三角比３｜実は当たり前！？3つの(90°-θ)型の変換公式

前々回の記事では三角比 $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を定義し，前回の記事ではこれらの間の4つの関係式

$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
$1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
$1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

について解説しました．

これまで，三角比の角度は $\theta$ で考えてきましたが，角度 $\theta$ が別のものに置き替わったものを $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ を使って表したいことがあります．

三角比では， $\sin{(90^\circ-\theta)}$ , $\cos{(90^\circ-\theta)}$ , $\tan{(90^\circ-\theta)}$ がそれぞれ $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を使って表すことができます．

そして，これら3つの公式はのちに出てくる三角関数の公式と混同して分からなくなりがちなのですが，実は証明はとてもシンプルなため，この証明が理解できていれば悩むことはなくなります．

本記事では，これら $(90^\circ-\theta)$ 型の3つの角度の変換公式について説明します．

【前回の記事：三角比２｜sin,cos,tanの超重要な4つの関係式】

三角比は直角三角形を用いて定義されるのでした．そのため， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ はどれか1つでも分かれば，対応する直角三角形の形が定まり，他の2つの値を求めることができます．この前回の記事では $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ の間の関係を表す4つの関係式について説明しています．

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1 3つの(90°-θ)型の変換公式
2 sinとcosの公式
3 tanの公式

3つの(90°-θ)型の変換公式

結論から書きましょう．

$\sin{(90^{\circ}-\theta)}$ , $\cos{(90^{\circ}-\theta)}$ , $\tan{(90^{\circ}-\theta)}$ は，次のように三角比 $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ ， $\tan{\theta}$ で表すことができます．

$0<\theta<90^\circ$ なる実数 $\theta$ について，

$\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
$\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
$\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

の3つの関係式が成り立つ．

$\ang{B}=90^\circ$ かつ $\theta=\ang{A}$ を満たす $\tri{ABC}$ を考えます．このとき， $\ang{C}=90^{\circ}-\theta$ ですね．

また， $\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}$ ， $\sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}$ ， $\tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}$ ですね．

sinとcosの公式

直角三角形 $\tri{ABC}$ をくるっと裏返して回転させると，公式1と公式2は直ちに導かれます．

よって， $\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}$ なので，これは $\cos{\theta}$ に等しいですね．同様に， $\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}$ なので，これは $\cos{\theta}$ に等しいです．

よって，

$\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
$\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$

が得られました．

つまり，角度 $90^{\circ}-\theta$ の $\sin$ と $\cos$ は，角度を $\theta$ にすると入れ替わるわけですね．

このように，直角三角形を裏返した図を考えると， $\sin$ と $\cos$ が入れ替わることがすぐに分かりますね．

tanの公式

やはり直角三角形 $\tri{ABC}$ をくるっと裏返して回転させた図を考えると， $\tan$ の公式が直ちに導かれます．

図から $\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{BC}}$ で，これは $\tan{\theta}$ の逆数なので $\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$ は簡単に分かりますね．

また，さっきみた $\sin$ と $\cos$ の公式

$\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
$\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$

と，三角比の関係式 $\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ から，

$\begin{align*} \tan{(90^{\circ}-\theta)} =&\dfrac{\sin{(90^{\circ}-\theta)}}{\cos{(90^{\circ}-\theta)}} \\=&\dfrac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}} \\=&\dfrac{1}{\tan{\theta}} \end{align*}$

としても直ちに得られます．

$(90^{\circ}-\theta)$ 型の $\sin$ は $\cos$ に， $\cos$ は $\sin$ になるわけですから，分母に $\sin$ ，分子に $\cos$ がきて $\tan{\theta}$ の逆数になるわけですね．

$(90^\circ-\theta)$ 型の三角比は，直角三角形を回転させて考えれば，角度 $\theta$ の三角比で表せることが分かる．

次の記事【三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】

三角比では直角三角形を元にして定義されたため， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ の角度 $\theta$ は $0<span class="w-impact">^\circ</span><\theta<90^\circ$ の場合にしか考えることができませんでした．そこで， $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ なる $\theta$ に対して $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えたい場合にどうすればよいのかを説明します．