微分法７<br>方程式の実数解の個数を求め方・不等式の証明

例えば，次のような問題はどのように解けば良いでしょうか？

実数$k$に対して，方程式$x^3-3x^2-2=k$の実数解の個数を求めよ．

連立連立方程式の解はグラフの交点に対応することは，中学校で連立１次方程式と併せて学んだときから度々用いてきました．

上の問題ではこのことを利用することで解くことができます．

この記事では，微分法の応用として

方程式の実数解の個数
不等式の証明

を順に説明します．

「微分法」の一連の記事

方程式の実数解の個数
不等式の証明

方程式の実数解の個数

方程式の実数解の個数を求めるための重要定理を紹介して具体例に移りましょう．

方程式の実数解の個数に関する定理

関数$f$, $g$に対して，

$xy$平面上の$y=f(x)$, $y=g(x)$のグラフの共有点の個数
方程式$f(x)=g(x)$の実数解の個数

は等しい．

この定理を直感的に理解するには

$y=f(x)$を満たす点$(x,y)$を「全て」描いたものが$y=f(x)$のグラフ
$y=g(x)$を満たす点$(x,y)$を「全て」描いたものが$y=g(x)$のグラフ

ということを意識できていることが大切です．

これらが当たり前になっていれば，$y=f(x)$, $y=g(x)$のグラフの交点$(\alpha,\beta)$は

$\begin{align*}\beta=f(\alpha),\quad \beta=g(\alpha)\end{align*}$

をともに満たしますから$f(\alpha)=g(\alpha)$が成り立ち，$\alpha$は方程式$f(x)=g(x)$の解ということになりますね（また今の議論は逆に辿っても成り立ちます）．

この考え方が分かれば，証明もそれほど難しくないでしょう．

$x$を決めれば$f(x)$, $g(x)$は共に１つに決まるので，

$\alpha$がグラフ$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標
$\alpha$が方程式$f(x)=g(x)$の実数解

が同値であることを示せばよいですね．

[$(1)\Ra(2)$の証明] $\alpha$がグラフ$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標のとき，$f(\alpha)=g(\alpha)$をみたす．

すなわち，方程式$f(x)=g(x)$は$x=\alpha$を代入して成り立つから，$\alpha$は方程式$f(x)=g(x)$の実数解である．

[$(2)\Ra(1)$の証明] $\alpha$が方程式$f(x)=g(x)$の実数解のとき，$f(\alpha)=g(\alpha)$が成り立つ．

すなわち，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフにおいて$x=\alpha$のときの$y$座標が等しいから，$\alpha$は$y=f(x)$, $y=g(x)$の共有点の$x$座標である．

条件$P$, $Q$が同値であるとは$P\Ra Q$と$Q\Ra P$の両方が成り立つことを言いますね．

具体例１

方程式$x^3-3x^2-2=0$の実数解の個数を求めよ．

解答を表示

$f(x)=x^3-3x^2-2$とする．関数$f$の導関数$f’$は

$\begin{align*}f'(x)=&3x^2-6x \\=&3x(x-2)\end{align*}$

なので，方程式$f'(x)=0$を解くと$x=0,2$である．また，

$\begin{align*}&f(0)=0^3-3\times0^2-2=-2, \\&f(2)=2^3-3\times2^2-2=-6\end{align*}$

なので，$f(x)$の増減表は

$\begin{align*}\begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \dots & 0 & \dots & 2 & \dots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & -2 & \searrow& -6 & \nearrow \end{array}\end{align*}$

となり，$y=f(x)$のグラフは下図のようになる．

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これより，$y=f(x)$のグラフと$y=0$ ($x$軸)のグラフの共有点の個数は$1$個なので，方程式$x^3-3x^2-2=0$の実数解は$1$個である．

先ほどの定理から

$y=x^3-3x^2-2$と$y=0$の共有点の個数
方程式$x^3-3x^2-2=0$の解の個数

が等しいことを使ったわけですね．

具体例２

実数$k$に対して，方程式$x^3-3x^2-2=k$の実数解の個数を求めよ．

具体例１と異なる点は右辺が$0$でなく$k$となっているところです．このときは

$y=x^3-3x^2-2$と$y=k$の共有点の個数
方程式$x^3-3x^2-2=k$の解の個数

が等しいことを使えば良いですね．

解答を表示

$f(x)=x^3-3x^2-2$とすると，$y=f(x)$のグラフは例１と同じものになる．

よって，$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフと$y=k$のグラフの共有点の個数を考えて，方程式$x^3-3x^2-2=k$をみたす解は

$k<-6$, $-2<k$のとき１個
$k=-6,-2$のとき２個
$-6<k<-2$のとき３個

である．

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不等式の証明

微分を用いた不等式の証明も頻出なので触れておきましょう．

任意の実数$x$に対して，不等式$3x^4-2x^3-3x^2+2\geqq0$が成り立つことを示せ．

解答を表示

$f(x)=3x^4-2x^3-3x^2+2$とする．$f$の導関数$f’$は

$\begin{align*}f'(x) =&12x^3-6x^2-6x \\=&6x(2x^2-x-1) \\=&6x(2x+1)(x-1)\end{align*}$

なので，$x$の方程式$f'(x)=0$を解くと$x=-\dfrac{1}{2},0,1$である．また，

$\begin{align*}&f\bra{-\frac{1}{2}}=3\bra{-\frac{1}{2}}^4-2\bra{-\frac{1}{2}}^3-3\bra{-\frac{1}{2}}^2+2=\frac{27}{16}, \\&f(0)=3\times0^4-2\times0^3-3\times0^2+2=2, \\&f(1)=3\times1^4-2\times1^3-3\times1^2+2=0\end{align*}$

なので，増減表は

$\begin{align*}\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & \dots &-\frac{1}{2} & \dots & 0 & \dots & 1 & \dots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow &\frac{27}{16} & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}\end{align*}$