数学

場合の数3|実はカンタンな円順列と数珠順列の考え方

前回の記事では,例えば「ABCDEFの6文字から4文字選んで,『一列に』並べる場合の数」といったような,「n個のものからr個選んで並べる」という「順列」を説明しました.

普通の一列に並べる順列に対して,「ABCDEFの6文字から4文字選んで,『円状に』並べる場合の数」といったような,ものを円状に並べる場合の数を「円順列」といいます.

また,「円順列」では裏返しは区別しますが,ネックレスのように裏返して同じになるものを同じとみなす順列を「数珠順列」といいます.

円順列自体というより円順列の考え方は,場合の数や確率の分野ではよく現れる大切なものなので,単なる公式を覚えるのではなく考え方から理解するようにしてください.

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場合の数2|「順列nPk」の考え方と公式は超カンタン!

「場合の数」は全ての場合を数え上げることが大切で,そのためには樹形図を考えるのが最も基本的なのでした.

そして,樹形図を考えることで[和の法則]と[積の法則]は簡単に説明できることを,前回の記事で解説しました.

[積の法則]の最も簡単な応用は「順列」でしょう.

n個のものからr個選んで並べる場合の数」を\Pe{n}{r}で表しますが,このようにものを並べることを「順列」といいます.

「順列」はこれ自体でも大切ですが,のちに説明する「組み合わせ」を考えるためにも基本となります.

この記事では,順列の\Pe{n}{r}と階乗の記号n!について説明します.

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場合の数1|「和の法則」と「積の法則」は超アタリマエ!

「場合の数」は,「計算して出た答えが正しいのか分からない」という意見が少なくありません.

しかし,私はその意見には共感できません.

というのは,他の分野であっても,計算して出た答えが正しいのか分からないことはよくありますし,大切なことは計算が正しいかどうかよりも正しく考えられていることだからです.

高校数学での「場合の数」は「樹形図」を書いて数え上げれば原理的には答えが得られます.

しかし,公式を学んでいくと,この「場合の数は数え上げ」の原理を忘れてしまい,「色々公式があってどれを使えばいいのか分からない」と悩んでしまう人が多くいます.

本来「数え上げるために公式を使う」べきところで,「先に何かの公式を使おうとする」のはまさに本末転倒です.

「高校生がどの公式を使おうか苦心している間に,小学生が樹形図を描いてアッサリ解いてしまった」という話もあります.

公式はあくまで「ちょっと楽をするため」に使うだけで,「場合の数は数え上げ」の原理は常に意識しておきましょう.

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ワンポイント数学4|0で割ってはいけない理由

小学校で習う割り算ですが,割り算ではやってはいけないことがあります.

この記事のタイトルにもあるように,それは「0で割る」ということです.

掛け算では0\times x=0x\times 0=0のように,0をかければ直ちに0になります.また,割り算でも0\div x=0のように,0をどんな数で割っても0になります.

そのため,そのまま割り算でも0が出てくれば0だと勘違いしてしまうことがあるようです.しかし,x\div 0はやってはいけないことなのです.

この記事で,0で割ってはいけない理由をしっかり理解してください.

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ワンポイント数学3|根号(ルート)の基本と二重根号の外し方

根号(ルート)の中身が2乗であれば,根号\ro{\quad}が外れるのはよく知られていますが,そこでよくある間違いがあります.

実数aに対して,\sqrt{a^2}で根号\ro{\quad}を外すとどうなるのか,正しく言えるでしょうか?

\sqrt{a^2}=aは間違いですよ.

また,これが正しく言えなければ,\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1といった二重根号を外すときにも間違いをしかねません.

この記事で,根号\ro{\quad}の扱いを確実にしてください.

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ワンポイント数学2|絶対値の定義から一瞬で解ける問題

絶対値をきちんと定義から捉えられるようになると,ほとんど計算せず一瞬で答えが分かってしまう問題があります.

例えば,絶対値が絡んだ不等式|x-3|<5や方程式|x-2|+|x-4|=6は絶対値のイメージが分かっていればものの数秒で答えを出すことができます.

しかし,実際に予備校で教えていても,「絶対値は中身が0以上ならそのまま外す,中身が負ならマイナスをかけて外す」と絶対値の[性質]を言うことができる人は多いですが,これは絶対値の定義ではありません.

性質が言えることはそれで素晴らしいことですが,「じゃあ,これが成り立つ理由は?」を聞くと途端に考え込んでしまう人が多いのも事実です.

これは絶対値のイメージが意識できていないのが原因です.

絶対値のイメージをしっかり理解して,自信を持って絶対値を扱えるようにしてください.

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微分法7|方程式の解の個数,不等式の証明

微分の基本6|関数の最大値,最小値】の続きです.

前回の記事までで,増減表を用いて関数の極値や最大値,最小値を求められるようになりました.

これらを利用して,方程式の解の個数を調べたり,不等式の証明をすることができます.

やはり,やることは今までと同じく,導関数を求めて増減表を書きます.

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