解と係数の関係の考え方！２次方程式も３次方程式も同じ！

２次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき，関係式

$\begin{align*}\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}\end{align*}$

が成り立ちます．この２つの等式は

２次方程式の係数$a$, $b$, $c$
解$\alpha$, $\beta$

の関係式なので，（２次方程式の）解と係数の関係と呼ばれます．

解と係数の関係は覚えている必要はなく，考え方が分かっていればすぐに導くことができます．また，同様の考え方で３次以上の方程式でも解と係数の関係はすぐに導くことができます．

この記事では

２次方程式の解と係数の関係
３次以上の方程式の解と係数の関係

を順に説明します．

「多項式」の一連の記事

２次方程式の解と係数の関係
３次以上の方程式の解と係数の関係

２次方程式の解と係数の関係

冒頭でも書いたように，２次方程式の解と係数の関係は次のようになります．

［２次方程式の解と係数の関係］$x$の２次方程式$ax^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき，

$\begin{align*}\begin{cases}\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\\\alpha\beta=\frac{c}{a}\end{cases}\end{align*}$

が成り立つ．

$\alpha$, $\beta$を２解とする２次方程式は

$\begin{align*}&(x-\alpha)(x-\beta)=0 \\\iff& x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\end{align*}$

と表せる．これは，$x$の２次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の両辺を$a$で割った

$\begin{align*}x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\end{align*}$

に一致するから，係数を比較して，

$\begin{align*}\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta=\frac{c}{a}\end{align*}$

を得る．

単純に$\alpha$, $\beta$を２解とする２次方程式$(x-\alpha)(x-\beta)=0$を展開して，もとの２次方程式と係数を比較しただけなので瞬時に導けますね．

また，$a=1$の場合の解と係数の関係もよく用いるので，あえて書いておきましょう．

［２次方程式の解と係数の関係２］$x$の２次方程式$x^2+bx+c=0$が解$\alpha$, $\beta$をもつとき，

$\begin{align*}\begin{cases}\alpha+\beta=-b\\\alpha\beta=c\end{cases}\end{align*}$

が成り立つ．

具体例１（解が２つ分かっているときの係数）

$b$, $c$を実数とする．２次方程式$2x^2+bx+c=0$の解が$\dfrac{1}{2}$，２であるとき，$b$, $c$を求めよ．

解と係数の関係より，

$\begin{align*}\begin{cases}\frac{1}{2}+2=-\frac{b}{2}\\\frac{1}{2}\cdot2=\frac{c}{2}\end{cases}\end{align*}$

だから，

$\begin{align*}b=-5,\quad c=2\end{align*}$

を得る．よって，もとの２次方程式は$2x^2-5x+2=0$である．

このように，２次方程式と解が与えられているときは，解と係数の関係を真っ先に考えたいところです．

具体例２（解が１つ分かっているときのもう１つの解と係数）

$b$を実数とする．２次方程式$x^2+bx+1=0$の解の１つが３であるとき，$b$ともう１つの解を求めよ．

もう１つの解を$\alpha$とすると，解と係数の関係より，

$\begin{align*}\begin{cases}3+\alpha=-b\\3\alpha=1\end{cases}\end{align*}$

だから，

$\begin{align*}\alpha=\frac{1}{3},\quad b=-\bra{\dfrac{1}{3}+3}=-\frac{10}{3}\end{align*}$

を得る．よって，もとの２次方程式は$x^2-\dfrac{10}{3}x+1=0$で，もう１つの解は$3$である．

具体例３（解の条件が１つ分かっているときの解と係数）

$b$を実数とする．２次方程式$x^2+bx+2=0$の一方の解が他方の解の２倍であるとする．このとき，$b$と２つの解を求めよ．

２つの解は$\alpha$, $2\alpha$とおける．解と係数の関係より，

$\begin{align*}\begin{cases}\alpha+2\alpha=-b\\2\alpha\cdot\alpha=2\end{cases}\end{align*}$

だから，

$\begin{align*}\alpha=\pm1,\quad b=-3\cdot(\pm1)=\mp3\end{align*}$

を得る（複号同順）．よって，もとの２次方程式は$x^2\mp3x+2=0$で

$x^2-3x+2=0$のとき，解は$1$, $2$
$x^2+3x+2=0$のとき，解は$-1$, $-2$

である．

具体例４（２次方程式の解と対称式）

２次方程式$x^2+2x+4=0$の解を$\alpha$, $\beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2$, $\alpha^2\beta+\alpha\beta^2$の値を求めよ．

解と係数の関係より

$\begin{align*}\begin{cases}\alpha+\beta=-2\\\alpha\beta=4\end{cases}\end{align*}$

だから，

$\begin{align*}\alpha^2+\beta^2 =&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\=&(-2)^2-2\cdot4=-4\end{align*}$

を得る．また，

$\begin{align*}\alpha^2\beta+\alpha\beta^2 =&\alpha\beta(\alpha+\beta) \\=&4\cdot(-2)=-8\end{align*}$

を得る．

この問題の$\alpha^2+\beta^2$, $\alpha^2\beta+\alpha\beta^2$のように，$\alpha$, $\beta$を入れ替えても変わらない多項式を$\alpha$, $\beta$の対称式といいます．

一般に「$\alpha$, $\beta$の対称式は$\alpha+\beta$, $\alpha\beta$の和，差，積で表すことができる」という定理があり，このため対称式は解と係数の関係と絡めて出題されることが多いです．

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３次以上の方程式の解と係数の関係

ここまで２次方程式の解と係数の関係をみてしてきましたが，３次以上になっても同様の考え方で解と係数の関係が求まります．

そのため３次以上の解と係数の関係も一切覚える必要はなく，考え方が分かっていればすぐに導くことができます．

［３次方程式の解と係数の関係］３次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$が解$\alpha$, $\beta$, $\gamma$をもつとき，

$\begin{align*}\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} \\\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a} \\\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}\end{cases}\end{align*}$

が成り立つ．

２次方程式の解と係数の関係の導出と同様に，

$\begin{align*}x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\end{align*}$

で右辺を展開して，

$\begin{align*}&x^3+bx^2+cx+d \\&=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\end{align*}$

なので，係数を比較すれば３次方程式の解と係数の関係が得られます．

同様に考えれば４次方程式の解の公式，５次方程式の解の公式，……も得られますね．