三角比7|【余弦定理】は「三平方の定理」の進化版!

三角形に関する三角比の定理として重要なものに

  • 正弦定理
  • 余弦定理

があり,[正弦定理]は前回の記事で説明しました.

[余弦定理]は直角三角形で成り立つ[三平方の定理]の拡張で,これがどういうことか分かれば,そう苦労なく余弦定理の公式を覚えることができます.

なお,[余弦定理]には実は

  • 第1余弦定理
  • 第2余弦定理

の2種類があり,いま述べた[三平方の定理]の進化版なのは第2余弦定理の方です.

この記事では,第2余弦定理を中心に[余弦定理]について解説します.

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第2余弦定理

単に余弦定理といえば,ここで説明する第2余弦定理を指すのが普通です.

余弦定理の考え方

余弦定理は以下の通りです.

[(第2)余弦定理] $\tri{ABC}$について,$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とする.また,$\theta=\ang{A}$とする.

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このとき,次の等式

\begin{align*} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\theta} \end{align*}

が成り立つ.

この余弦定理で成り立つ等式は一見複雑に見えますが,実は三平方の定理をふまえるとそれほど難しくありません.

その説明のために,三平方の定理を確認しておきましょう.

[三平方の定理] $\ang{A}=90^{\circ}$の$\tri{ABC}$について,$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とする.

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このとき,次の等式

\begin{align*} a^{2}=b^{2}+c^{2} \end{align*}

が成り立つ.

三平方の定理は余弦定理で$\theta=90^\circ$としたものになっていますね.

つまり,$\ang{A}$が直角でないときに,どのようになるのかを述べた定理が(第2)余弦定理です.

そして

  • 三平方の定理($\ang{A}=90^\circ$)の場合
  • 余弦定理($\ang{A}=\theta$)の場合

に成り立つ等式を比べると

  • $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
  • $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\theta}$

ですから,余弦定理の場合は$-2bc\cos{\theta}$の項が三平方の定理に付け加えられているだけですね.

つまり,$\ang{A}$が$90^\circ$から$\theta$に変わると,三平方の定理の等式が$-2bc\cos{\theta}$分だけズレるということになっているわけです.

このように見ることができれば,余弦定理で成り立つ等式もそれほど難しくないですね.

なお,ベクトルを学ぶと内積とも関連付けて考えることができて更に覚えやすくなりますが,ここでは割愛します.

余弦定理は三平方の定理の拡張であり,$\ang{A}$が$90^\circ$から$\theta$になったとき$a^{2}=b^{2}+c^{2}$の右辺が$-2bc\cos{\theta}$だけ変化する.

余弦定理の例

証明は後回しにして,余弦定理を具体的に使ってみましょう.

例1

$\mrm{AB}=3$, $\mrm{BC}=\sqrt{7}$, $\mrm{CA}=2$の$\tri{ABC}$に対して,$\ang{A}$の大きさを求めよ.

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余弦定理より,

\begin{align*} &\mrm{BC}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{CA}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{CA}\times\cos{\ang{A}} \\\iff& 7=9+4-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{\ang{A}} \\\iff& 12\cos{\ang{A}}=6 \\\iff& \cos{\ang{A}}=\frac{1}{2} \\\iff& \ang{A}=60^\circ \end{align*}

である.

例2

$\mrm{AB}=2$, $\mrm{BC}=3$, $\ang{B}=120^\circ$の$\tri{ABC}$に対して,辺$\mrm{CA}$の長さを求めよ.

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余弦定理より,

\begin{align*} &\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\ang{B}} \\\iff& \mrm{CA}^2=4+9-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{120^\circ} \\\iff& \mrm{CA}^2=19 \\\iff& \mrm{CA}=\sqrt{19} \end{align*}

である.ただし,最後の同値$\iff$では$\mrm{CA}>0$であることに注意.

3辺の長さと1つの内角が絡む場合に,余弦定理を用いることができる.

余弦定理の証明

それでは余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{\theta}$は

  • $\ang{A}$と$\ang{B}$がともに鋭角の場合
  • $\ang{A}$が鈍角の場合
  • $\ang{B}$が鈍角の場合

に分けて証明することができます.

[1] $\ang{A}$と$\ang{B}$がともに鋭角の場合

頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をHとする.

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$\tri{HBC}$において,

  • $\mrm{AH}=b\cos{\theta}$
  • $\mrm{CH}=b\sin{\theta}$

である.よって,$\tri{ABC}$で三平方の定理より,

\begin{align*} a^2 =&\mrm{BC}^2 \\=&\mrm{CH}^2+\mrm{BH}^2 \\=&\mrm{CH}^2+(\mrm{AB}-\mrm{AH})^2 \\=&(b\sin{\theta})^2+(c-b\cos{\theta})^2 \\=&b^2\sin^2{\theta}+(c^2-2bc\cos{\theta}+b^2\cos^2{\theta}) \\=&b^2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})+c^2-2bc\cos{\theta} \\=&b^2+c^2-2bc\cos{\theta} \end{align*}

となって,余弦定理が従う.

[2] $\ang{A}$が鈍角の場合

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとする.

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$\tri{HCA}$において,

  • $\mrm{AH}=\mrm{AC}\cos{(180^\circ-\theta)}=-b\cos{\theta}$
  • $\mrm{CH}=\mrm{AC}\sin{(180^\circ-\theta)}=b\sin{\theta}$

である.

よって,$\tri{AHC}$で三平方の定理より,

\begin{align*} a^2 =&\mrm{BH}^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{AB}+\mrm{AH})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(c-b\cos{\theta})^2+(b\sin{\theta})^2 \\=&(c^2-2bc\cos{\theta}+b^2\cos^2{\theta})+b^2\sin^2{\theta} \\=&b^2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})+c^2-2bc\cos{\theta} \\=&b^2+c^2-2bc\cos{\theta} \end{align*}

となって,余弦定理が従う.

[3] $\ang{B}$が鈍角の場合

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとする.

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$\tri{HCA}$において,

  • $\mrm{AH}=\mrm{AC}\cos{\theta}=b\cos{\theta}$
  • $\mrm{CH}=\mrm{AC}\sin{\theta}=b\sin{\theta}$

である.よって,$\tri{BHC}$で三平方の定理より,

\begin{align*} a^2 =&\mrm{BH}^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{AH}-\mrm{AB})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(b\cos{\theta}-c)^2+(b\sin{\theta})^2 \\=&(b^2\cos^2{\theta}-2bc\cos{\theta}+c^2)+b^2\sin^2{\theta} \\=&b^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})+c^2-2bc\cos{\theta} \\=&b^2+c^2-2bc\cos{\theta} \end{align*}

となって,余弦定理が従う.

第1余弦定理

次に,第1余弦定理の説明に移ります.

[第1余弦定理] $\tri{ABC}$について,$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とする.

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このとき,次の等式が成り立つ.

\begin{align*} c=b\cos{\ang{A}}+a\cos{\ang{B}} \end{align*}

$\ang{A}$と$\ang{B}$がともに鋭角の場合には,頂点Cから辺ABに下ろした垂線をHとすれば,

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$\mrm{AB}=\mrm{AH}+\mrm{BH}$と

  • $\mrm{AH}=b\cos{\ang{A}}$
  • $\mrm{BH}=a\cos{\ang{B}}$

から,すぐに第1余弦定理$c=b\cos{\ang{A}}+a\cos{\ang{B}}$が成り立つことが分かりますね.

また,$\ang{A}$が鈍角の場合には,頂点Cから辺ABに下ろした垂線をHとすれば,

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$\mrm{AB}=\mrm{BH}-\mrm{AH}$と

  • $\mrm{AH}=b\cos{(180^\circ-\ang{A})}=-b\cos{\ang{A}}$
  • $\mrm{BH}=a\cos{\ang{B}}$

から,この場合もすぐに第1余弦定理$c=b\cos{\ang{A}}+a\cos{\ang{B}}$が成り立つことが分かりますね.

また,AとBは対称なので,$\ang{B}$が鈍角の場合にも同様に成り立ちます.

第1余弦定理はひとつの辺に注目すれば簡単に得られる.

三角関数

以上で数学Iの「三角比」の分野の基本事項は説明し終えました.

数学IIになると,三角比は「三角関数」と呼ばれて非常に重要な道具となります.

次の記事から三角関数の説明に移ります.

最後までありがとうございました!

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