数学

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数列の基本2|等差数列と等比数列の和の公式

[動画解説あり]

前の記事【数列の基本1|等差数列と等比数列の一般項】の続きです.

数列の中でも,等差数列と等比数列は非常に基本的です.

初項をa,公差をd,公比をrとすると,等差数列の一般項はa+(n-1)d,等比数列の一般項はar^{n-1}と表せることは前の記事に書きました.

この記事では等差数列の和,等比数列の和を考えます.

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数列の基本1|等差数列と等比数列の一般項

[動画解説あり]

「数列はなんとなく苦手……」という人は多いようです.

しかし,数列はイメージを持って考えれば,小学生にでも理解できる分野です.実際,中学入試などでは,いくつか数字が並んでいて,四角の中に適切な数字を入れる問題はよく出題されます.

これはまさに数列の問題です.

さて,「数列」とは「数を一列に並べたもの」と簡単にいうことができます.

「数列」は他の分野にも絡んで出題されることが良くありますから,数列は基本的な道具として使えるようになっておくことが望まれます.

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条件付き確率の基本

「条件付き確率」は直感に合わない人が少なくないようで,確率を勉強するときに避けられがちです.直感に合わない上に,追い打ちをかけるように「公式が~」と言われるともう嫌になってしまう人が多いようです.

この記事では条件付き確率の具体的な問題を扱い,その「間違った考え方」と「正しい考え方」を解説します.そして,「間違った考え方」が間違っている理由を,他の分かりやすい例を用いて説明します.

また,同時に多くの人が苦手とする「同様に確からしい」という概念についても説明します.

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対称式の基本|基本対称式を利用する

高校数学では「対称式」がよく現れます.

xyの対称式」とはxyを入れ替えてももとの式と等しくなるような多項式のことをいいます.これは「(2次方程式の)解と係数の関係」に絡んで出題されることも多くあります.

対称式に対しては,「対称式は基本対称式の和,差,積で表せる」という定理があり,これはとても強力で必ず使えるようになっておきたい定理です.

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無限級数4|1=0.9999……は正しい?

前の記事「無限級数3 ―無限等比級数の収束条件―」の続きです.

この記事はコラム的な内容で,"0.999\dots"と小数第1位以下で無限に9が続く数と"1"が等しいのかどうかを考えてみます.

初めて聞いた人は「いやいや,どう見ても等しくないやろ」「等しそう」「うーむ,分からぬ……」と様々な考えが浮かぶと思います.

「無限級数」の知識がなければ"0.999\dots"の"\dots"の意味が曖昧なので手放しで正しいとは言い難いのですが,"1=0.999\dots"は実は正しいです.

「マジでか……」と衝撃を受ける人もいるかもしれませんが,この記事を読んで「なるほど」と思ってもらえれば嬉しく思います.

なお,途中からは無限級数の話に移っていくのですが,それまでは算数の知識さえあれば読めるので深く考えずにサクサク読んでください.

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無限級数3|無限等比級数の収束条件

前の記事「無限級数2 ―収束条件と収束しない3つの例―」の続きです.

「無限級数」は無限個の数の和というイメージであり,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kの形で書かれるものでした.

ですが,本来,無限級数は無限個の数の和ではなく,部分和の極限として定義されます.このことは「無限級数の基本1 ―実は「数列の極限」と変わらない―」で,詳しく書きました.

しかし,部分和の極限として話を進めるよりも,無限個の数の和として無限級数の話をした方が分かりやすいときもあるので,これらは適宜使い分けることにします.

この記事では無限級数の1つである「無限等比級数」について書きます.

無限等比級数は無限級数の中でも「収束,発散が簡単に判別でき,しかも収束する場合は簡単に計算ができる」という非常に分かりやすい無限級数だということができます.

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無限級数2|無限級数の収束条件と収束しない3つの例

前の記事「無限級数の考え方1 ―実は「数列の極限」と変わらない―」の続きです.

この記事では「無限級数」の1つの「無限等比級数」について説明します.

ですが,「無限等比級数」の説明に入る前に,普通の「無限級数」の収束条件について書きます.

なお,本来「無限級数」はただの「数列の極限」ですが,「無限個の数の和」と考えたほうが説明しやすいこともあるので,その時々で説明しやすい方で説明します.

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