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剛体の運動の基本2|力の合成の4つのパターン

  
   

剛体の運動の基本1|力のモーメント】の続きです.

質量を持つ大きさを考えない物体を「質点」といい,質量を持ち大きさも考える物体を「剛体」というのでした.そして,剛体については回転などを考えることができ,力のモーメントは剛体の回転を表すのでした.

前回の記事で説明した力のモーメントは1つの力についてのもので,複数の力が剛体にはたらいているときにはそれらの力を合成して考えます.

この記事では,剛体にはたらく力の合成について説明します.

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平行でない2力の合成

力のモーメントを考えるときは,「力\ve{F}」と「力\ve{F}の作用点」が大切なのでした.

剛体にはたらく2力が平行でないときには,「力\ve{F}」と「力\ve{F}の作用点」は次のようになります.

[力の合成1] 剛体にはたらく力\ve{F}_1\ve{F}_2が平行でないとき,これら2力を合成した力\ve{F}は次のようになる.

  • 作用点:\ve{F}_1の作用線と\ve{F}_2の作用線の交点
  • 向き,大きさ:\ve{F}=\ve{F}_1+\ve{F}_2

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力が平行でないときは,作用線が交点をもち,その交点が作用点となります.そして,力\ve{F}は単純に\ve{F}_1\ve{F}_2の和となります.

力は\ve{F}_1\ve{F}_2の2つはたらいていますが,これらを合成して1つの力\ve{F}がはたらいているようにみなせるというわけですね.

平行な2力の合成

次に,平行な2力が剛体にはたらいているときの力の合成について説明します.2力が平行なら作用線が交点を持ちませんから,平行でない場合と同様にはいきません.

2力が平行な場合には,この2力が「同じ向き」か「逆向き」かで,どのように合成されるかが変化します.

2力が同じ向きのとき

剛体にはたらく2力が平行で同じ向きのとき,「力\ve{F}」と「力\ve{F}の作用点」は次のようになります.

[力の合成2] 剛体にはたらく力\ve{F}_1\ve{F}_2が平行で同じ向きのとき,これら2力を合成した力\ve{F}は次のようになる.

  • 作用点:\ve{F}_1の作用点と\ve{F}_2の作用点を|\ve{F}_2|:|\ve{F}_1|内分する点
  • 向き,大きさ:\ve{F}=\ve{F}_1+\ve{F}_2

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\ve{F}_1と力\ve{F}_2が平行で向きが同じときは,2力の作用点を結んだ線分を|\ve{F}_2|:|\ve{F}_1|に内分する点が作用点となります.そして,力\ve{F}は単純に\ve{F}_1\ve{F}_2の和となります.

さて,内分点が逆比になる理由ですが,例えば|\ve{F}_1||\ve{F}_2|に比べて非常に大きいときを考えれば,剛体にはたらく力はほとんど\ve{F}_1だけですね.

こう考えると,合成した力\ve{F}の作用点が,力\ve{F}_1と力\ve{F}_2の大きい方に近くなることは直感的に理解できますね.

2力が逆向きのとき

剛体にはたらく2力が平行で逆向きのときには,さらに「2力の大きさが等しいとき」と,「2力の大きさが異なるとき」に分けられます.

2力の大きさが異なるとき

「力\ve{F}」と「力\ve{F}の作用点」は次のようになります.

[力の合成3] 剛体にはたらく力\ve{F}_1\ve{F}_2が平行で同じ向きであり,大きさが異なるとき,これら2力を合成した力\ve{F}は次のようになる.

  • 作用点:\ve{F}_1の作用点と\ve{F}_2の作用点を|\ve{F}_2|:|\ve{F}_1|外分する点
  • 向き,大きさ:\ve{F}=\ve{F}_1+\ve{F}_2

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※図は|\ve{F}_1|>|\ve{F}_2|の場合.

2力が平行で同じ向きのときと似ていますが,逆向きの場合の作用点は外分になります.

合成された力\ve{F}\ve{F}=\ve{F}_1+\ve{F}_2ですが,\ve{F}_1\ve{F}_2は逆向きなので,\ve{F}_1\ve{F}_2の大きい方と同じ向きになりますね.

大きさは|\ve{F}_1||\ve{F}_2|の大きい方から小さい方を引いたものになります.

2力の大きさが等しいとき

実はこのとき,力を合成することはできず,2力によって回転させる作用のみとなります.このときの,2力のことを「偶力」といいます.

この偶力は回転させる能力だけを持ち,その回転させる強さのことを「偶力のモーメント」といいます.

[偶力] 剛体に力\ve{F}_1と力\ve{F}_2がはたらいており,\ve{F}_1\ve{F}_2は平行かつ逆向きで同じ大きさであるとする.さらに,力\ve{F}_1の作用線と力\ve{F}_2の作用線の距離をlとする.

このとき,F=|\ve{F}_1|=|\ve{F}_2|とすると,偶力のモーメントはFlである.

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車のハンドルを回転させる力は,偶力の1つですね.

まとめ

以上をまとめましょう.以下,\ve{F}_1\ve{F}_2が剛体にはたらくとします.

  1. \ve{F}_1\ve{F}_2が平行でないとき
    • 【作用点】\ve{F}_1の作用線と\ve{F}_2の作用線の交点
    • 【合成力】\ve{F}=\ve{F}_1+\ve{F}_2
  2. \ve{F}_1\ve{F}_2が平行/同じ向きのとき
    • 【作用点】\ve{F}_1の作用点と\ve{F}_2の作用点を|\ve{F}_2|:|\ve{F}_1|に内分する点
    • 【合成力】\ve{F}=\ve{F}_1+\ve{F}_2
  3. \ve{F}_1\ve{F}_2が平行/逆向き/大きさが異なるとき
    • 【作用点】\ve{F}_1の作用点と\ve{F}_2の作用点を|\ve{F}_2|:|\ve{F}_1|に外分する点
    • 【合成力】\ve{F}=\ve{F}_1+\ve{F}_2
  4. \ve{F}_1\ve{F}_2が平行/逆向き/大きさが等しいとき
    • 偶力である(合成できない).
    • 偶力のモーメントはFlである(F=|\ve{F}_1|=|\ve{F}_2|l\ve{F}_1の作用線と\ve{F}_2の作用線の距離).

これらを見て,1〜3での合成力はいつでも\ve{F}_1+\ve{F}_2であることに気がつきますね.

ですから,剛体にはたらく力の合成で注意するべきなのは,作用点がどうなるのかということですが,それも1の\ve{F}_1\ve{F}_2が平行でない状態であればいたって自然ですから,あとは2と3を混同しなければ大丈夫でしょう.

また,偶力のモーメントは簡単ですから,確実に押さえてください.

最後まで読んで頂きありがとうございました!

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