数学

図形と方程式の基本5|2点間の距離,点と直線の距離

図形と方程式の基本4|一般の直線の方程式と2直線の関係】の続きです.

この記事では,xy平面上で,「2点が与えられたときの『2点間の距離』」と「1点と1本の直線が与えられたときの『点と直線の距離』」について書きます.

「2点間の距離」は中学校でも習っているはずで難しくはないのですが,「点と直線の距離」の公式は式の形が少し複雑で嫌いな人が多いようです.

ベクトルを使うと「点と直線の距離」の公式の意味を理解することもできますが,この記事では公式を導出するに留めます.

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図形と方程式の基本4|一般の直線の方程式と2直線の関係

図形と方程式の基本3|直線の方程式の導出】の続きです.

前の記事では,条件が与えられたときの直線の方程式の導出法について説明しました.

xy平面上の2本の直線に関して,この2本の直線が平行であったり垂直であったりしたとき,2本の直線の方程式の係数はある関係をもちます.

この関係のことを2直線の「平行条件」,「垂直条件」といいます.

この記事では,

  1. 2本の傾きをもつ直線の平行条件,垂直条件
  2. 2本の一般の直線の平行条件,垂直条件

に分けて解説します.

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図形と方程式の基本3|直線の方程式の導出

図形と方程式の基本2|直線の方程式】の続きです.

前の記事では,xy平面上の一般の直線の方程式がax+by+c=0 (abの少なくとも一方は0でない)で表せることを説明しました.

この記事では,条件が与えられたときの直線の方程式の導出法について説明します.

  1. 直線の「傾き」と「通る1点」が分かっている場合
  2. 直線がy軸に平行な場合
  3. 直線がx軸に平行な場合

の3つが基本的な場合で,これらの場合には,直線の方程式は直ちに求められます.ほかの場合は,この3つのいずれかに帰着させて考えます.

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図形と方程式の基本2|直線の方程式

図形と方程式の基本1|内分点と外分点】の続きです.

直線の方程式は中学校でも学習しますが,実は中学校で主に扱われる直線y=ax+bは一般的な式ではなく,y=ax+bでは表せない直線が存在します.

図形と方程式の基本4|一般の直線の方程式と2直線の関係】で詳しく解説しますが,高校ではy=ax+bでは表せない直線も表すことができる一般の直線の方程式を学びます.

また,直線の方程式は「図形と方程式」の分野でも基本ですから,確実に押さえてください.

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図形と方程式の基本1|内分点と外分点

「図形と方程式」は「なんとなく分かるけど,計算が多いし面倒だ」という人が多い分野です.とくに,「図形と方程式」の最後に習う「軌跡と領域」は,計算して図を描けば終わり,と考えている人も多いようです.

たしかに,そういった傾向があることは否定できません.

しかし,それでは「結局なんだかよく分からない」という感想を持つことにもなり,きちんとした理解が必要となる標準レベル以上の問題になると解けない,といった状況になりかねません.

計算に一生懸命になって,本質を見落としがちな分野ではありますが,きちんとした理解も同時に養ってください.

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論理と集合の基本5|「逆,裏,対偶」と対偶の利用

論理と集合の基本4|命題と集合の関係】の続きです.

この記事では,命題の「逆」,「裏」,「対偶」について説明します.「逆」と「裏」に関しては目新しい重要な定理はないのですが,「対偶」に関しては次の定理が成り立ちます.

命題「p\Rightarrow q」の真偽は,その対偶「\overline{q}\Rightarrow\overline{p}」の真偽に一致する.

この事実は非常に重要で,背理法の根拠にもなっています.

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論理と集合の基本4|命題と集合の関係

論理と集合の基本3|必要条件と十分条件】の続きです.

前回の記事では,条件pqに対するp\Rightarrow qの形の命題について,「必要条件」と「十分条件」を説明しました.

条件は集合を用いて表すことができるのですが,命題の真偽を集合の包含関係を用いて考えることができます.

この記事では,条件pをみたす集合Pと条件qをみたす集合Qを考えたときの,命題p\Rightarrow qと集合PQの関係について書きます.

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