無限級数３｜無限等比級数の収束・発散は初項と公比に注目！

数列$\{a_n\}$に対して，初項から順に

   

と無限に足していったときの極限を$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$と表し，これを無限級数というのでした：

   

さて，数列$\{a_n\}$が等比数列のとき，$\{a_n\}$の無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$を無限等比級数といいます．

[無限等比級数]は無限級数の中でも

• 収束，発散が簡単に判別でき，
• 収束する場合は簡単に計算ができる

という非常に性質の分かりやすい無限級数です．

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無限等比級数とは

無限等比級数を導入しましょう．

無限等比級数の例

冒頭でも簡単に書きましたが，[無限等比級数]は以下のように定義されます．

なお，等比数列について詳しくは，以下の記事を参照してください．

たとえば

• $\dsum_{k=1}^{\infty}2^{k-1}$ $\bra{=1+2+4+8+\dots+2^{n-1}+\dots}$
• $\dsum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^k}$ $\bra{=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dots+\dfrac{1}{2^k}+\dots}$
• $\dsum_{k=1}^{\infty}\bra{-\dfrac{1}{3}}^k$ $\bra{=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{27}+\dots+\bra{-\dfrac{1}{3}}^k+\dots}$

はいずれも無限等比級数です．

一般に，無限等比級数は

   

の形で表すことができますね．

なぜ無限等比級数が大事なのか

数列$\{a_n\}$がよく分からない数列であれば，この無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$もよく分からないことになりそうです．

逆に言えば，数列$\{a_n\}$が性質の良い数列であれば，この無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$も考えやすいものになるでしょう．

一般に，無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$の収束や発散の判定は難しいことが多く，

• $\dsum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$
• $\dsum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}$

といった単純そうに見える無限級数でさえ，収束や発散の判定は面倒です．

これに対して，無限級数の中でも[無限等比級数]は非常に分かりやすく，

• 収束と発散
• 収束する場合には極限値

が簡単に分かります．これが無限級数の中でも特に[無限等比級数]が大切な理由です．

無限等比級数の収束・発散条件

それでは，無限等比級数の収束・発散条件をみていきましょう．

以下では，初項$a$，公比$r$の等比数列$\{a_n\}$に対し，無限等比級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$を考えます．

初項について

最初に確認するのは初項$a$です．

もし$a=0$なら公比$r$が何であっても，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=0$なので無限等比級数も

   

となり，収束することが分かりますね．

公比について

$a\neq0$のときには，次に公比$r$を確認します．

無限級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$はそもそも

   

で定義されていたので，部分和$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$を計算し，$n\to\infty$での極限を考えればよいですね．

$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$は等比数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和なので，

• $r=1$
• $r\neq1$

の場合分けが必要ですね．

$r=1$の場合

$r=1$の場合には$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=an$なので，$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$は発散しますね．より詳しく書けば，

   

となります．

確かに$r=1$なら一般項は$a_n=a$と一定なので，$a>0$なら和は$\infty$に発散し，$a<0$なら和は$-\infty$に発散するのは当たり前ですね．

$r\neq1$の場合

$r\neq1$の場合には$S_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$で，この右辺の中にある$n$は分子の$r^n$だけです．$r^n$の$n\to\infty$での極限は

• $-1<r<1$のとき，$\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=0$であり，
• $r\leqq-1$のとき，$r^{n}$は振動し，
• $1<r$のとき，$\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=\infty$

なので，無限等比級数$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$について

• $-1<r<1$のとき，$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\dfrac{a}{1-r}$であり，
• $r\leqq-1$のとき，$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$は振動し，
• $1<r$のとき，$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases}$

と分かります．

以上をまとめると以下のようになりますね．

「$a=0$のときの極限は0ではないのか？」と疑問に思う人もいるかもしれませんが，これは心配ありません．

というのは，$a=0$の場合には$\dfrac{a}{1-r}=0$となるので，$a=0$の場合にも確かに極限は0となっているので，極限が$\dfrac{a}{1-r}$であるとして問題ありませんね．

なお，数列が収束しない場合には全て発散というので，「振動」も発散の１つですから注意してください．

$1=0.999\dots$は本当？

$1$と無限小数$0.999\dots$が等しい，と言われると信じられますか？

小学校で学んだ無限小数ですが，実は無限小数をきちんと理解できるようになるのは，この一連の記事で説明してきた無限級数を学んでからなのです．

以下の記事では，$1=0.999\dots$がどうして成り立つのかを説明しています．