三角関数と三角比の違いは？｜偏角から三角関数を定義する！

$\ang{B}=90^\circ$の直角三角形$\tri{ABC}$について，$\theta=\ang{A}$としたときの３種類の辺の比を

$\begin{align*}\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\end{align*}$

と名付けたものを三角比というのでした．

三角形の内角の和は常に$180^\circ$だったので，$\theta=\ang{A}$は$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$の範囲しか動きません．

そこで，単位円を使うことで$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$の場合にも$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$が定義できることを以前の記事で説明しました．

同じ方法を用いると，さらに広く全ての実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義することができ，このときこれらを三角関数と呼びます．

この記事では，

偏角（三角関数の準備）
三角関数の定義

を順に解説します．

「三角関数」の一連の記事

偏角（三角関数の準備）
1. 具体例１（負の偏角）
2. 具体例２（360°を超える偏角）
三角関数の定義

偏角（三角関数の準備）

三角関数を定義するために偏角を準備しておきましょう．ざっくり言えば，向きのついた角を偏角といいます．

$xy$平面上の原点$\mrm{O}$とは異なる点$\mrm{P}$に対して，$x$軸の正方向からベクトル$\Ve{OP}$への有向角を（$x$軸正方向からの）点$\mrm{P}$の偏角という．ただし，反時計回りを正とする．

具体例１（負の偏角）

$xy$平面上の$x$軸正方向からの偏角が$-40^{\circ}$の点$\mrm{Q}$を１点図示せよ．

下図の点$\mrm{Q}$は$xy$平面上の$x$軸正方向からの偏角が$-40^{\circ}$の点である．

具体例２（360°を超える偏角）

$xy$平面上の$x$軸正方向からの偏角が$390^{\circ}$の点$\mrm{R}$を１点図示せよ．

下図の点$\mrm{R}$は$xy$平面上の$x$軸正方向からの偏角が$390^{\circ}$の点である．

三角関数の定義

偏角を定義してしまえば，三角比を$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$にまで拡張したのと同じ考え方で，任意の実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義することができます．

三角比sinθ,cosθ,tanθの角度θを90°以上に拡張する考え方

直角三角形の１つの鋭角をθとして三角比sinθ,cosθ,tanθを定義する方法では，θは0°θ<90°の範囲でしか考えられません．しかし，単位円を用いることで0°≦θ≦180°の範囲まで三角比を拡張することができます．

三角関数の定義

三角関数の定義は以下の通りです．

$\theta$を実数とする．このとき，偏角$\theta$の単位円周上の点$\mrm{P}$について，

$\mrm{P}$の$x$座標を$\cos{\theta}$
$\mrm{P}$の$y$座標を$\sin{\theta}$

と定義する．

また，$\cos{\theta}\neq0$のとき，$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$と定義する．

このように，単位円を使って任意の実数$\theta$に対して定義された$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を三角関数と呼びます．

定義の点$\mrm{P}$の$x$座標が$\cos{\theta}=0$だったので，このとき（$\theta=\pm90^\circ,\pm270^\circ,\dots$のとき）$\tan{\theta}$は定義できないことになります．

数学において０で割ってはいけないため，$\cos{\theta}\neq0$のときのみ$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を定義するわけですね．

$\tan$の図形的意味

$xy$平面上の直線$x=1$と直線$\mrm{OP}$の交点の$y$座標が$\tan\theta$となります．

これも三角比を$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$に拡張したときと同じですね．

４つの関係式

$\sin$, $\cos$, $\tan$に関する４つの関係式も三角比の場合と同様に成り立ちます．

実数$\theta$について，

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

が成り立つ．ただし，３つ目の公式は$\cos{\theta}\neq0$，４つ目の公式は$\sin{\theta}\neq0$，$\cos{\theta}\neq0$とする．

最後の条件は$\tan{\theta}$が定義されており，分母が０になってはいけないためにあります．

これらの４つの関係式はそれぞれ

$\tan$と$\cos$と$\sin$の関係式
$\cos$と$\sin$の関係式
$\cos$と$\tan$の関係式
$\sin$と$\tan$の関係式

となっていることは意識しておきたいところです．これが意識できていれば

$\cos$から$\sin$を求めるときは公式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$\tan$から$\sin$を求めるときは公式$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

といったように，どの公式を使うのがよいかは自然に見えてくるはずですね．