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数列の基本4|階差数列の一般項と和の公式

数列の基本3|1乗和,2乗和,3乗和の公式と導出】の続きです.

階差数列に苦手意識をもっている人は少なくないようです.しかし,階差数列そのものが難しいというより,「公式が理解できない」といった理由であることが多いです.

しかし,階差数列はイメージを持っていれば,至って自然な公式であることが分かります.

確かに,見た目はごつい印象を受ける公式ですが,苦手意識を持っていた人は,この記事で不安を解消してください.

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階差数列とは

階差数列を考えるにあたって,数列\{a_n\}を用意します.数列\{a_n\}は等差数列や等比数列といった分かりやすい数列でなくても構いません.

数列\{a_n\}に対して,b_n=a_{n+1}-a_nによって数列\{b_n\}を定めます.つまり,

b_1=a_2-a_1b_2=a_3-a_2b_3=a_4-a_3\dots

です.こうして数列\{a_n\}をもとにしてできた数列\{b_n\}「数列\{a_n\}の階差数列」といいます.

短くまとめます.

[定義] 数列\{a_n\}に対して,b_n=a_{n+1}-a_{n}で定義される数列\{b_n\}を「数列\{a_n\}の階差数列」という.

この[定義]から分かるように,「階差数列だけが存在することはありえない」わけです.

つまり,階差数列を考えるときには,まず何か初めに数列\{a_n\}があって,その数列\{a_n\}に対して階差数列\{b_n\}が定まるのです.

a_{n+1}-a_na_nからa_{n+1}までどれだけ増えているか,ということを表しますね.ですから,階差数列は「もとの数列で一つ次の項に移るときにどれだけ増えているか」ということを表す数列なのです.

階差数列の例

階差数列はパズルの本などで目にします.たとえば,次の[問]はまさに階差数列です.

[問] 次のXに当てはまる数字を答えよ.

  1. 1,\ 5,\ 9,\ 13,\ 17,\ X,\ \dots
  2. 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ X,\ \dots
  3. 1,\ 5,\ 17,\ 53,\ 161,\ X,\ \dots

あえて階差数列の概念を用いて数学的に考えるならば,1,2,3の階差数列はそれぞれ

  1. 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ X-17,\ \dots
  2. 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ X-25,\ \dots
  3. 4,\ 12,\ 36,\ 108,\ X-161,\ \dots

です.これから,

  1. 階差数列は4が続く数列なのでX-17=4よりX=21
  2. 階差数列は初項3,公差2の等差数列なのでX-25=11よりX=36
  3. 階差数列は初項4,公比3の等比数列なのでX-161=324よりX=485

と分かります.

このように,階差数列は「数列の各項の差をとって考えよう!」というだけの話なのです.

もとの数列と階差数列の関係

上の[問]のように,元の数列\{a_n\}はよく分からなくても,階差数列\{b_n\}をとると等差数列や等差数列といったよく分かる数列になることがあります.

このような数列\{a_n\}の場合,直接\{a_n\}は求められなくても,階差数列\{b_n\}を経由することで求めることができます.つまり,

  1. 階差数列\{b_n\}の一般項を求める
  2. 元の数列\{a_n\}の一般項を求める

という手順を踏むわけです.ですから,b_nを用いてa_nを表すことができれば嬉しいわけですね.

この考えのもとで,以下で数列\{a_n\}の一般項a_nを,もとの数列\{a_n\}の階差数列\{b_n\}で表すことを考えます.

考え方

b_n=a_{n+1}-a_na_{n+1}=a_n+b_nと変形すると,a_{n+1}a_nb_nを足したもの」と考えることができます.

ですから,「a_2a_1b_1を足したもの」,「a_3a_2b_2を足したもの」「a_4a_3b_3を足したもの」,……と考えることができます.

これはa_{n+1}からa_nを引いたものがb_nだったわけですから,a_nb_nを加えるとb_{n+1}になるのはいたって自然なことでしょう.

このことから,

a_2=a_1+b_1

です.両辺にb_2を加えると,a_3=a_2+b_2なので,

a_3=a_1+b_1+b_2

です.さらに両辺にb_3を加えると,a_4=a_3+b_3なので,

a_4=a_1+b_1+b_2+b_3

です.これを繰り返すと,

a_n=a_1+b_1+b_2+\dots+b_{n-1}

となります.このままでも良いのですが,b_1+\dots+b_{n-1}の部分は\sumを用いて表せますから,

a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k

となります.

a_1a_2の差がb_1なのですから,a_1b_1を足せば差が埋まりますね.また,a_2a_3の差がb_2なのですから,a_2b_2を足せば差が埋まりますね.

このように,差をどんどん埋めていけば,a_nまでたどり着ける,というように直感的に理解できますね.

導出

本質的には考え方と同じなのですが,次のように機械的にも導出できます.

階差数列は任意の自然数nに対して,b_n=a_{n+1}-a_nという関係をみたしていました.このことから次のように導出することができます.

\begin{matrix} & a_n & - & a_{n-1} & = & b_{n-1}\\ & a_{n-1} & - & a_{n-2} & = & b_{n-2}\\ & a_{n-2} & - & a_{n-3} & = & b_{n-3}\\ &&&& \vdots &\\ +)& a_2 & - & a_1 & = & b_1\\ \hline & a_n & - & a_1 & = & \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\ \end{matrix}

です.左辺はプラスマイナスで大量に打ち消しあって,結局a_n-a_1が残りますね.a_1を移項して,

a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k

を得ます.

注意

以上から,数列\{a_n\}の一般項a_nは,もとの数列\{a_n\}の初項a_1と階差数列\{b_n\}の一般項b_n

a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k

と表されることが分かりました.ただし,この式はn\geqq2の場合にしか意味をなしません.

というのは,\sum\limits_{k=i}^{j}i\le jの場合にしか意味を成さないからです.

つまり,n=1なら右辺の\sum\limits_{k=1}^{n-1}\sum\limits_{k=1}^{0}となってしまい,「n=1からn=0までの和??」となってしまうからです.

しかし,n=1のときは,そもそもa_n=a_1ですから,\sumを使わなくてもa_nは分かりますね.

数列の基本5|部分分数分解を用いて計算する数列の和】に続きます.

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