三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう

三角比を学んで非常に役立つ定理が【正弦定理】と【余弦定理】です．

sinのことを「正弦」，cosのことを「余弦」というのでしたから，【正弦定理】がsinを使う定理で，【余弦定理】がcosを使う定理だということは容易に想像が付きますね．

【正弦定理】と【余弦定理】は三角形の「辺の長さ」と「角の大きさ」についての定理で，図形を考えるときには基本的な定理です．

この記事では，まず【正弦定理】について説明します．

一連の記事はこちら

【三角比１｜三角比って何？三角比の考え方から解説！】
【三角比２｜sin,cos,tanの超重要な４つの関係式】
【三角比３｜実は当たり前！？３つの(90°-θ)型の変換公式】
【三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】
【三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】
【三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう】←今の記事
【三角比７｜【余弦定理】は「三平方の定理」の進化版！】

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円周角の定理

正弦定理を説明するために，まず円周角の定理について復習しておきましょう．

中心角と円周角

まずは言葉の定義です．

中心Oの円周上の異なる２点A, B, Cに対して，$\ang{AOC}$, $\ang{ABC}$をそれぞれ弧ACに対する中心角 (central angle)，円周角 (inscribed angle)という．ただし，ここでの弧ACはBを含まない方の弧である．

円周角の定理

さて，円周角の定理 (inscribed angle theorem)は以下の通りです．

[円周角の定理]　中心Oの円周上の２点A, Cを考える．このとき，次が成り立つ．

直線ACに関してOと同じ側の円周上の任意の点Bに対して，$2\ang{ABC}=\ang{AOC}$が成り立つ．
直線ACに関して同じ側にある円周上の任意の２点B, B’に対して，$\ang{ABC}=\ang{AB’C}$が成り立つ．

【円周角の定理】の詳しい証明はしませんが，

$2\ang{ABC}=\ang{AOC}$を示す．
これにより$\ang{ABC}=\dfrac{1}{2}\ang{AOC}=\ang{AB’C}$が示される

という流れで証明することができます．

正弦定理

それでは正弦定理の説明に移ります．

正弦定理

正弦定理の内容は以下の通りです．

[正弦定理]　半径$R$の外接円をもつ$\tri{ABC}$について，$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とする．

このとき，

$\begin{align*} \frac{a}{\sin{\ang{A}}} =\frac{b}{\sin{\ang{B}}} =\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =2R \end{align*}$

が成り立つ．

正弦定理は

向かい合う角と辺が絡むとき
外接円の半径が絡むとき

に使うことが多いです．特に，「外接円の半径」というワードを見たときには，正弦定理は真っ先に考えたいところです．

正弦定理の証明は最後に回し，先に応用例を考えます．

三角形の面積の公式

外接円の半径$R$と，3辺の長さ$a$, $b$, $c$について，三角形の面積は以下のように考えることができます．

外接円の半径が$R$の$\tri{ABC}$について，$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とすると，$\tri{ABC}$の面積は

$\begin{align*} \tri{ABC}=\frac{abc}{4R} \end{align*}$

で求まる．

[証明]

正弦定理より$\sin{\ang{A}}=\dfrac{a}{2R}$だから，

$\begin{align*} \tri{ABC} =\frac{1}{2}bc\sin{\ang{A}} =\frac{1}{2}bc\cdot\frac{a}{2R} =\frac{abc}{4R} \end{align*}$

が成り立ちます．

[証明終]

「外接円の半径$R$と3辺の長さ$a$, $b$, $c$が分かっていれば，三角形の面積$R$が求まる」のもそうですが，逆に言えば「三角形の面積$S$と3辺の長さ$a$, $b$, $c$が分かっていれば，外接円の半径$R$が求まる」ということもできますね．

正弦定理の例

以下の例では，$a=\mrm{BC}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とし，$\tri{ABC}$の外接円の半径を$R$とします．

例１

$a=2$, $\sin{\ang{A}}=\dfrac{1}{3}$, $\sin{\ang{B}}=\dfrac{1}{4}$の$\tri{ABC}$を考える．正弦定理より

$\begin{align*} 2R=\frac{a}{\sin{\ang{A}}} =\frac{2}{\frac{1}{3}} =6 \end{align*}$

なので，$R=3$である．また，

$\begin{align*} 2R=\frac{b}{\sin{\ang{B}}} \iff&6=\frac{b}{\frac{1}{4}} \\\iff&b=\frac{3}{2} \end{align*}$

である．

例２

$a=2$, $\ang{B}=45^\circ$, $R=2$の$\tri{ABC}$を考える．正弦定理より

$\begin{align*} 2R=\frac{a}{\sin{\ang{A}}} \iff& 4=\frac{2}{\sin{\ang{A}}} \\\iff& \sin{\ang{A}}=\frac{1}{2} \end{align*}$

なので，$\ang{A}=30^\circ, 150^\circ$である．また，正弦定理より

$\begin{align*} 2R=\frac{b}{\sin{\ang{B}}} \iff& 4=\frac{b}{\sin{45^\circ}} \\\iff& 4=\frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\\iff& b=2\sqrt{2} \end{align*}$

である．

例３

$\sin{15}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$が成り立つことは使ってよいとする．

$c=4$, $\ang{C}=45^\circ$, $\ang{B}=15^\circ$の$\tri{ABC}$を考える．このとき，$\ang{A}=180^\circ-\ang{B}-\ang{C}=120^\circ$だから，正弦定理より

$\begin{align*} 2R=\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =\frac{4}{\sin{45^\circ}} =\frac{4}{\frac{1}{\sqrt{2}}} =4\sqrt{2} \end{align*}$

だから，$R=2\sqrt{2}$である．また，正弦定理より

$\begin{align*} \frac{a}{\sin{\ang{A}}}=2R \iff&\frac{a}{\sin{120^\circ}}=4\sqrt{2} \\\iff&\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{2} \\\iff&a=2\sqrt{6}, \\\frac{b}{\sin{\ang{B}}}=2R \iff&\frac{b}{\sin{15^\circ}}=4\sqrt{2} \\\iff&\frac{b}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=4\sqrt{2} \\\iff&b=2(\sqrt{3}-1) \end{align*}$

である．よって，

$\begin{align*} S &=\frac{1}{2}bc\sin{A} \\&=\frac{1}{2}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4\cdot\sin{120^\circ} \\&=\frac{1}{2}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\&=2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) \end{align*}$

となる．また，面積は上でみた面積の公式を用いて

$\begin{align*} S=\frac{abc}{4R} =\frac{2\sqrt{6}\cdot2(\sqrt{3}-1)\cdot4}{4\cdot2\sqrt{2}} =2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) \end{align*}$

としてもよい．

正弦定理の証明

$2R=\dfrac{a}{\sin{\ang{A}}}$の分母を払って，$2R\sin{\ang{A}}=a$を示せばよいですね．これを

$0^\circ<\ang{A}<90^\circ$の場合
$\ang{A}=90^\circ$の場合
$90^\circ<\ang{A}<180^\circ$の場合

に分けて証明しましょう．

[1]　$0^\circ<\ang{A}<90^\circ$の場合

線分BDが外接円の直径となるように点Dをとります．

このとき，$\ang{BCD}=90^\circ$なので，

$\begin{align*} \sin{\ang{D}} =\frac{\mrm{BC}}{\mrm{BD}} =\frac{a}{2R} \end{align*}$

だから$2R\sin{\ang{D}}=a$であり，弧BCに関する円周角の定理より$\ang{A}=\ang{D}$だから，$2R\sin{\ang{A}}=a$が従う．

[2]　$\ang{A}=90^\circ$の場合

線分BCが外接円の直径となります．

よって，$2R=a$が成り立ちます．

$\ang{A}=90^\circ$なので，$\sin{\ang{A}}=1$だから$2R\sin{\ang{A}}=a$が成り立ちます．

[3]　$90^\circ<\ang{A}<180^\circ$の場合

外接円の中心を点Oとし，線分BDが外接円の直径となるように点Dをとります．

このとき，$\ang{BCD}=90^\circ$なので，

$\begin{align*} \sin{\ang{D}} =\frac{\mrm{BC}}{\mrm{BD}} =\frac{a}{2R} \end{align*}$

だから$2R\sin{\ang{D}}=a$である．

また，弧BCに関する円周角の定理より$2\ang{A}=\ang{BOC}(>180^\circ)$, $2\ang{D}=\ang{BOC}(<180^\circ)$だから，$2\ang{A}+2\ang{D}=360^\circ$が従う．よって，$\ang{D}=180^\circ-\ang{A}$が成り立つ．

$(180^\circ-\theta)$型の変換公式より，$\sin{\ang{D}}=\sin{180^\circ-\ang{A}}=\sin{\ang{A}}$なので，$2R\sin{\ang{A}}=a$を得る．

【前回の記事：三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】

$(180^\circ-\theta)$型の変換公式$\sin{180^\circ-\theta}=\sin{\theta}$, $\cos{180^\circ-\theta}=-\cos{\theta}$, $\tan{180^\circ-\theta}=-\tan{\theta}$は，単位円を描くことで簡単に導出することができます．

以上より，いつでも$2R=\dfrac{a}{\sin{\ang{A}}}$が成り立つことが分かりました．

同様に$2R=\dfrac{b}{\sin{\ang{B}}}$, $2R=\dfrac{c}{\sin{\ang{C}}}$も証明できるので，

$\begin{align*} \frac{a}{\sin{\ang{A}}} =\frac{b}{\sin{\ang{B}}} =\frac{c}{\sin{\ang{C}}} =2R \end{align*}$

が得られました．