【SPONSORED LINK】

ワンステップ数学3|1と0.999……は本当に等しいのか

  
   

この記事では,“小数第1位以下で無限に9が続く数0.999……”と”1″が等しいのかどうかを考えます.

これを初めて聞いた人は「いやいや,どう見ても等しくないやろ」「等しそう」「うーむ,分からぬ……」と様々な考えが浮かぶと思います.

「無限級数」の知識がなければ”0.999\dots“の”\dots“の意味が曖昧なので,手放しで正しいとは言い難いのですが,実は”1=0.999\dots“は正しいです.

「マジでか……」と衝撃を受ける人もいるかもしれませんが,この記事を読んで「なるほど」と思ってもらいたいと思います.

途中からは「無限級数」の知識が必要になりますが,そこまでの話まででも雰囲気は掴んでもらえると思います.

【SPONSORED LINK】

怪しい説明

まずは怪しい説明ですが,「成り立ちそう」ということを実感してもらうために1つ書いてみます.

[怪しい説明]

例えば,

1-0.9=0.1
1-0.99=0.01
1-0.999=0.001

である.同様に,0.999\dots9と小数第n位まで9が続いたとすると,この時の1からの差は

1-0.999\dots9=0.00\dots01

0.00\dots01は小数第n位に初めて1が現れる.

いま,0.999\dots9が無限に続くので,1-0.999\dots0が無限に続く,つまり0となる.

よって,1=0.999\dotsである.

[怪しい説明終]

おお!怪しい!ものすごく怪しい!

ですが,1=0.999\dotsが正しいと主張する気持ちは分かって頂けたのではないかと思います.

それっぽい説明

次に,「それっぽいけど,なんとなく怪しい説明」を2つします.

それっぽい説明1

[それっぽい説明]

\dfrac{1}{3}=0.333\dotsである.

左辺を3倍すると3\times\dfrac{1}{3}=1であり,右辺を3倍すると3\times0.333\dots=0.999\dotsである.

よって,1=0.999\dotsを得る.

[それっぽい説明終]

ううむ,それっぽい.しかし,煙に巻かれたような気もします.

なんとなく3\times0.333\dots=0.999\dotsが怪しいですね.無限小数に3をかけているのが少し気持ち悪い.

そこまで考えると\dfrac{1}{3}=0.333\dotsが本当に正しいのかも,ちゃんと証明しなければならない気持ちにもなってきます.

同じくつぎの説明も「それっぽい」説明ですが,やはり少し気持ち悪いです.

それっぽい説明2

[それっぽい説明]

x=0.999\dotsとおく.

両辺を10倍すると10x=9.999\dotsである.これからx=0.999\dotsを引くと,

\begin{matrix}&10x&=&9.999\dots\\-)&x&=&0.999\dots\\\hline&10x-x&=&9\end{matrix}

と分かる.

こうして得られた方程式10x-x=9を解くとx=1となる.もとよりx=0.999\dotsだったので,1=0.999\dotsを得る.

[それっぽい説明終]

ううむ,これもそれっぽいですが,やはり煙に巻かれた感がありますね.

その原因はやはり無限小数を10倍していたり,無限小数から無限小数を引いているあたりでしょう.

しかし,「それっぽい説明1」よりは,少し数学的になった気はします.

無限級数による説明

さて,ここからがやっと数学の話になってきます.上で話をしていて,”\dots“が何やら曲者で

「そもそも”0.999\dots“の”\dots“ってなんやねん!」

という気になってきたと思います.なってきたことにしてください.

では,数学的に”0.999\dots“がどういうことなのかを説明します.

ここで,一番最初にした「怪しい説明」が生きてきます.

たとえば,0.1=10^{-1}0.01=10^{-2}0.001=10^{-3}のように,0.000\dots01n個並ぶものは10^{-n}と表せることを思い出してください.

これを使って0.90.990.999を各桁について数を分解すると,

0.9=9\times10^{-1}
0.99=9\times10^{-1}+9\times10^{-2}
0.999=9\times10^{-1}+9\times10^{-2}+9\times10^{-3}

となります.これは

0.9=\displaystyle\sum_{k=1}^{1}9\times10^{-k}
0.99=\displaystyle\sum_{k=1}^{2}9\times10^{-k}
0.999=\displaystyle\sum_{k=1}^{3}9\times10^{-k}

と表せますね.

これをずっと続けていくと,

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}9\times10^{-k}=0.999\dots9

となります.これは等比数列の無限級数

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}

の部分和です.どうでしょう,見えてきましたか?

無限小数とは

ここで,「なんだか0.999\dotsは無限級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}に等しそうだなあ」という気持ちになります.

0.999……の定義

しかし,この書き方だと「0.999\dotsがあって,それが\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}に等しい」ということですが,まだ無限小数0.999\dotsをきちんと定義していないので,なんとも言えません.

では,どうするか.

実は「0.999\dots\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}で定義」してしまうのです.

小学生では,0.333\dotsってずっと続く小数は無限小数って言うんやで!」と習いますが,本当は数IIIで無限級数を習って初めて厳密に定義できるのです.

さて,0.999\dots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}で定義したわけですが,右辺は無限等比級数ですから計算ができますね.

なお,無限等比級数については【無限級数3|無限等比級数の収束条件】で説明していますから,参考にして下さい.

いま,数列\{a_n\}は一般項がa_n=9\times10^{-n}の等比数列で,この初項はa_1=0.9で公比r=10^{-1}-1<r<1をみたすので,無限等比級数\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}9\times10^{-k}=\dfrac{0.9}{1-10^{-1}}=\dfrac{0.9}{1-0.1}=\dfrac{0.9}{0.9}=1

と計算されます!

おお!たしかに1=0.999\dotsとなりましたね!

無限小数の定義

一般にの無限小数は次のように定義できます.

各項が0から9までのいずれかの整数をとる数列を\{a_n\}とする.このとき,無限級数

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\times10^{-k}

で定まる実数を0.a_1a_2a_3\dotsと表す.

任意の正の整数nに対して,a_n'\neq0となるようなnより大きい整数n'が存在するとき,0.a_1a_2a_3\dotsを無限小数という.

後半の「a_n'\neq0となるようなnより大きい整数n'が存在する」とは,「どこまでいっても0がずっと続かず,必ず0以外の数字が出てくる」ということを言っています.

0がずっと続けば,それは有限小数ですからね.

どうでしょうか.いままで何気なく使ってきた「無限小数」が,実は「無限級数」で定義されるということが理解できたでしょうか?

最後までお読み頂き,ありがとうございました!

良ければシェアボタンから共有をお願いします!

関連記事と記事一覧

以下,【関連記事】と【記事一覧】です.


記事一覧はこちら


SNSでもご購読できます。

コメント

コメントを残す

*

ページ

トップへ

記事

一覧へ

オススメ

参考書

Twitterを

フォロー