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微分の基本5|導関数と極大値,極小値

  
   

微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方】の続きです.

前回の記事で,関数f(x)に対して,導関数f'(x)を求めることによって,関数f(x)の増減が分かるということについて説明しました.

さて,関数f(x)の増減が分かれば,関数f(x)の最大値や最小値も求めることができるようになります.

この記事では,最大値/最小値の候補となる「極値(極大値/極小値)」について説明します.

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極値

冒頭でも書いたように,関数f(x)の最大値/最小値を考えるときに,その候補となるものに「極値」と呼ばれるものがあります.

「極値」の[定義]は以下の通りですが,分かりにくい場合はそのあとの例を読んでみてください.

[定義] 関数f(x)と実数aに対して,xa-c<x<a+cを満たせばf(x)\le f(a)となるような(十分小さい)正の数cが存在するとき,f(a)を関数f(x)x=aでの極大値(maximal)という.

また,関数f(x)と実数bに対して,xb-c<x<b+cを満たせばf(x)\ge f(b)となるような(十分小さい)正の数cが存在するとき,f(b)を関数f(x)x=aでの極小値(minimal)という.

極大値と極小値を併せて極値という.

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要するに,f(x)x=aで極大値をもつとは,x=aの近くではf(a)が最大になっている,ということです.「近くでは」というのは,遠くまでいけば,別にf(a)より大きいものがあってもいいということです.

例えば,背が高いa君は\mrm{X}\mrm{Y}市に住んでいたとします.

もし,a君が\mrm{X}県の中で最も背が高ければ,a君は極大です.

しかし,「\mrm{X}県にa君より背の高い人がいたとすれば,a君は極大ではないのか?」といえば,そういうわけではありません.

もし,a君が\mrm{X}県で最も背が高いわけでなくても,\mrm{Y}市に絞ったときにa君の背が最も高ければ,a君は極大です.

Y市に絞っても,a君の背が最も高くなければ,もっと地域を絞っても良いです.ともかく,a君の近くでみたときにa君の身長が最も高くなるようにできれば,a君は極大なのです.

このように,「x=aの近くではf(a)が最大になっている」の「近く」とは,そのように十分小さく範囲を絞れば最大にできる,ということを言っているわけです.

もし,世界中でaが最も背が高ければ,a君は極大かつ最大です.

極小も同様です.

例1

微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方】の例で見たように,f(x)=\f{1}{4}\bra{x^3+3x^2-9x-7}のグラフは以下のようになります.

よって,x=-3で極大値5x=1で極小値-3をもちます.

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ただし,いずれの極値も最大,最小ではありません.

例2

f(x)=|x+1|-3は,任意のf(-1)=-3であり,x\neq-1ではf(x)>-3だから,x=0を極小値-3にもつ.

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このように,とんがっていても極大,極小といいます.

また,x=0での極小値-3は最小値でもありますね.

導関数と極値

導関数から,極値の候補を見つけることができます.

もし,微分可能なf(x)x=aで極値をとるなら,その点(a,f(a))の接線は「平ら」になっている,つまり,f'(a)=0となっていることは正しそうですね.

また,f'(x)>0のときはf(x)が単調増加,f'(x)のときはf(x)が単調減少であることに注意すれば,次の[定理]が分かります.

[定理] 微分可能な関数f(x)x=aで極値をもつなら,f'(a)=0を満たす.また,f'(a)=0を満たすときに,x=aの「前→後」でf'(x)の符号が

  1. 「正→負」となるときには極大値を持つ.
  2. 「負→正」となるときには極小値を持つ.

要するに,f(x)x=aを境にして「増加」から「減少」に転ずるときにはx=aで極大値f(a)をとり,「減少」から「増加」に転ずるときにはx=aで極小値f(a)をとるわけですね.

ただし,次のことは注意しておきましょう.

[注意] 関数f(x)と実数aに対して,f'(a)=0であってもf(x)x=aに極値をもつとは限らない.

[定理]はf(x)x=aで極値をもつときにf'(a)=0になることは主張していますが,逆にf'(a)=0だけで極値をもつかどうかは一言も言っていないのです.

例えば,f(x)=x^3を考えると,f'(x)=3x^2なので,f'(0)=0です.しかし,f(x)x=0で極値をもちません.

このことはf'(x)=3x^2であることから,単調増加なので極値を取らないことは分かります.また,グラフを見ても明らかですね.

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2次関数や簡単な関数であれば導関数を用いなくても分かりますが,複雑になってくると極値を調べるためには増減表を書くことになります.

微分の基本6|関数の最大値,最小値】に続きます.

最後までお読み頂き,ありがとうございました!

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