直角三角形の１つの鋭角を$\theta$としたとき，３種類の辺の比を
と名付けたものを三角比というのでした．
三角形の内角の和は常に$180^\circ$だったので，直角三角形の１つの鋭角$\theta$は$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$の範囲しか動きません．
したがって，直角三角形を考えていたのでは，例えば
- $\sin{120^\circ}$のような$90^\circ$を超える$\theta$
- $\sin{-30^\circ}$のような負の$\theta$
で$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を考えることができません．
そこで，単位円を使うことで$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$の場合にも$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$が定義できることを以前の記事で説明しました．
この記事では，さらに広く全ての実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義します．
このように全ての実数$\theta$に対して定義された$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を三角関数といいます．
「三角比」の一連の記事
「三角関数」の一連の記事
三角関数の準備
三角関数を定義するために，いくつか準備をします．
偏角
角度に向きをつけたものを偏角といいます．
$xy$平面上の原点$\mrm{O}$とは異なる点$\mrm{P}$に対して，$x$軸の正方向からベクトル$\Ve{OP}$への有向角を($x$軸正方向からの)点$\mrm{P}$の偏角という．ただし，反時計回りを正とする．
例えば
- 負の偏角は時計回りの有向角
- $360^\circ$以上の偏角は１周以上の有向角
ということですね．
例１
下図の点$\mrm{Q}$の偏角は$-40^{\circ}$です．
例２
下図の点$\mrm{R}$の偏角は$390^\circ$です．
三角関数の定義
偏角を定義してしまえば，あとは三角比を$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$なる$\theta$にまで拡張したのと同じ考え方で，任意の実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義することができます．
角度が90°以上の三角比はこう考える！
三角関数の定義
三角関数の定義は以下の通りです．
$\theta$を実数とする．このとき，偏角$\theta$の単位円周上の点$\mrm{P}$について，
- $\mrm{P}$の$x$座標を$\cos{\theta}$
- $\mrm{P}$の$y$座標を$\sin{\theta}$
と定義する．
また，$\cos{\theta}\neq0$のとき，$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$と定義する．
偏角を定義したことによって，任意の実数$\theta$に対して$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を考えることができるようになりました．
このように，単位円を使って任意の実数$\theta$に対して定義された$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を三角関数といいます．
$\cos{\theta}\neq0$のときのみ$\tan{\theta}$を定義するのは，数学において分母が$0$であってはならないからですね．
つまり，定義の点$\mrm{P}$の$x$座標が$\cos{\theta}$だったので，点$\mrm{P}$が$y$軸上にあるとき（$\theta=\pm90^\circ,\pm270^\circ,\dots$のとき），$\tan{\theta}$は定義できないことになります．
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$\tan$の図形的意味
$xy$平面上の直線$x=1$と直線$\mrm{OP}$の交点の$y$座標が$\tan\theta$となります．
これは三角比を$0^\circ\le\theta\le180^\circ$に拡張したときと同じですね．
４つの関係式
$\sin$, $\cos$, $\tan$に関する４つの関係式も三角比の場合と同様に成り立ちます．
実数$\theta$について，
- $\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
- $\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
- $1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
- $1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$
の４つの関係式が成り立つ．
ただし，３つ目の公式は$\cos{\theta}\neq0$のときに，４つ目の公式は$\sin{\theta}\neq0$かつ$\tan{\theta}\neq0$のときに成り立つ．
これらの関係式の証明もやはり三角比を$0^\circ\le\theta\le180^\circ$に拡張したときと同じです．
これらの４つの関係式はそれぞれ
- $\tan$と$\cos$と$\sin$の関係式
- $\cos$と$\sin$の関係式
- $\cos$と$\tan$の関係式
- $\sin$と$\tan$の関係式
となっていることは意識しておきたいところです．
これが意識できていれば
- $\cos$から$\sin$を求めるときは公式$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
- $\tan$から$\sin$を求めるときは公式$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$
といったように，どの公式を使うのがよいかは自然に見えてくるはずですね．
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