数学

漸化式の基本3|数学的帰納法の仕組みと例

前の記事「漸化式の基本2|等差数列,等比数列の漸化式」の続きです.

「数学的帰納法」は「背理法」に並んで,高校数学で学ぶ大切な証明法の一つで,「任意の自然数nに対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に対して威力を発揮することが多いです.

「数学的帰納法」のイメージとしては「ドミノ倒し」に似ており,最初のピースを倒すと次々にピースが倒れていく感覚があります.

「数学的帰納法」は非常に大切なので,確実に押さえてください.

続きを読む

漸化式の基本2|等差数列,等比数列の漸化式

前回の記事「漸化式の基本1|漸化式の導入」の続きです.

前回の記事では,「漸化式とは何か」と「解ける漸化式」について説明しました.

念のため復習しておくと,「数列\{a_n\}に関する漸化式」とはa_nの値が順番に決まっていくような\{a_n\}の関係式のことを言い,「漸化式が解ける」とは漸化式から数列の一般項が導けることをいうのでした.

この記事では,「解ける漸化式」のうち,最も基本的な2種類の漸化式

  1. 等差数列を表す漸化式
  2. 等比数列を表す漸化式

について説明します.

続きを読む

漸化式の基本1|漸化式の導入

以前の記事「数列の基本6|等差×等比の和」の続きです.

「漸化式」は数列の知識をある程度前提とする分野であるため,数列が苦手な人にとってはとても辛い分野です.しかし,「数列」とそれに続く「漸化式」は数学のあらゆる場面に登場するため,必ずモノにしたい分野です.

高校数学で出題される「漸化式」は「解く」ことが出来るものが多く,それらの「解き方」は確立されています.そのため,「解ける漸化式」は空気を吸うように解けるようになっていることが望まれます.

とはいっても,「公式を使えるだけで理解していない」というのはよくないですから,まずはしっかり「漸化式」を理解してください.

続きを読む

図形と方程式の基本9|2円の共有点を通る円と直線

前の記事「図形と方程式の基本8|円の接線の方程式」の続きです.

前の記事と2つ前の記事で,直線と円の関係について書きました.

この記事では,2つの共有点をもつ円C_1と円C_2が与えられたときに,それら2つ共有点を通る円(または直線)の方程式がどのように求められるのかを考えます.

この公式はこれは単に式を覚えるだけでは,問題に対応できなくなる恐れがあります.なぜ,そのような公式が成り立つのかを理解するようにして下さい.

とくに,この記事の「注意」の部分はよく理解するようにして下さい.

続きを読む

図形と方程式の基本8|円の接線の方程式

前の記事「図形と方程式の基本7|円と直線の共有点」の続きです.

前の記事では,どのようなときに

  1. 直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
  2. 直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
  3. 直線と円が共有点をもたない

となるのかについて説明しました.この記事では,2の「直線と円がちょうど1つの共有点をもつ(接する)場合」について,接線が円に対してどのように得られるのかを説明します.

続きを読む

図形と方程式の基本7|円と直線の共有点

前の記事「図形と方程式の基本6|円の方程式」の続きです.

前回までの記事で,直線の方程式と円の方程式について一通り書きました.

次は,直線と円の関係について考えます.円と直線の位置関係は,

  1. 直線と円がちょうど2つ共有点をもつ
  2. 直線と円がちょうど1つ共有点をもつ(接する)
  3. 直線と円が共有点をもたない

の3種類あり,直線の方程式と円の方程式が与えられたとき,上の1~3のどれになるのかを判別出来るようになっておかなければなりません.

続きを読む

図形と方程式の基本6|円の方程式

前の記事「形と方程式の基本5|2点間の距離,点と直線の距離」の続きです.

前回の記事までで,xy平面上の点や直線に関する性質について説明しました.

「円」は「中心の位置」と「半径」が分かれば描くことができます.これは,コンパスで円を書くことをイメージすれば分かりやすいでしょう.

一般に,xy平面上の中心(x_1,y_1),半径rの「円の方程式」は

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2

と表されます.この記事では,xy平面上の「円」について説明します.

続きを読む