２次式の因数分解について重要なものとして
がありました．３次以上の多項式でもよく用いられる因数分解公式や定石がいくつかあります．
この記事では
- ３次式の展開・因数分解の基本の４公式
- $x^3+y^3+z^3-3xyz$の因数分解
- 偶数次のみの多項式の因数分解
- 複２次式特有の因数分解
- $x^n-y^n$と$x^n+y^n$の因数分解
を順に解説します．
「多項式」の一連の記事
３次式の展開・因数分解の基本の４公式
３次式の展開・因数分解について，次の４つの基本公式は確実に身につけてください．
実数$x$, $a$に対して，次の等式が成り立つ．
\begin{align*}&x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2),
\\&x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2),
\\&x^3+3ax^2+3a^2x+a^3=(x+a)^3,
\\&x^3-3ax^2+3a^2x-a^3=(x-a)^3.\end{align*}
いずれも右辺を展開することで等しいことはすぐに分かりますね．
具体例１（$x^3+1$の因数分解）
公式$x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$の$a=1$の場合を用いて，
\begin{align*}x^3+1&=x^3+1^3
\\&=(x+1)(x^2-x+1)\end{align*}
と因数分解できる．
具体例２（$x^3-8$の因数分解）
$x$の３次式$x^3-8$を因数分解せよ．
公式$x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$の$a=2$の場合を用いて，
\begin{align*}x^3-8&=x^3-2^3
\\&=(x-2)(x^2+2x+4)\end{align*}
と因数分解できる．
$x^3-8=x^3+(-2)^3$とみて，公式$x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$を用いることでも因数分解できますね．
具体例３（$x^3+6x^2+12x+8$の因数分解）
$x$の３次式$x^3+6x^2+12x+8$を因数分解せよ．
公式$x^3+3ax^2+3a^2x+a^3=(x+a)^3$の$a=2$の場合を用いて，
\begin{align*}x^3+6x^2+12x+8
&=x^3+3\cdot2\cdot x^2+3\cdot2^2\cdot x+2^3
\\&=(x+2)^3\end{align*}
と因数分解できる．
具体例４（$x^3-9x^2+27x-27$の因数分解）
$x$の３次式$x^3-9x^2+27x-27$を因数分解せよ．
公式$x^3-3ax^2+3a^2x-a^3=(x-a)^3$の$a=3$の場合を用いて，
\begin{align*}x^3-9x^2+27x-27
&=x^3-3\cdot3\cdot x^2+3\cdot3^2\cdot x-3^3
\\&=(x-3)^3\end{align*}
と因数分解できる．
$x^3+3\cdot(-3)\cdot x^2+3\cdot(-3)^2\cdot x+(-3)^3$とみて，公式$x^3+3ax^2+3a^2x+a^3=(x+a)^3$を用いることでも因数分解できますね．
$x^3+y^3+z^3-3xyz$の因数分解
次の３変数の因数分解公式もよく問われるので知っておきたい公式です．
実数$x$, $y$, $z$に対して，次の等式が成り立つ．
\begin{align*}&x^3+y^3+z^3-3xyz
\\&=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx).\end{align*}
この公式も右辺を展開することで等しいことはすぐに分かりますね．
具体例５（$x^3+y^3+z^3-3xyz$は非負）
$x+y+z\ge0$を満たす実数$x$, $y$, $z$に対して，$x^3+y^3+z^3-3xyz\ge 0$であることを示せ．
公式より$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$だから，$x+y+z\ge0$を併せて，$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0$を示せばよい．
\begin{align*}&x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
\\&=\frac{1}{2}(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)
\\&=\frac{1}{2}\{(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)\}
\\&=\frac{1}{2}\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}\ge0\end{align*}
だから，$x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0$である．
偶数次のみの多項式の因数分解
偶数次の項のみもつ多項式は，$x^2=t$などと２乗をひとつとみることで因数分解できることがあります．
最終的には$x^2=t$とおかなくても因数分解できるくらいに慣れたいところです．
具体例６（$x^4-10x^2+9$の因数分解）
$x$の４次式$x^4-10x^2+9$を因数分解せよ．
$t=x^2$とおくと，
\begin{align*}x^4-10x^2+9&=t^2-10t+9=(t-9)(t-1)
\\&=(x^2-9)(x^2-1)
\\&=(x+3)(x-3)(x+1)(x-1)\end{align*}
と因数分解できる．
具体例７（$x^6-3x^4+3x^2-1$の因数分解）
$x$の６次式$x^6-3x^4+3x^2-1$を因数分解せよ．
$t=x^2$とおくと，
\begin{align*}x^6-3x^4+3x^2-1&=t^3-3t^2+3t-1=(t-1)^3
\\&=(x^2-1)^3=(x+1)^3(x-1)^3\end{align*}
と因数分解できる．
複２次式特有の因数分解
偶数次の項のみの４次式を複２次式といいます．複２次式はうまく２次の項を分けることで$X^2-Y^2$の形に持ち込んで因数分解できることがあります．
具体例８（$x^4+x^2+1$の因数分解）
$x$の４次式$x^4+x^2+1$を因数分解せよ．
$t=x^2$とおき，$t^2+2t+1=(t+1)^2$に注目すると，
\begin{align*}x^4+x^2+1&=t^2+t+1=(t^2+2t+1)-t
\\&=(t^2+2t+1)-t=(t+1)^2-x^2
\\&=\{(t+1)+x\}\{(t+1)-x\}
\\&=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{align*}
と因数分解できる．
具体例９（$x^4-3x^2+1$の因数分解）
$x$の４次式$x^4-3x^2+1$を因数分解せよ．
$x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2$に注目すると，
\begin{align*}x^4-3x^2+1&=(x^4-2x^2+1)-x^2=(x^2-1)^2-x^2
\\&=\{(x^2-1)+x\}\{(x^2-1)-x\}
\\&=(x^2+x-1)(x^2-x-1)\end{align*}
と因数分解できる．
具体例１０（$x^4-5x^2+4$の因数分解）
$x$の４次式$x^4-5x^2+4$を因数分解せよ．
$x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2$に注目すると，
\begin{align*}x^4-5x^2+4&=(x^4-4x^2+4)-x^2=(x^2-2)^2-x^2
\\&=\{(x^2-2)+x\}\{(x^2-2)-x\}=(x^2+x-2)(x^2-x-2)\end{align*}
と因数分解できる．
$x^n-y^n$と$x^n+y^n$の因数分解
２以上の整数$n$に対して$x^n-y^n$は因数分解でき，３以上の奇数$n$に対して$x^n+y^n$は因数分解できます．
$x^n-y^n$の因数分解（$n$は２以上の整数）
因数分解公式
\begin{align*}&x^2-y^2=(x-y)(x+y),
\\&x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\end{align*}
から類推されるように，$x^n-y^n$（$n$は２以上の整数）は次のように因数分解できます．
$n$を２以上の整数とする．実数$x$, $y$に対して，次の等式が成り立つ．
\begin{align*}x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots+y^{n-1}).\end{align*}
実際に右辺を展開すれば，ほとんどの項が足し引きで消えて$x^n$と$y^n$だけが残って左辺に等しいことが分かります．
右辺を展開して
\begin{align*}&(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots+y^{n-1})
\\&=x(x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots+y^{n-1})-y(x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots+y^{n-1})
\\&=(x^n+x^{n-1}y+\dots+xy^{n-1})-(x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\dots+y^n)
\\&=x^n-y^n\end{align*}
を得る．
例えば，$n=4,5$の場合には
\begin{align*}&x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3),
\\&x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)\end{align*}
となります．
$x^4-y^4$は$(x^2)^2-(y^2)^2$とみて$x^4-y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$と因数分解することもできます．
$x^n+y^n$の因数分解（$n$は３以上の奇数）
因数分解公式
\begin{align*}x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\end{align*}
から類推されるように，$x^n+y^n$（$n$は３以上の奇数）は次のように因数分解できます．
$n$を３以上の奇数とする．実数$x$, $y$に対して，次の等式が成り立つ．
\begin{align*}x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+\dots-xy^{n-2}+y^{n-1})\end{align*}
右辺の後ろの（ ）の中は＋の項とーの項が交互に足されますが，$n$は奇数なので最後は＋の項$+y^{n-1}$になりますね．
$x^n-y^n$の因数分解と同様に，実際に右辺を展開すれば，ほとんどの項が足し引きで消えて$x^n$と$y^n$だけが残って左辺に等しいことが分かります．
右辺を展開して
\begin{align*}&(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+\dots-xy^{n-2}+y^{n-1})
\\&=x(x^{n-1}-x^{n-2}y+\dots-xy^{n-2}+y^{n-1})+y(x^{n-1}-x^{n-2}y+\dots-xy^{n-2}+y^{n-1})
\\&=(x^n-x^{n-1}y+\dots-x^2y^{n-2}+xy^{n-1})+(x^{n-1}y-x^{n-2}y^2+\dots-xy^{n-1}+y^n)
\\&=x^n+y^n\end{align*}
を得る．
例えば，$n=5$の場合には
\begin{align*}x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)\end{align*}
となります．
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