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三角比1|三角比って何?三角比の考え方から解説!

三角関数は高校数学で非常に大きく扱われる分野であり,実際に使いこなせると非常に便利な道具の一つです.

中学数学までは直角三角形などの特殊な三角形でしかなかなか辺の長さを求められなかったのが,三角比,三角関数の登場で今まで長さが求められなかった辺に長さを「名付ける」ことができるようになります.

一方で,この便利さを実感するためには,変換公式などの基本事項をさっと使えるようになっておく必要があり,この段階でつまずいてしまう生徒は少なくありません.

定義はルールですからしっかり覚える必要はありますが,公式についてはある程度は覚えやすい考え方やコツがあります.

この一連の記事では,できるだけ覚えることが少なく済むように,三角関数を説明します.

この最初の記事では,三角比の定義と,有名角の三角比の値を説明します.

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三角比の定義

$\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$と,$\ang{B’}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{A’B’C’}$を考えます.

このとき,もし$\ang{A}=\ang{A’}$であれば,この2つの直角三角形は二角相等(2つの角がそれぞれ等しい)により相似であることが分かります.

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よって,相似$\tri{ABC}\sim\tri{A’B’C’}$により,$\mrm{AB}:\mrm{BC}:\mrm{CA}=\mrm{A’B’}:\mrm{B’C’}:\mrm{C’A’}$が成り立つので,

\begin{align*} \dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}=\dfrac{\mrm{A'B'}}{\mrm{A'C'}},\quad \dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}=\dfrac{\mrm{B'C'}}{\mrm{A'C'}},\quad \dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}=\dfrac{\mrm{C'B'}}{\mrm{A'B'}} \end{align*}

が成り立ちます.

すなわち,$\ang{B}=\ang{90^{\circ}}$の直角三角形で$\ang{A}$の大きささえ決めてしまえば,$\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}$, $\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}$, $\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}$の値は辺の長さがどうであろうと同じということになります.

そこで,「$\ang{A}$を決めればこれら3つの辺の比が決まるから,この3つの辺の比に名前をつけよう」ということで,以下の三角比の定義になります.

$\ang{B}=90^{\circ}$の直角三角形$\tri{ABC}$に対して,$\theta=\ang{A}$とする.

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このとき,実数$\cos{\theta}$, $\sin{\theta}$, $\tan{\theta}$を

\begin{align*} \cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}},\quad \sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}},\quad \tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}} \end{align*}

と定める.また,$\cos$を余弦,$\sin$を正弦,$\tan$を正接という.

どの辺の比がどの三角比比になるのか,筆記体の書き順で覚える方法をよく見かけますね.

どんな方法にせよ,定義はしっかり覚えてください.

相似な三角形の辺の比は一定なので,直角三角形で1つの鋭角の角度を決めると辺の比が決まる.この辺の比に名前をつけたものが三角比である.

具体的な三角比の値

具体的に,三角比の値がどうなるか計算してみましょう.

30度の三角比

$\cos{30^\circ}$, $\sin{30^\circ}$, $\tan{30^\circ}$は,それぞれ以下の図の$\cos{\ang{A}}$, $\sin{\ang{A}}$, $\tan{\ang{A}}$ですね.

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この直角三角形$\tri{ABC}$は正三角形ACC’で,辺CC’の中点をBとしてできます.

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よって,$\mrm{BC}:\mrm{CA}=1:2$ですから,三平方の定理より$\mrm{AB}:\mrm{BC}:\mrm{CA}=\sqrt{3}:1:2$となり,

\begin{align*} \cos{30^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin{30^\circ}=\dfrac{1}{2},\quad \cos{30^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}

が分かります.

45度の三角比

$\cos{45^\circ}$, $\sin{45^\circ}$, $\tan{45^\circ}$は,それぞれ以下の図の$\cos{\ang{A}}$, $\sin{\ang{A}}$, $\tan{\ang{A}}$ですね.

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この直角三角形$\tri{ABC}$は$\mrm{AB}=\mrm{BC}$, $\ang{B}=90^{\circ}$の直角二等辺三角形なので,三平方の定理と併せて$\mrm{AB}:\mrm{BC}:\mrm{CA}=1:1:\sqrt{2}$となり,

\begin{align*} \cos{45^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\quad \sin{45^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\quad \cos{45^\circ}=1 \end{align*}

が分かります.

60度の三角比

$\cos{60^\circ}$, $\sin{60^\circ}$, $\tan{60^\circ}$は,それぞれ以下の図の$\cos{\ang{A}}$, $\sin{\ang{A}}$, $\tan{\ang{A}}$ですね.

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これは30度のときと同様に正三角形を真っ二つにし,三平方の定理と併せて$\mrm{AB}:\mrm{BC}:\mrm{CA}=1:\sqrt{3}:2$となり,

\begin{align*} \cos{60^\circ}=\dfrac{1}{2},\quad \sin{60^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos{60^\circ}=\sqrt{3} \end{align*}

が分かります.

有名角の三角比の覚え方

以上のように,$30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$の三角比は簡単に求まるので,この3つの角を有名角ということがあります.

以上をまとめると,有名角の三角比は

有名角の三角比
$\theta$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$
$\cos{\theta}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$
$\sin{\theta}$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan{\theta}$ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 1 $\sqrt{3}$

となります.邪道ですが,$\sin{\theta}$は$\theta=30^{\circ}\to45^{\circ}\to60^{\circ}$となるとき,

\begin{align*} \dfrac{\sqrt{1}}{2}\bra{=\dfrac{1}{2}}\to\dfrac{\sqrt{2}}{2}\to\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

とたまたま$\dfrac{\sqrt{\quad}}{2}$の$\sqrt{\quad}$の中身が$1\to2\to3$と増えていくので,これを知っていれば覚えやすいかと思います.

この表はすぐに埋められるようになっておかなければ使い物にならないので,自分で何度も復習して覚えてください.

また,$\theta=45^\circ$の場合の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$においては,$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$と$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$のどちらで表されることも多いです.

そのため,どちらの表し方でも同じだという感覚は持っていて欲しいところです.

有名角の三角比は「直角二等辺三角形」または「正三角形を真っ二つにした直角三角形」を考えることで得られる.

最後までありがとうございました!

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