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三角比2|sin,cos,tanの超重要な4つの関係式

前回の記事では三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義し,$30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$の三角比の値を計算しました.

さて,三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$は独立したものではなく,互いに関係性をもっています.この関係式は全部で4つあり,三角比の計算をする上では非常に重要です.

また,角度$\theta$が変わったときに,三角比もどのように変わるのかも知りたいところです.

三角比では$\sin{(90^\circ-\theta)}$, $\cos{(90^\circ-\theta)}$, $\tan{(90^\circ-\theta)}$がそれぞれ$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を使って表すことができ,この3つの角度の変換公式が重要です.

本記事では,これら三角比の間の4つの関係式と,3つの角度の変換公式を説明します.

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三角比の間の4つの関係式

三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$の間には次の関係式が成り立ちます.

$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$について,

  1. $\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
  2. $\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
  3. $1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
  4. $1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

の4つの関係式が成り立つ.

最初の3つは教科書にも載っていますが,この3つ目は「頑張って覚えている」という人が多くいます.

しかし,実は最初の2個の公式から3つ目の公式は,瞬時に求められるのでほとんど覚える必要がありません.

そして,この3つ目の公式の求め方が分かっていれば,おそらく多くの人が見慣れないであろう4つ目の公式も瞬時に求められるようになります.

さて,$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$で三角比を考えるとき,$\theta=\ang{A}$かつ$\ang{B}=90^\circ$を満たす$\tri{ABC}$を考えれば良いですね.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,$\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}$, $\sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}$, $\tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}$ですね.

公式1

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$は三角比が3つとも現れる関係式ですね.

この式は三角比の定義から簡単に導けますが,三角比では$\cos{\theta}\neq0$なので分母を払った$\tan{\theta}\cos{\theta}=\sin{\theta}$と同値ですね.

こちらを示す方が,繁分数(分数の分数)にならなくて,少し見栄えがいいです.

[証明]

定義より,

\begin{align*} \tan{\theta}\cos{\theta} =&\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\cdot\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}} \\=&\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}} \\=&\sin{\theta} \end{align*}

が成り立つ.

[証明終]

さて,適当に式変形すれば,この公式は

\begin{align*} \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \iff \cos{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\tan{\theta}} \iff \tan{\theta}\cos{\theta}=\sin{\theta} \end{align*}

の3種類で表すことができ,$\cos$, $\sin$, $\tan$はそれぞれ他の2つで表せることになります.

つまり,三角比のうち2つが分かれば残り1つが簡単に求まるということが分かります.

3つの三角比の関係式$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$から,$\cos$, $\sin$, $\tan$はそれぞれ他の2つで表せることが分かる.

公式2

$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$は$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の関係式ですね.

つまり,この公式を使えば$\sin{\theta}$から$\cos{\theta}$が,また逆に$\cos{\theta}$から$\sin{\theta}$が得られるということになります.

この公式も公式1と同様に定義から直接示すこともできますが,三平方の定理から図形的に示すこともできます.

定義から明らかですが,三角比において以下の考え方は非常に便利です.

斜辺ACの長さが$r$の直角三角形$\tri{ABC}$において,

  • $\mrm{AB}=r\cos{\theta}$
  • $\mrm{BC}=r\sin{\theta}$

が成り立つ.

Rendered by QuickLaTeX.com

つまり,斜辺の長さが分かれば,残りの2辺は$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$をかければ得られるということになります.

したがって,斜辺の長さが1の直角三角形$\tri{ABC}$を考えると,残りの2辺の長さは$\cos{\theta}$と$\sin{\theta}$となります.

Rendered by QuickLaTeX.com

この三角形で三平方の定理を用いると,目的の関係式

\begin{align*} \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1 \end{align*}

が得られました.

このように,公式2は斜辺の長さが1の直角三角形で三平方の定理を使うだけで求められます.

これが見えれば,この公式2が三平方の定理にしか見えなくなってきますね.

$\sin$と$\cos$の関係式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$は斜辺の長さが1の直角三角形で三平方の定理を考えれば直ちに得られる.

公式3

$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$は$\tan{\theta}$と$\cos{\theta}$の関係式ですね.

つまり,この公式を使えば$\tan{\theta}$から$\cos{\theta}$が,また逆に$\cos{\theta}$から$\tan{\theta}$が得られるということになります.

この公式も定義から直接示すことができますが,公式1と公式2を使えば以下のように瞬時に導くことができます.

[証明]

公式2の等式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$の両辺を$\cos^{2}{\theta}$で割って,

\begin{align*} 1+\bra{\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}^{2}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}} \end{align*}

が成り立ちます.ここで公式1の等式$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を使えば

\begin{align*} 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}} \end{align*}

が得られる.

[証明終]

$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$の両辺を$\cos^{2}{\theta}$で割って,$\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を$\tan{\theta}$に置き換えるだけですね.

これが見えるとほとんど覚える必要なく,一瞬で導くことができますね.

公式4

公式2は「$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の関係式」で,公式3は「$\tan{\theta}$と$\cos{\theta}$の関係式」でしたから,あとは「$\tan{\theta}$と$\sin{\theta}$の関係式」が欲しいですね.

実は,公式4の$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$が「$\tan{\theta}$と$\sin{\theta}$の関係式」となっています.

つまり,この公式を使えば$\tan{\theta}$から$\sin{\theta}$が,また逆に$\sin{\theta}$から$\tan{\theta}$が得られるということになります.

この公式4は公式3と同様に,以下のように瞬時に導くことができます.

[証明]

公式2の等式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$の両辺を$\sin^{2}{\theta}$で割って,

\begin{align*} \bra{\dfrac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}^{2}+1=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}} \end{align*}

が成り立ち,ここで公式1の等式$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を使えば

\begin{align*} 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}} \end{align*}

が得られる.

[証明終]

公式2の$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$の両辺を$\cos^{2}{\theta}$で割れば公式3がすぐに求まったように,$\sin^{2}{\theta}$で割れば公式4がすぐに求まります.

やはり,公式4も公式3と同じく,ほとんど覚える必要なく,一瞬で導くことができますね.

2つの公式$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$と$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$から,

  • $\tan$と$\cos$の関係式$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
  • $\tan$と$\sin$の関係式$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

が直ちに得られる.

最後までありがとうございました!

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