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微分の基本6|関数の最大値,最小値

  
   

微分の基本5|導関数と極大値,極小値】の続きです.

関数f(x)に対して,導関数f'(x)を求めることで,関数の増減を調べることができるのでした.そして,関数の増減を調べることができるということは,関数の最大値,最小値を求めることができます.

例えば,前回の記事で説明した極値は,最大値,最小値の候補の1つとなります.

この記事では,f(x)が最大値,最小値をとるようなxについて解説します.

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最大値,最小値の候補

念のため,最大値,最小値を定義しておきます.

[定義] 関数f(x)x=aで最大値をとるとは,任意のxに対してf(x)\le f(a)となることをいう.

また,関数f(x)x=bで最小値をとるとは,任意のxに対してf(x)\ge f(a)となることをいう.

さて,関数f(x)が最大値,最小値となるようなxの候補を考えます.

極値をとる点

関数f(x)x=aで極大値f(a)をとるとは,x=aの十分近くでの最大値がf(a)であることを言うのでした.

このことから,極大値が最大値の候補の1つです.

例えば,f(x)=-(x+1)^2+2x=0で極大値0をとりますが,この極大値0は最大値にもなります.

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極小値についても同様で,極小値は最小値の候補の一つです.

端点

関数f(x)に定義域が定められているときを考えます.このとき,定義域の端のことを「端点」と言います.

「端点」での値は最大値,最小値の候補の1つです.

例えば,f(x)=-(x+1)^2+2 (-3\le x\le -2)に対して,y=f(x)は以下のようなグラフになります.

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すなわち,端点x=-2で最大値1,端点x=-3で最小値-2をとります.

不連続点

「不連続点」とは,関数が連続でない点のことを言います.図形的には,「f(x)x=aで不連続である」とは「y=f(x)のグラフがx=aで切れている」ということになります.

「不連続点」での値は最大値,最小値の候補の1つです.

例えば,f(x)=\begin{cases}0&(x<-1,1<x)\\x&(-1\le x\le1)\end{cases}に対して,y=f(x)は以下のようなグラフになります.

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まとめ

実は,今の3種類以外に関数f(x)が最大値,最小値をとるxは存在しません.

その証明はこの記事では書きませんが,このことは最大値,最小値を考えるときに良い手がかりになります.

まとめると,以下のようになります.

[最大値,最小値の候補] 関数f(x)に対して,f(x)の最大値,最小値をとるxの候補は次のいずれかである.

  1. 極値をとる点
  2. 端点
  3. 不連続点

どちらにせよ,極値が最大値,最小値になりうる以上,導関数を求めて増減表を書くことになります.

例を考えます.

例1

-1\le x\le 4で定義された関数f(x)=\f{1}{2}\bra{x^3-3x^2-2}を考えます.

f(x)の導関数は,f'(x)=\f{1}{2}\bra{3x^2-6x}なので,

f'(x)=0
\Lra 3x^2-6x=0
\Lra x(x-2)=0
\Lra x=0,2

です.また,

f(-1)=\f{(-1)^3-3\times(-1)^2-2}{2}=-3
f(0)=\f{0^3-3\times0^2-2}{2}=-1
f(2)=\f{2^3-3\times2^2-2}{2}=-3
f(4)=\f{4^3-3\times4^2-2}{2}=7

なので,増減表は,

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1&\dots & 0 & \dots & 2 & \dots & 4 \\ \hline f'(x) &  &+ & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -3 &\nearrow & -1 & \searrow& -3 & \nearrow & 7 \\ \hline \end{array}

となります.よって,増減表より,f(x)x=4のときに最大値をとり,x=-1,2のときに最小値-3をとることが分かります.

このように,最大値や最小値をとるxが2つ以上あることもあります.なお,グラフは以下のようになります.

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例2

-1\le xで定義された関数f(x)=\begin{cases}x^3+3x^2-3&(-1\le x\le 1)\\-x+3&(1<x)\end{cases}を考えます.

[1] -1\le x< 1のとき

f(x)の導関数は,f'(x)=3x^2+6xなので,

f'(x)=0
\Lra 3x^2+6x=0
\Lra x(x+2)=0
\Lra x=0

です(-1\le x< 1に注意).また,

f(-1)=(-1)^3+3\times(-1)^2-3=-1
f(0)=0^3+3\times0^2-3=-3
f(1)=1^3+3\times1^2-3=1

です.

[2] 1\le xのとき

f(x)=-x+3は単調減少で,

\li_{x\to1+0}f(x)=2

です(ただし,1<xx=1は含まれないから,右極限x\to1+0を考えるしかないことに注意).

[1],[2]を併せて,増減表は,

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c||c|c|} \hline x & -1&\dots & 0 & \dots & 1 & 1+0 & \dots \\ \hline f'(x) &  &- & 0 & + &  &  & - \\ \hline f(x) & -1 & \searrow & -3 & \nearrow & 1 & 2 & \searrow\\ \hline \end{array}

となります.ただし,\li_{x\to\infty}f(x)=-\inftyをみたします.

よって,f(x)は最大値も最小値も持たないことが分かります.

このように,最大値,最小値を共に持たないこともありえます.なお,グラフは以下のようになります.

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微分の基本7|方程式の解の個数,不等式の証明】に続きます.

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