無限等比級数の収束条件は「初項」と「公比」に注目！

数列$\{a_n\}$に対して，初項から順に

$\begin{align*} a_1+a_2+a_3+\dots \end{align*}$

と無限に足していったときの極限を$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$と表し，これを無限級数というのでした：

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align*}$

さて，数列$\{a_n\}$が等比数列のとき，$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$を無限等比級数といいます．

[無限等比級数]は無限級数の中でも

収束，発散が簡単に判別でき，
収束する場合は簡単に計算ができる

という非常に性質の分かりやすい無限級数です．

一連の記事はこちら

【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】
【極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い】

【無限級数１｜[無限級数]の考え方を具体例から理解する】
【無限級数２｜無限級数の発散条件と収束しない３つの例】
【無限級数３｜無限等比級数の収束・発散は初項と公比に注目！】←今の記事

1 解説動画
2 無限等比級数とは
- 2.1 無限等比級数の例
- 2.2 なぜ無限等比級数が大事なのか
3 無限等比級数の収束・発散条件

解説動画

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無限等比級数とは

無限等比級数を導入しましょう．

無限等比級数の例

冒頭でも簡単に書きましたが，[無限等比級数]は以下のように定義されます．

数列$\{a_n\}$が等比数列のとき，$\{a_n\}$の無限級数$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$を無限等比級数という．

なお，等比数列について詳しくは，以下の記事を参照してください．

等比数列の記事はこちら

【数列の基本１｜数列の基礎は[等差数列]と[等比数列]から！】
【数列の基本２｜[等差数列の和の公式]と[等比数列の和の公式]】
【漸化式の基本２｜漸化式の基本の[等差数列]と[等比数列]】

たとえば

$\dsum_{k=1}^{\infty}2^{k-1}$ $\bra{=1+2+4+8+\dots+2^{n-1}+\dots}$
$\dsum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^k}$ $\bra{=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dots+\dfrac{1}{2^k}+\dots}$
$\dsum_{k=1}^{\infty}\bra{-\dfrac{1}{3}}^k$ $\bra{=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{27}+\dots+\bra{-\dfrac{1}{3}}^k+\dots}$

はいずれも無限等比級数です．

一般に，無限等比級数は

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}\bra{=a+ar+ar^2+ar^3+\dots+ar^{k-1}+\dots} \end{align*}$

の形で表すことができますね．

なぜ無限等比級数が大事なのか

数列$\{a_n\}$がよく分からない数列であれば，この無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$もよく分からないことになりそうです．

逆に言えば，数列$\{a_n\}$が性質の良い数列であれば，この無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$も考えやすいものになるでしょう．

一般に，無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$の収束や発散の判定は難しいことが多く，

$\dsum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$
$\dsum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}$

といった単純そうに見える無限級数でさえ，収束や発散の判定は面倒です．

これに対して，無限級数の中でも[無限等比級数]は非常に分かりやすく，

収束と発散
収束する場合には極限値

が簡単に分かります．これが無限級数の中でも特に[無限等比級数]が大切な理由です．

無限級数の中でも，等比数列の和の極限である[無限等比級数]は収束・発散の判定が簡単で扱いやすい．

無限等比級数の収束・発散条件

それでは，無限等比級数の収束・発散条件をみていきましょう．

以下では，初項$a$，公比$r$の等比数列$\{a_n\}$に対し，無限等比級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$を考えます．

初項について

最初に確認するのは初項$a$です．

もし$a=0$なら公比$r$が何であっても，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=0$なので無限等比級数も

$\begin{align*} \dsum_{k=1}^{\infty}a_k=0 \end{align*}$

となり，収束することが分かりますね．

公比について

$a\neq0$のときには，次に公比$r$を確認します．

無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$はそもそも

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align*}$

で定義されていたので，部分和$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$を計算し，$n\to\infty$での極限を考えればよいですね．

$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$は等比数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和なので，

$r=1$
$r\neq1$

の場合分けが必要ですね．

【数列の基本２｜[等差数列の和の公式]と[等比数列の和の公式]】

等比数列の和は公比が１の場合と，公比が１でない場合で和の形が変わります．等比数列の和は当たり前に求めたいところです．

$r=1$の場合

$r=1$の場合には$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=an$なので，$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は発散しますね．より詳しく書けば，

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases} \end{align*}$

となります．

確かに$r=1$なら一般項は$a_n=a$と一定なので，$a>0$なら和は$\infty$に発散し，$a<0$なら和は$-\infty$に発散するのは当たり前ですね．

$r\neq1$の場合

$r\neq1$の場合には$S_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$で，この右辺の中にある$n$は分子の$r^n$だけです．$r^n$の$n\to\infty$での極限は

$-1<r<1$のとき，$\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=0$であり，
$r\leqq-1$のとき，$r^{n}$は振動し，
$1<r$のとき，$\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=\infty$

なので，無限等比級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$について

$-1<r<1$のとき，$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\dfrac{a}{1-r}$であり，
$r\leqq-1$のとき，$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$は振動し，
$1<r$のとき，$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases}$

と分かります．

以上をまとめると以下のようになりますね．

[無限等比級数の収束・発散条件]　初項$a$，公比$r$の数列$\{a_n\}$に対して，

$a=0$
$-1<r<1$

のとき，無限等比級数$\dsum_{k=1}^{\infty}a_n$は収束し

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_n =\frac{a}{1-r} \end{align*}$

となる．

また，この場合以外の$a$, $r$では無限等比級数$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$は以下のように発散する．

$r\leqq-1$のとき，$\dsum_{k=1}^{n}a_k$は振動
$1<r$のとき，$\dsum_{k=1}^{\infty}a_k=\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases}$

「$a=0$のときの極限は0ではないのか？」と疑問に思う人もいるかもしれませんが，これは心配ありません．

というのは，$a=0$の場合には$\dfrac{a}{1-r}=0$となるので，$a=0$の場合にも確かに極限は0となっているので，極限が$\dfrac{a}{1-r}$であるとして問題ありませんね．

なお，数列が収束しない場合には全て発散というので，「振動」も発散の１つですから注意してください．

[無限等比級数]は初項$a$を最初に確認し，$a=0$であれば収束する．$a\neq0$であれば次に公比$r$を確認し，$-1<r<1$であれば収束する．

一連の記事はこちら

【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】
【極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い】

$1=0.999\dots$は本当？

$1$と無限小数$0.999\dots$が等しい，と言われると信じられますか？

小学校で学んだ無限小数ですが，実は無限小数をきちんと理解できるようになるのは，この一連の記事で説明してきた無限級数を学んでからなのです．

以下の記事では，$1=0.999\dots$がどうして成り立つのかを説明しています．

【ワンステップ数学４｜1と0.999……は本当に等しいのか】

「$1=0.999\dots$が成り立つ」と言われて納得できるでしょうか？そもそも小学校以来何気なく扱ってきた「無限小数」とは一体何でしょうか？実はこれらは無限級数の知識を用いて説明することができます．