無限等比級数の収束条件は「初項」と「公比」に注目！

数列 $\{a_n\}$ に対して $a_1+a_2+a_3+\dots$ と足していった極限を $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ と表し，これを「無限級数」というのでした．

このように，無限級数のイメージは無限個の項の和ですが，正確には部分和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ の極限として定義されるのでした．

さて，数列 $\{a_n\}$ が等比数列のとき， $\{a_n\}$ の無限級数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ を[無限等比級数]といいます．

[無限等比級数]は無限級数の中でも

収束，発散が簡単に判別でき，
収束する場合は簡単に計算ができる

という非常に性質の分かりやすい無限級数です．

一連の記事はこちら

【極限の基本１｜lim(リミット)の意味は？極限の考え方】
【極限の基本２｜「関数の極限」と「数列の極限」の２つの違い】
【無限級数１｜[無限級数]の考え方を具体例から理解する】
【無限級数２｜無限級数の発散条件と収束しない３つの例】
【無限級数３｜無限等比級数の収束・発散は初項と公比に注目！】←今の記事

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無限等比級数とは

無限等比級数を導入しましょう．

無限等比級数の例

冒頭でも簡単に書きましたが，[無限等比級数]は以下のように定義されます．

数列 $\{a_n\}$ が等比数列のとき， $\{a_n\}$ の無限級数 $\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$ を無限等比級数という．

なお，等比数列について詳しくは，以下の記事を参照してください．

等比数列の記事はこちら

【数列の基本１｜等差数列と等比数列の一般項】
【数列の基本２｜シグマ記号と等差数列/等比数列の和の公式】
【漸化式の基本２｜等差数列，等比数列の漸化式】

たとえば

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} 2^k,\quad \sum_{k=1}^{\infty} -5\times3^{k-1},\quad \sum_{k=1}^{\infty} 2\times\bra{-\frac{1}{2}}^k \end{align*}$

は全て[無限等比級数]です．すなわち，一般に[無限等比級数]は

$\begin{align*} \dsum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1} \end{align*}$

の形で表すことができますね．

なぜ無限等比級数が大事なのか

数列 $\{a_n\}$ がよく分からない数列であれば，この無限級数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ もよく分からないことになりそうです．

逆に言えば，数列 $\{a_n\}$ が性質の良い数列であれば，この無限級数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ も考えやすいものになるでしょう．

一般に，無限級数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ の収束や発散の判定は難しいことが多く，

$\dsum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$
$\dsum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}$

といった単純そうに見える無限級数でさえ，収束や発散の判定は面倒です．

これに対して，無限級数の中でも[無限等比級数]は非常に分かりやすく，

収束と発散
収束する場合には極限値

が簡単に分かります．

これが，無限級数の中でも特に[無限等比級数]が大切な理由です．

無限級数の中でも，等比数列の和の極限である[無限等比級数]は収束・発散の判定が簡単で扱いやすい．

無限等比級数の収束・発散条件

それでは，無限等比級数の収束・発散条件をみていきましょう．

以下では，初項 a ，公比 r の等比数列 $\{a_n\}$ に対し，無限等比級数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ を考えます．

初項について

最初に確認するのは初項 a です．

もし $a=0$ なら公比 r が何であっても， $\{a_n\}$ の一般項は $a_n=0$ なので無限等比級数も

$\begin{align*} \dsum_{k=1}^{\infty}a_k=0 \end{align*}$

となり，収束することが分かりますね．

公比について

$a\neq0$ のときには，次に公比 r を確認します．

無限級数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ はそもそも

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k \end{align*}$

で定義されていたので，部分和 $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ を計算し， $n\to\infty$ での極限を考えればよいですね．

$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ は等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和なので，

$r=1$
$r\neq1$

の場合分けが必要ですね．

【数列の基本２｜シグマ記号と等差数列/等比数列の和の公式】

等比数列の和は公比が１の場合と，公比が１でない場合で和の形が変わります．等比数列の和は当たり前に求めたいところです．

r=1の場合

$r=1$ の場合には $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=an$ なので， $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ は発散しますね．より詳しく書けば，

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_k =\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases} \end{align*}$

となります．

確かに $r=1$ なら一般項は $a_n=a$ と一定なので， $a>0$ なら和は $\infty$ に発散し， $a<0$ なら和は $-\infty$ に発散するのは当たり前ですね．

r≠1の場合

$r\neq1$ の場合には $S_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ で，この右辺の中にある $n$ は分子の $r^n$ だけです． $r^n$ の $n\to\infty$ での極限は

$-1<r<1$ のとき， $\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=0$ であり，
$r\leqq-1$ のとき， $r^{n}$ は振動し，
$1<r$ のとき， $\lim\limits_{n\to\infty}r^{n}=\infty$

なので，無限等比級数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ について

$-1<r<1$ のとき， $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\dfrac{a}{1-r}$ であり，
$r\leqq-1$ のとき， $\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$ は振動し，
$1<r$ のとき， $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases}$

と分かります．

以上をまとめると以下のようになりますね．

[無限等比級数の収束・発散条件]　初項 a ，公比 r の数列 $\{a_n\}$ に対して，

$a=0$
$-1<r<1$

のとき，無限等比級数 $\dsum_{k=1}^{\infty}a_n$ は収束し，

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_n =\frac{a}{1-r} \end{align*}$

となる．

また，この場合以外の a , r では無限等比級数 $\dsum_{k=1}^{\infty}a_k$ は以下のように発散する．

$r\leqq-1$ のとき， $\dsum_{k=1}^{n}a_k$ は振動
$1<r$ のとき， $\dsum_{k=1}^{\infty}a_k=\begin{cases}\infty&(a>0)\\-\infty&(a<0)\end{cases}$

「 $a=0$ のときの極限は0ではないのか？」と疑問に思う人もいるかもしれませんが，これは心配ありません．

というのは， $a=0$ の場合には $\dfrac{a}{1-r}=0$ となるので， $a=0$ の場合にも確かに極限は0となっているので，極限が $\dfrac{a}{1-r}$ であるとして問題ありませんね．

なお，数列が収束しない場合には全て発散というので，「振動」も発散の１つですから注意してください．

[無限等比級数]は初項 a を最初に確認し， $a=0$ であれば収束する． $a\neq0$ であれば次に公比 r を確認し， $-1<r<1$ であれば収束する．

ちなみに，私が高校生の時に

「『振動』を『振動発散』ともいう」

と年配の先生に習ったのですが，「振動発散」という言葉をそれ以来見聞きしたことがありません．もし，何かご存知の方がいらっしゃれば，是非ご教授願います．

【ワンステップ数学４｜1と0.999……は本当に等しいのか】

「 $1=0.999\dots$ が成り立つ」と言われて納得できるでしょうか？そもそも小学校以来何気なく扱ってきた「無限小数」とは一体何でしょうか？実はこれらは無限級数の知識を用いて説明することができます．