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三角比3|実は当たり前!?3つの(90°-θ)型の変換公式

前々回の記事では三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を定義し,前回の記事ではこれらの間の4つの関係式

  1. $\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
  2. $\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$
  3. $1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}$
  4. $1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}$

について解説しました.

これまで,三角比の角度は$\theta$で考えてきましたが,角度$\theta$が別のものに置き替わったものを$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を使って表したいことがあります.

三角比では,$\sin{(90^\circ-\theta)}$, $\cos{(90^\circ-\theta)}$, $\tan{(90^\circ-\theta)}$がそれぞれ$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を使って表すことができます.

そして,これら3つの公式はのちに出てくる三角関数の公式と混同して分からなくなりがちなのですが,実は証明はとてもシンプルなため,この証明が理解できていれば悩むことはなくなります.

本記事では,これら$(90^\circ-\theta)$型の3つの角度の変換公式について説明します.

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3つの(90°-θ)型の変換公式

結論から書きましょう.

$\sin{(90^{\circ}-\theta)}$, $\cos{(90^{\circ}-\theta)}$, $\tan{(90^{\circ}-\theta)}$は,次のように三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$で表すことができます.

$0<\theta<90^\circ$なる実数$\theta$について,

  1. $\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
  2. $\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
  3. $\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$

の3つの関係式が成り立つ.

$\ang{B}=90^\circ$かつ$\theta=\ang{A}$を満たす$\tri{ABC}$を考えます.このとき,$\ang{C}=90^{\circ}-\theta$ですね.

Rendered by QuickLaTeX.com

また,$\cos{\theta}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}$, $\sin{\theta}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}$, $\tan{\theta}=\dfrac{\mrm{CB}}{\mrm{AB}}$ですね.

sinとcosの公式

直角三角形$\tri{ABC}$をくるっと裏返して回転させると,公式1と公式2は直ちに導かれます.

Rendered by QuickLaTeX.com

よって,$\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{AC}}$なので,これは$\cos{\theta}$に等しいですね.同様に,$\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{BC}}{\mrm{AC}}$なので,これは$\cos{\theta}$に等しいです.

よって,

  1. $\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$
  2. $\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$

が得られました.

つまり,角度$90^{\circ}-\theta$の$\sin$と$\cos$は,角度を$\theta$にすると入れ替わるわけですね.

このように,直角三角形を裏返した図を考えると,$\sin$と$\cos$が入れ替わることがすぐに分かりますね.

tanの公式

やはり直角三角形$\tri{ABC}$をくるっと裏返して回転させた図を考えると,$\tan$の公式が直ちに導かれます.

Rendered by QuickLaTeX.com

図から$\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{\mrm{AB}}{\mrm{BC}}$で,これは$\tan{\theta}$の逆数なので$\tan{(90^{\circ}-\theta)}=\dfrac{1}{\tan{\theta}}$は簡単に分かりますね.

また,さっきみた$\sin$と$\cos$の公式

  • $\cos{(90^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
  • $\sin{(90^{\circ}-\theta)}=\cos{\theta}$

と,三角比の関係式$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$から,

\begin{align*} \tan{(90^{\circ}-\theta)} =&\dfrac{\sin{(90^{\circ}-\theta)}}{\cos{(90^{\circ}-\theta)}} \\=&\dfrac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}} \\=&\dfrac{1}{\tan{\theta}} \end{align*}

としても直ちに得られます.

$(90^{\circ}-\theta)$型の$\sin$は$\cos$に,$\cos$は$\sin$になるわけですから,分母に$\sin$,分子に$\cos$がきて$\tan{\theta}$の逆数になるわけですね.

$(90^\circ-\theta)$型の三角比は,直角三角形を回転させて考えれば,角度$\theta$の三角比で表せることが分かる.

最後までありがとうございました!

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