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三角比2|sin,cos,tanの超重要な4つの関係式

前回の記事では三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を定義し,30^\circ60^\circ90^\circの三角比の値を計算しました.

さて,三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}は独立したものではなく,互いに関係性をもっています.この関係式は全部で4つあり,三角比の計算をする上では非常に重要です.

また,角度\thetaが変わったときに,三角比もどのように変わるのかも知りたいところです.

三角比では\sin{(90^\circ-\theta)}\cos{(90^\circ-\theta)}\tan{(90^\circ-\theta)}がそれぞれ\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を使って表すことができ,この3つの角度の変換公式が重要です.

本記事では,これら三角比の間の4つの関係式と,3つの角度の変換公式を説明します.

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三角比の間の4つの関係式

三角比\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}の間には次の関係式が成り立ちます.

0<\theta<90^\circなる実数\thetaについて,

  1. \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  2. \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  3. 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  4. 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

の4つの関係式が成り立つ.

最初の3つは教科書にも載っていますが,この3つ目は「頑張って覚えている」という人が多くいます.

しかし,実は最初の2個の公式から3つ目の公式は,瞬時に求められるのでほとんど覚える必要がありません.

そして,この3つ目の公式の求め方が分かっていれば,おそらく多くの人が見慣れないであろう4つ目の公式も瞬時に求められるようになります.

さて,0<\theta<90^\circなる実数\thetaで三角比を考えるとき,\theta=\ang{A}かつ\ang{B}=90^\circを満たす\tri{ABC}を考えれば良いですね.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}\sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}\tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}ですね.

公式1

\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}は三角比が3つとも現れる関係式ですね.

この式は三角比の定義から簡単に導けますが,三角比では\cos{\theta}\neq0なので分母を払った\tan{\theta}\cos{\theta}=\sin{\theta}と同値ですね.

こちらを示す方が,繁分数(分数の分数)にならなくて,少し見栄えがいいです.

[証明]

定義より,

\begin{align*} \tan{\theta}\cos{\theta} =&\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}\cdot\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}} \\=&\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}} \\=&\sin{\theta} \end{align*}

が成り立つ.

[証明終]

さて,適当に式変形すれば,この公式は

\begin{align*} \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \iff \cos{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\tan{\theta}} \iff \tan{\theta}\cos{\theta}=\sin{\theta} \end{align*}

の3種類で表すことができ,\cos\sin\tanはそれぞれ他の2つで表せることになります.

つまり,三角比のうち2つが分かれば残り1つが簡単に求まるということが分かります.

3つの三角比の関係式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}から,\cos\sin\tanはそれぞれ他の2つで表せることが分かる.

公式2

\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1\sin{\theta}\cos{\theta}の関係式ですね.

つまり,この公式を使えば\sin{\theta}から\cos{\theta}が,また逆に\cos{\theta}から\sin{\theta}が得られるということになります.

この公式も公式1と同様に定義から直接示すこともできますが,三平方の定理から図形的に示すこともできます.

定義から明らかですが,三角比において以下の考え方は非常に便利です.

斜辺\mrm{AC}の長さがrの直角三角形\tri{ABC}において,

  • \mrm{AB}=r\cos{\theta}
  • \mrm{BC}=r\sin{\theta}

が成り立つ.

Rendered by QuickLaTeX.com

つまり,斜辺の長さが分かれば,残りの2辺は\sin{\theta}\cos{\theta}をかければ得られるということになります.

したがって,斜辺の長さが1の直角三角形\tri{ABC}を考えると,残りの2辺の長さは\cos{\theta}\sin{\theta}となります.

Rendered by QuickLaTeX.com

この三角形で三平方の定理を用いると,目的の関係式

\begin{align*} \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1 \end{align*}

が得られました.

このように,公式2は斜辺の長さが1の直角三角形で三平方の定理を使うだけで求められます.

これが見えれば,この公式2が三平方の定理にしか見えなくなってきますね.

\sin\cosの関係式\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1は斜辺の長さが1の直角三角形で三平方の定理を考えれば直ちに得られる.

公式3

1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}\tan{\theta}\cos{\theta}の関係式ですね.

つまり,この公式を使えば\tan{\theta}から\cos{\theta}が,また逆に\cos{\theta}から\tan{\theta}が得られるということになります.

この公式も定義から直接示すことができますが,公式1と公式2を使えば以下のように瞬時に導くことができます.

[証明]

公式2の等式\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\cos^{2}{\theta}で割って,

\begin{align*} 1+\bra{\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}^{2}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}} \end{align*}

が成り立ちます.ここで公式1の等式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}を使えば

\begin{align*} 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}} \end{align*}

が得られる.

[証明終]

\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\cos^{2}{\theta}で割って,\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\tan{\theta}に置き換えるだけですね.

これが見えるとほとんど覚える必要なく,一瞬で導くことができますね.

公式4

公式2は「\sin{\theta}\cos{\theta}の関係式」で,公式3は「\tan{\theta}\cos{\theta}の関係式」でしたから,あとは「\tan{\theta}\sin{\theta}の関係式」が欲しいですね.

実は,公式4の1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}が「\tan{\theta}\sin{\theta}の関係式」となっています.

つまり,この公式を使えば\tan{\theta}から\sin{\theta}が,また逆に\sin{\theta}から\tan{\theta}が得られるということになります.

この公式4は公式3と同様に,以下のように瞬時に導くことができます.

[証明]

公式2の等式\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\sin^{2}{\theta}で割って,

\begin{align*} \bra{\dfrac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}^{2}+1=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}} \end{align*}

が成り立ち,ここで公式1の等式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}を使えば

\begin{align*} 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}} \end{align*}

が得られる.

[証明終]

公式2の\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\cos^{2}{\theta}で割れば公式3がすぐに求まったように,\sin^{2}{\theta}で割れば公式4がすぐに求まります.

やはり,公式4も公式3と同じく,ほとんど覚える必要なく,一瞬で導くことができますね.

2つの公式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1から,

  • \tan\cosの関係式1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  • \tan\sinの関係式1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

が直ちに得られる.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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