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式の計算の基本2|たすきがけ因数分解の公式

式の計算の基本1|「展開」と「因数分解」の4つの基本公式】の続きです.

前の記事では,展開と因数分解について4つの基本公式

\begin{cases} x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),\\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\\ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,\\ x^2-a^2=(x+a)(x-a) \end{cases}

の公式について説明しました.

因数分解はある程度の慣れが必要で,習って理解してもすぐにできるようになるものではありませんが,因数分解は数学のあらゆるところに登場するので,問題集などでなんども因数分解をして慣れる必要があります.

この記事では,展開と因数分解について4つの公式に加えて,[たすきがけ因数分解の公式]とよばれるacx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)について説明します.

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たすきがけ因数分解の公式

前の記事【式の計算の基本1|「展開」と「因数分解」の4つの基本公式】では展開と因数分解について4つの基本公式

\begin{cases} x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),\\ x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,\\ x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,\\ x^2-a^2=(x+a)(x-a) \end{cases}

の中でもx^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)が使えれば,十分であると書きました.

この記事で扱う[たすきがけ因数分解の公式]

acx^2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)

a=c=1とすれば,公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)が出るため,(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)よりも強い公式となっています.

公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)に比べて,[たすきがけ因数分解の公式]が優れている点は,x^2の係数が1でない場合にも使えるところです.

たとえば,2x^2+7x+36x^2+7x-3などは[たすきがけ因数分解の公式]を用いて因数分解することになります.

その代わり,公式x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)を用いるときには,「かけて定数,和が1次」と標語的に考えることで因数分解できましたが,[たすきがけ因数分解の公式]は他にも考えることがあります.

そのため,実際に自分の手で問題を解いて感覚を身につけてください.

[たすきがけ因数分解の公式]はx^2の係数が1でない場合に使えると言う点が優れている.その反面,x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)の公式より考えることが増えるので,しっかり問題を解いて慣れたい.

たすきがけ因数分解の公式の例

[たすきがけ因数分解の公式]では,「2次の係数から候補を絞って考える」という考え方が大切です.

例1

2x^2+7x+3ですが,2次の係数が2であることから

(x+\qquad)(2x+\qquad)

と因数分解できることが期待できます.

さらに,定数項が3であることから,因数分解の候補として

  1. (x+3)(2x+1)
  2. (x+1)(2x+3)
  3. (x-3)(2x-1)
  4. (x-1)(2x-3)

が挙げられます.

これらの1次の係数は順に75-7-5ですから,2x^2+7x+3と等しいのは1次の係数が7で等しい(x+3)(2x+1)です.よって,

2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)

と因数分解できます.

例2

6x^2+7x-3ですが,2次の係数が6であることから

(x+\quad)(6x+\quad)

または

(2x+\quad)(3x+\quad)

と因数分解できることを期待します.

さらに,定数項が-3であることから,因数分解の候補として

  1. (x+1)(6x-3)
  2. (x-1)(6x+3)
  3. (x+3)(6x-1)
  4. (x-3)(6x+1)
  5. (2x+1)(3x-3)
  6. (2x-1)(3x+3)
  7. (2x+3)(3x-1)
  8. (2x-3)(3x+1)

が挙げられます.

これらの1次の係数は順に3-317-17-337-7ですから,6x^2+7x-3と等しいのは1次の係数が7で等しい(2x+3)(3x-1)です.よって,

6x^2+7x-3=(2x+3)(3x-1)

と因数分解されることが分かります.

[たすきがけ因数分解の公式]では,2次の係数から候補を絞り一つ一つ検証することになる.慣れればそれほど苦もなく使えるようになる.

補足

上の例のように,[たすきがけ因数分解の公式]を用いることで,2次の係数が1でない場合にも因数分解できる場合が増えましたが,それでもまだ因数分解できない場合はあります.

そのような場合でも,[2次方程式の解の公式]を用いることで因数分解することができます.

例えば,12を解とする2次方程式は(x-1)(x-2)と因数分解できます.

なので,2次式に対して,=0としたときの2次方程式の解を求めることができれば,因数分解できるということになります.

これについて,次の記事で説明します.

式の計算の基本3|平方完成と2次方程式の解の公式】に続きます.

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