【SPONSORED LINK】

数学一覧

場合の数7|二項定理を理解しよう!場合の数を使って導出!

前回の記事では,重複する場合の数を求める際には「重複度で割る」という重複組合せの考え方がとても便利であることを説明しました.

この重複組合せの考え方を使うと,(a+b)^nの展開公式である[二項定理]を導くことができます.

「組み合わせ」と「展開公式」が結びつくのは少し以外に思えるかもしれませんが,一度分かってしまえば展開公式が「重複組合せ」にしか見えなくなります(笑)

なお,この記事で説明する[二項定理]は2項a+bに関する(a+b)^nの展開公式ですが,のちの記事で説明するように項が増えた場合の展開公式として[多項定理]というものがあります.

その[多項定理]の記事でも同じく「重複組合せ」の考え方を使うので,この記事で「重複組合せ」の考え方を習得してください.

続きを読む


場合の数6|「重複組み合わせ」は2パターンでOK!

前回の記事では,「AAAABBの順列」のように「同じものを含む順列」について説明しました.

その際,「重複で割る」ということがとても便利な考え方であることをみました.

この記事では,「A,B,Cの3文字から全部で7個選ぶ場合の数」のように,同じものがいくつかあってよい「重複組み合わせ」の考え方を説明します.

「重複組合せ」の問題設定としては

  • 選ばれない色のボールがあっても良い場合
  • 選ばれないボールがあってはならない場合

の2パターンが考えられます.

「重複組合せ」が苦手な人は,この両者を混同してしまうことが多いですね.

逆に,この両者をしっかり区別して解法を選べれば,「重複組合せ」は全く怖くありません!

続きを読む


場合の数5|同じものを含むと順列はどう変わる?

n個のものからr個選ぶ場合の数」を\Co{n}{r}で表し,この場合の数を「組み合わせ」というのでした.

また,「円状にものを並べる場合の数」を円順列というのでした.

前回の記事では「組み合わせ」を,前々回の記事では「円順列」を説明しましたが,いずれも「重複で割る」という重複の処理の仕方がポイントでした.

この「重複で割る」という考え方は場合の数や確率では,身に付くと非常に便利な考え方です.

本記事で扱う「同じものを含む順列」は

  1. 重複で割る
  2. 組み合わせ

の2つの考え方があります.

考え方を理解はしやすいのは(2)でしょうが,計算が楽なのは(1)の方でしょう.

どちらにせよ,「同じものを含む順列」の考え方は実際の問題でも頻繁に用いるので,しっかり理解しておいてください.

続きを読む


場合の数4|「組み合わせnCk」を考え方から性質まで攻略

前々回の記事では,「n個のものからr個選んで並べる場合の数」である「順列」について説明しました.

順列のように並べるまでしない場合の数,つまりn個のものからr個選ぶ場合の数」を「組み合わせ」といい\Co{n}{r}で表します.

「順列」と「組み合わせ」の間には関係があり,この両者の間に成り立つ関係式を用いることで「組み合わせ」を計算することができます.

場合の数や確率を通して,「組み合わせ」の\Co{n}{r}を用いて考えることになる場面は多いです.

そのため,「組み合わせ」の考え方や公式はしっかり理解しておかなければなりません.

続きを読む


場合の数3|実はカンタンな円順列と数珠順列の考え方

前回の記事では,例えば「ABCDEFの6文字から4文字選んで,『一列に』並べる場合の数」といったような,「n個のものからr個選んで並べる」という「順列」を説明しました.

普通の一列に並べる順列に対して,「ABCDEFの6文字から4文字選んで,『円状に』並べる場合の数」といったような,ものを円状に並べる場合の数を「円順列」といいます.

また,「円順列」では裏返しは区別しますが,ネックレスのように裏返して同じになるものを同じとみなす順列を「数珠順列」といいます.

円順列自体というより円順列の考え方は,場合の数や確率の分野ではよく現れる大切なものなので,単なる公式を覚えるのではなく考え方から理解するようにしてください.

続きを読む


場合の数2|「順列nPk」の考え方と公式は超カンタン!

「場合の数」は全ての場合を数え上げることが大切で,そのためには樹形図を考えるのが最も基本的なのでした.

そして,樹形図を考えることで[和の法則]と[積の法則]は簡単に説明できることを,前回の記事で解説しました.

[積の法則]の最も簡単な応用は「順列」でしょう.

n個のものからr個選んで並べる場合の数」を\Pe{n}{r}で表しますが,このようにものを並べることを「順列」といいます.

「順列」はこれ自体でも大切ですが,のちに説明する「組み合わせ」を考えるためにも基本となります.

この記事では,順列の\Pe{n}{r}と階乗の記号n!について説明します.

続きを読む


場合の数1|「和の法則」と「積の法則」は超アタリマエ!

「場合の数」は,「計算して出た答えが正しいのか分からない」という意見が少なくありません.

しかし,私はその意見には共感できません.

というのは,他の分野であっても,計算して出た答えが正しいのか分からないことはよくありますし,大切なことは計算が正しいかどうかよりも正しく考えられていることだからです.

高校数学での「場合の数」は「樹形図」を書いて数え上げれば原理的には答えが得られます.

しかし,公式を学んでいくと,この「場合の数は数え上げ」の原理を忘れてしまい,「色々公式があってどれを使えばいいのか分からない」と悩んでしまう人が多くいます.

本来「数え上げるために公式を使う」べきところで,「先に何かの公式を使おうとする」のはまさに本末転倒です.

「高校生がどの公式を使おうか苦心している間に,小学生が樹形図を描いてアッサリ解いてしまった」という話もあります.

公式はあくまで「ちょっと楽をするため」に使うだけで,「場合の数は数え上げ」の原理は常に意識しておきましょう.

続きを読む


年末年始

国公立講座

ページ

トップへ

記事

一覧へ

オススメ

参考書

Twitterを

フォロー

TouTube

を見る