\iff h\to 0

となります.また,

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}
=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

となります.よって,

\li_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
=\li_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

が成り立ちます.

「微分係数」はxの増加が0に近付くときを考えているので,xの増加b-aに対してb\to aを考えても,xの増加をhに対してh\to0を考えても,本質は全く変わりませんね.

図のイメージから,どちらの定義式も同じであることを納得してください.

2つの定義で計算する

[定義1]の定義式と[定義2]の定義式が同じであることから,どちらの定義でも同じ結果になるはずです.

次の問題から,どちらの定義でも同じであることを納得してください.

f(x)=x^3x=2での微分係数を求めよ.

定義1

\li_{b\to 2}\dfrac{f(b)-f(2)}{b-2}
=\li_{b\to 2}\dfrac{b^3-2^3}{b-2}
=\li_{b\to 2}\dfrac{(b-2)(b^2+2b+2^2)}{b-2}
=\li_{b\to 2}(b^2+2b+2^2)
=2^2+2\times2+2^2
=3\times 2^2
=12

b-2で約分して,不定形を解消しているのが見て取れますね.

定義2

\li_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}
=\li_{h\to0}\dfrac{(2+h)^3-2^3}{h}
=\li_{h\to0}\dfrac{(2^3+3\times2^2h+3\times2h^2)-h^3}{h}
=\li_{h\to0}\dfrac{3\times2^2h+3\times2h^2}{h}
=\li_{h\to0}(3\times2^2+3\times2h)
=3\times 2^2
=12

hで約分して,不定形を解消しているのが見て取れますね.

補足

定義1と定義2で,b-2hが対応していること注意すれば,どちらも同じ計算をしていることが分かります.

微分を習いたての人は[定義1]の\li_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}で計算することが多く,慣れてくるにしたがって[定義2]の\li_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}で計算する人が多くなります.

例でも考えたように,[定義1]では極限をとる前にb-aで約分する必要があり,途中で分子を因数分解して(b-a)を出しました.一方,[定義2]ではhで約分すれば良いので,分子をhでくくれば約分ができます.

この意味で,[定義1]の定義で計算するには,因数分解を必要とするので少し計算が面倒になります.そのため,[定義2]の\li_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}で計算する方が楽なことが多いのです.

 

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