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三角比7|【余弦定理】は「三平方の定理」の進化版!

三角形に関する三角比の定理として重要なものに

  • 正弦定理
  • 余弦定理

があります.[正弦定理]は前回の記事で説明しました.

[余弦定理]は直角三角形で成り立つ[三平方の定理]の拡張パックで,これがどういうことか分かれば,そう苦労なく余弦定理の公式を覚えることができます.

また,[余弦定理]には実は

  • 第1余弦定理
  • 第2余弦定理

の2種類があり,いま述べた[三平方の定理]の進化版なのは第2余弦定理の方です.

この記事では,第2余弦定理を中心に[余弦定理]について解説します.

第2余弦定理

単に「余弦定理」といえば,普通はこの第2余弦定理を指します.

三平方の定理

第2余弦定理を説明する前に,三平方の定理を簡単に復習しておきましょう.

[三平方の定理] \ang{B}=90^\circ\tri{ABC}について,以下が成り立つ.

\begin{align*} \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2 \end{align*}

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三平方の定理はその名の通り,3辺の平方(2乗)の関係式のことでした.

なお,三平方の定理は別名「ピタゴラス(Pythagoras)の定理」ともいいますね.

余弦定理の考え方

三平方の定理は直角三角形にのみ使える定理で,直角三角形でなければ三平方の定理は途端に使えなくなります.

そこで,\ang{B}が直角でないときに,どのようになるのかを述べた定理が第2余弦定理です.

[(第2)余弦定理] \ang{B}=\theta\tri{ABC}について,以下が成り立つ.

\begin{align*} \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta} \end{align*}

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さて,

  • 三平方の定理(\ang{B}=90^\circ)の場合
  • 余弦定理(\ang{B}=\theta)の場合

を比べると,

  • \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2
  • \mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}

ですから,余弦定理の場合には-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}の項が三平方の定理に付け加えられているだけですね.

つまり,\ang{B}90^\circから\thetaにズレると,-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}分だけ右辺がズレるというわけです.

こう考えると,パッと見ではややこしそうに見えますが,三平方の定理に一つ項を加えるだけですから,それほど難なく覚えることができますね.

なお,ベクトルを学ぶと内積とも関連付けて考えることができて,さらに覚えやすくなりますが,ここでは割愛します.

余弦定理は三平方の定理の拡張であり,\ang{B}90^\circから\thetaになったとき\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2の右辺が-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}だけ変化する.

余弦定理の例

証明は後回しにして,余弦定理を具体的に使ってみましょう.

例1

\mrm{AB}=3, \mrm{BC}=2, \mrm{CA}=\sqrt{7}\tri{ABC}を考えます.

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余弦定理より,

\begin{align*} &\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\ang{B}} \\\iff& 7=9+4-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{\ang{B}} \\\iff& 12\cos{\ang{B}}=6 \\\iff& \cos{\ang{B}}=\frac{1}{2} \\\iff& \ang{B}=60^\circ \end{align*}

と分かります.

例2

\mrm{AB}=2, \mrm{BC}=3, \ang{B}=120^\circ\tri{ABC}を考えます.

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余弦定理より,

\begin{align*} &\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\ang{B}} \\\iff& \mrm{CA}^2=4+9-2\cdot2\cdot3\cdot\cos{120^\circ} \\\iff& \mrm{CA}^2=19 \\\iff& \mrm{CA}=\sqrt{19} \end{align*}

と分かります.

3辺の長さと1つの内角が絡む場合に,余弦定理を用いることができる.

余弦定理の証明

それでは余弦定理\mrm{CA}^2=\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\mrm{AB}\times \mrm{BC}\times\cos{\theta}

  • \ang{A}\ang{B}がともに鋭角の場合
  • \ang{A}が鈍角の場合
  • \ang{B}が鈍角の場合

に分けて証明しましょう.

[1] \ang{A}\ang{B}がともに鋭角の場合

頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をHとします.

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\tri{HBC}において,

  • \mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{\theta}
  • \mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{\theta}

である.よって,\tri{AHC}で三平方の定理より,

\begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BH})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BC}\cos{\theta})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \\=&(\mrm{AB}^2-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta}+\mrm{BC}^2\cos^2{\theta})+\mrm{BC}^2\sin^2{\theta} \\=&\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta} \\=&\mrm{AB}^2+\mrm{BC}^2-2\times\mrm{AB}\times\mrm{BC}\cos{\theta} \end{align*}

となって,余弦定理が従います.

[2] \ang{A}が鈍角の場合

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとします.

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\tri{HBC}において,

  • \mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{(180^\circ-\theta)}=-\mrm{BC}\cos{\theta}
  • \mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{\theta}

である.なお,BHに関して,180^\circ-\theta形の変換公式は以下の記事を参照してください.

よって,\tri{AHC}で三平方の定理より,

\begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{BH}-\mrm{AB})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{BC}\cos{\theta}-\mrm{AB})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \end{align*}

となって,あとは[1]と同様に余弦定理が従います.

[3] \ang{B}が鈍角の場合

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとします.

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\tri{HBC}において,

  • \mrm{BH}=\mrm{BC}\cos{(180^\circ-\theta)}=-\mrm{BC}\cos{\theta}
  • \mrm{CH}=\mrm{BC}\sin{(180^\circ-\theta)}=\mrm{BC}\sin{\theta}

である.よって,\tri{AHC}で三平方の定理より,

\begin{align*} \mrm{CA}^2 =&\mrm{AH}^2+\mrm{HC}^2 \\=&(\mrm{AB}+\mrm{BH})^2+\mrm{CH}^2 \\=&(\mrm{AB}-\mrm{BC}\cos{\theta})^2+(\mrm{BC}\sin{\theta})^2 \end{align*}

となって,あとは[1]と同様に余弦定理が従います.

第1余弦定理

それでは,第1余弦定理の説明に移ります.

[第1余弦定理] \tri{ABC}について,以下が成り立つ.

\begin{align*} \mrm{AB}=\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}

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\ang{A}\ang{B}がともに鋭角の場合には,頂点Cから辺ABに下ろした垂線をHとすれば,

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  • \mrm{AH}=\mrm{CA}\cos{\ang{A}}
  • \mrm{BH}=\mrm{CB}\cos{\ang{B}}

なので,

\begin{align*} \mrm{AB} =&\mrm{AH}+\mrm{BH} \\=&\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}

となって,第1余弦定理が成り立つことは簡単に分かりますね.

また,\ang{A}が鈍角の場合には,頂点Cから辺ABに下ろした垂線をHとすれば,

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  • \mrm{AH}=\mrm{CA}\cos{(180^\circ-\ang{A})}=-\mrm{CA}\cos{\ang{A}}
  • \mrm{BH}=\mrm{CB}\cos{\ang{B}}

なので,

\begin{align*} \mrm{AB} =&\mrm{BH}-\mrm{AH} \\=&\mrm{CB}\cos{\ang{B}}-(-\mrm{CA}\cos{\ang{A}}) \\=&\mrm{CA}\cos{\ang{A}}+\mrm{CB}\cos{\ang{B}} \end{align*}

となって,この場合にも第1余弦定理が成り立つことが分かりますね.

また,AとBは対称なので,\ang{B}が鈍角の場合にも同様に成り立ちます.

第1余弦定理は\ang{A}\ang{B}がともに鋭角である場合に成り立つことはすぐに分かるので,覚える場合のは難しくない.

三角比の次は三角関数を学びましょう.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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