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無限級数3|無限等比級数の収束・発散は初項と公比に注目!

数列\{a_n\}に対してa_1+a_2+a_3+\dotsと足していった極限を\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kと表し,これを「無限級数」というのでした.

このように,無限級数のイメージは無限個の項の和ですが,正確には部分和\sum\limits_{k=1}^{n}a_kの極限として定義されるのでした.

さて,数列\{a_n\}が等比数列のとき,\{a_n\}の無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kを[無限等比級数]といいます.

[無限等比級数]は無限級数の中でも

  • 収束,発散が簡単に判別でき,
  • 収束する場合は簡単に計算ができる

という非常に性質の分かりやすい無限級数です.

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無限等比級数とは

無限等比級数を導入しましょう.

無限等比級数の例

冒頭でも簡単に書きましたが,[無限等比級数]は以下のように定義されます.

数列\{a_n\}が等比数列のとき,\{a_n\}の無限級数\dsum_{k=1}^{\infty}a_k無限等比級数という.

なお,等比数列について詳しくは,以下の記事を参照してください.

たとえば

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} 2^k,\quad \sum_{k=1}^{\infty} -5\times3^{k-1},\quad \sum_{k=1}^{\infty} 2\times\bra{-\frac{1}{2}}^k \end{align*}

は全て[無限等比級数]です.すなわち,一般に[無限等比級数]は

\begin{align*} \dsum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1} \end{align*}

の形で表すことができますね.

なぜ無限等比級数が大事なのか

数列\{a_n\}がよく分からない数列であれば,この無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kもよく分からないことになりそうです.

逆に言えば,数列\{a_n\}が性質の良い数列であれば,この無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kも考えやすいものになるでしょう.

一般に,無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kの収束や発散の判定は難しいことが多く,

  • \dsum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}
  • \dsum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}

といった単純そうに見える無限級数でさえ,収束や発散の判定は面倒です.

これに対して,無限級数の中でも[無限等比級数]は非常に分かりやすく,

  • 収束と発散
  • 収束する場合には極限値

が簡単に分かります.

これが,無限級数の中でも特に[無限等比級数]が大切な理由です.

無限級数の中でも,等比数列の和の極限である[無限等比級数]は収束・発散の判定が簡単で扱いやすい.

無限等比級数の収束・発散条件

それでは,無限等比級数の収束・発散条件をみていきましょう.

以下では,初項 a ,公比 r の等比数列\{a_n\}に対し,無限等比級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kを考えます.

初項について

最初に確認するのは初項 a です.

もしa=0なら公比 r が何であっても,\{a_n\}の一般項はa_n=0なので無限等比級数も

\begin{align*} \dsum_{k=1}^{\infty}a_k=0 \end{align*}

となり,収束することが分かりますね.

公比について

a\neq0のときには,次に公比 r を確認します.

無限級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kはそもそも

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align*}

で定義されていたので,部分和\sum\limits_{k=1}^{n}a_kを計算し,n\to\inftyでの極限を考えればよいですね.

\sum\limits_{k=1}^{n}a_kは等比数列\{a_n\}の初項から第n項までの和なので,

  • r=1
  • r\neq1

の場合分けが必要ですね.

r=1の場合

r=1の場合には\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=anなので,\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kは発散しますね.より詳しく書けば,

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases} \end{align*}

となります.

確かにr=1なら一般項はa_n=aと一定なので,a>0なら和は\inftyに発散し,a<0なら和は-\inftyに発散するのは当たり前ですね.

r≠1の場合

r\neq1の場合にはS_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}で,この右辺の中にあるnは分子のr^nだけです.r^nn\to\inftyでの極限は

  • -1<r<1のとき,\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=0であり,
  • r\leqq-1のとき,r^{n}は振動し,
  • 1<rのとき,\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=\infty

なので,無限等比級数\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kについて

  • -1<r<1のとき,\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\dfrac{a}{1-r}であり,
  • r\leqq-1のとき,\sum\limits_{k=1}^{n}a_kは振動し,
  • 1<rのとき,\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases}

と分かります.

以上をまとめると以下のようになりますね.

[無限等比級数の収束・発散条件] 初項 a ,公比 r の数列\{a_n\}に対して,

  • a=0
  • -1<r<1

のとき,無限等比級数\dsum_{k=1}^{\infty}a_nは収束し,

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_n =\frac{a}{1-r} \end{align*}

となる.

また,この場合以外の a , r では無限等比級数\dsum_{k=1}^{\infty}a_kは以下のように発散する.

  • r\leqq-1のとき,\dsum_{k=1}^{n}a_kは振動
  • 1<rのとき,\dsum_{k=1}^{\infty}a_k=\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases}

a=0のときの極限は0ではないのか?」と疑問に思う人もいるかもしれませんが,これは心配ありません.

というのは,a=0の場合には\dfrac{a}{1-r}=0となるので,a=0の場合にも確かに極限は0となっているので,極限が\dfrac{a}{1-r}であるとして問題ありませんね.

なお,数列が収束しない場合には全て発散というので,「振動」も発散の1つですから注意してください.

[無限等比級数]は初項 a を最初に確認し,a=0であれば収束する.a\neq0であれば次に公比 r を確認し,-1<r<1であれば収束する.

ちなみに,私が高校生の時に

「『振動』を『振動発散』ともいう」

と年配の先生に習ったのですが,「振動発散」という言葉をそれ以来見聞きしたことがありません.もし,何かご存知の方がいらっしゃれば,是非ご教授願います.

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最後までありがとうございました

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