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三角関数1|三角関数/三角比の違いは?三角関数を定義しよう!

直角三角形の1つの鋭角を\thetaとしたとき,3種類の辺の比を\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}と名付けたものを三角比というのでした.

このように,三角形の内角の和は常に180^\circだったので,直角三角形の1つの鋭角\theta0^{\circ}<\theta<90^{\circ}の範囲しか動きません.

したがって,直角三角形を考えていたのでは,例えば

  • \sin{120^\circ}のような90^\circを超える\theta
  • \sin{-30^\circ}のような負の\theta

\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}を考えることができません.

そこで,実数\theta0<\theta<90^{\circ}の範囲にない場合にも,\sin{\theta}\cos{\theta}\tan{\theta}をうまく定義できないか」と考えたものが三角関数です.

xy座標上にうまく直角三角形を置くと,\cos{\theta}\sin{\theta}をそれぞれある点のx座標,y座標と捉えることができます.

本記事では,三角関数を定義し,三角関数の間に成り立つ4つの関係式について説明します.

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三角関数の準備

三角関数を定義するために,いくつか準備をします.

偏角

簡単には,角度に向きをつけたものを偏角といいます.

具体的には以下のように定義します.

xy平面上の原点Oとは異なる点Pに対して,x軸の正方向から,ベクトル\Ve{OP}へのなす有向角をx軸からの(x軸正方向からの)偏角という.ただし,反時計回りを正とする.

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「有向角」とは「向きのある角」という意味です.

ただし,偏角は

  • 360^{\circ}を超えるもの
  • 負のもの

も考えることに注意してください.

負の偏角は時計回りの有向角で,360^\circ以上の偏角は1周以上の有向角です.

例1

偏角-40^{\circ}の点Qは下図のようになります.

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例2

偏角390^\circの点Rは以下のようになります.

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向きの付いた角を偏角という.偏角は負のものや360^\circを超えるものも考える.

三角形と座標

次に,以下の事実を当たり前にしておきましょう.

斜辺ACの長さがrの直角三角形\tri{ABC}において,

  • \mrm{AB}=r\cos{\theta}
  • \mrm{BC}=r\sin{\theta}

が成り立つ.

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これは前々回の記事でも説明しました.

とくにr=1の場合を考えると,下図のようになります.

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これをxy平面上に,点Aが原点,線分ABがx軸上,点Cのy座標が正となるようにおくと,以下のようになり,

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点Cのx座標が\cos{\theta}y座標が\sin{\theta}となります.

斜辺の長さが1,一つの鋭角が\thetaの直角三角形を適切にxy平面上におけば,1つの頂点のx座標が\cos{\theta}y座標が\sin{\theta}となる.

三角関数の定義

ここまでくれば,三角関数の定義がなぜそういう定義にすると良いのかが分かります.

三角関数の定義

三角関数の定義は以下の通りです.

\thetaを実数とする.このとき,偏角\thetaの単位円周上の点Cについて,

  • Cのx座標を\cos{\theta}
  • Cのy座標を\sin{\theta}

と定義する.

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また,\cos{\theta}\neq0のとき,\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}と定義する.

このように定義すれば,\theta0^{\circ}<\theta<90^\circの場合の三角比と矛盾することなく,どんな偏角\thetaに対しても\sin{\theta}\cos{\theta}が定義できるというわけです.

また,三角比では\tan{\theta}も辺の比で定義して関係式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}を導きましたが,三角関数においてはこの関係式によって\tan{\theta}を定義します.

よって,数学において分母が0であってはならないので,\tan{\theta}が定義できるのは\cos{\theta}\neq0の場合になります.

つまり,定義の点Cのx座標が\cos{\theta}だったので,点Cがy軸上にあるとき(\theta=\pm90^\circ,\pm270^\circ,\dotsのとき),\tan{\theta}は定義できないことになります.

原点からの距離が1,偏角が\thetaの点のx座標を\cos{\theta}y座標を\sin{\theta}と定義する.これは上で見た直角三角形に関する考察から,三角比の拡張になっていることが分かる.

tanの図形的意味

\tan{\theta}\cos{\theta}\sin{\theta}を使って式で定義しましたが,\tan{\theta}の図形的な意味を説明しておきます.

xy平面において,点Oを原点,点Cを単位円周上の点とします.

このとき,\mrm{O}(0,0), \mrm{C}(\cos{\theta},\sin{\theta}) (\thetaは実数)と表せるので,直線OCの傾きは

    \begin{align*} \dfrac{\sin\theta-0}{\cos\theta-0} =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} =\tan\theta \end{align*}

と分かります.

すなわち,直線OCはx軸方向に1進むとy軸方向に\tan\theta進むから,xy平面上の直線x=1と直線OPの交点のy座標が\tan\thetaとなります.

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\cos{\theta}\neq0のとき,原点Oと点P(\cos{\theta},\sin{\theta})を通る曲線の傾きは\tan{\theta}だから,この直線はx軸方向に1進めば,y軸方向に\tan{\theta}進む.

よって,直線OPと単位円の点(1,0)での接線との交点のy座標が\tan{\theta}である.

三角関数の関係式

最後に,\sin\cos\tanに関する4つの関係式を説明します.

4つの関係式

三角比と同様に,以下の関係式が成り立ちます.

実数\thetaについて,

  1. \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  2. \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  3. 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  4. 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

の4つの関係式が成り立つ.

ただし,3つ目の公式は\cos{\theta}\neq0のときに,4つ目の公式は\sin{\theta}\neq0かつ\tan{\theta}\neq0のときに成り立つ.

これらは前回の記事で三角比の場合に成り立つことを示しました.そして,この4つの関係式は角度を広げて定義した三角関数でも成り立つわけですね.

1つ目の関係式は\tanの定義式なので,成り立つのは当然です.

残る3つの公式は分かってしまえば自分で簡単に証明できるので,ほとんど努力せず覚えることができます.

証明

証明は三角比の場合とほぼ同様ですが,\sin\cos0以下になり得るため,2つめの公式\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1は少し場合分けが必要になります.

[証明]

\sin{\theta}\neq0かつ\cos{\theta}\neq0のとき,点Pを\mrm{P}(\cos{\theta},\sin{\theta})で定め,点Pからx軸に下ろした垂線の足をHとしましょう.

このとき,\tri{PHO}は斜辺の長さが1で,他の2辺の長さが|\sin{\theta}||\cos{\theta}|の直角三角形ですね.

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この三角形で三平方の定理を用いると,

    \begin{align*} |\cos{\theta}|^{2}+|\sin{\theta}|^{2}=1 \end{align*}

となるから,関係式

    \begin{align*} \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1 \end{align*}

が得られます.

また,\sin{\theta}=0のときは\cos{\theta}=1となるのでやはり式\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1が成り立ち,\cos{\theta}=0のときも\sin{\theta}=1となるのでやはり式\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1が成り立ちますね.

次に,この両辺を\cos^{2}{\theta}で割れば,

    \begin{align*} 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}} \end{align*}

が得られ,一方両辺を\sin^{2}{\theta}で割れば,

    \begin{align*} \dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}+1=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}} \end{align*}

が得られます.

[証明終]

使い方のコツ

この4つの関係式をどのように使うのかは,以下のように考えれば分かりやすいでしょう.

上でみた4つの関係式がそれぞれ

  1. \tan\cos\sinの関係式
  2. \cos\sinの関係式
  3. \cos\tanの関係式
  4. \sin\tanの関係式

となっていることは意識しておきたいところです.

ですから,\cosから\tanを求めるときには3つめの公式,\tanから\sinを求めるときには4つめの公式といったように,「いまはどれが分かっているのか」「いまはどれが欲しいのか」を考えれば,どの公式を使うのがよいかは自然に見えてくるはずですね.

三角関数の間の4つの関係式のうち,\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}は定義式であり,\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}は三平方の定理から分かる.

残る2つの関係式はこの2つの関係式から直ちに導くことができる.

 

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