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三角比4|角度が90°以上の三角比はこう考える!

三角比は直角三角形の1つの鋭角を\thetaとして考えるので,0^{\circ}<\theta<90^{\circ}の場合にしか\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考えることができませんでした.

つまり,直角三角形で三角比を考えると\sin{45^\circ}\cos{60^\circ}などを定義することはできますが,\sin{120^\circ}\cos{135^\circ}などを定義することができません.

そこで,0^{\circ}<\theta<90^{\circ}以外の場合にも\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考えようというのが,今回の記事の目標です.

「そんなもん定義して何になんの?」

と思うかもしれませんが,これがとても役に立つのです.

具体的には,後の記事で扱う【正弦定理】と【余弦定理】を考えるときに,三角比の角度\theta90^\circ以上の場合に定義されていると便利なのです.

この記事では,0^\circ\leqq \theta\leqq 180^\circを満たす\thetaに対して\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考え,いくつかの基本的な三角比の性質を説明します.

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三角比の基本的な考え方

次に,以下の事実を当たり前にしておきましょう.

\ang{B}=90^\circの直角三角形\tri{ABC}を考える.このとき,r=\mathrm{AC}\theta=\ang{A}とすると,

  • \mrm{AB}=r\cos{\theta}
  • \mrm{BC}=r\sin{\theta}

が成り立つ.

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これは前々回の記事でも説明しました.

とくに斜辺の長さが1の場合,すなわち,r=1の場合を考えると,下図のようになります.

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これをxy平面上に,点Aが原点,線分ABがx軸上,点Cのy座標が正となるようにおくと,以下のようになり,

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点Cのx座標が\cos{\theta}y座標が\sin{\theta}となります.

斜辺の長さが1,一つの鋭角が\thetaの直角三角形を適切にxy平面上におけば,1つの頂点のx座標が\cos{\theta}y座標が\sin{\theta}となる.

180°までの三角比

三角比\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}の場合に拡張する準備が整いました.

三角比の拡張

角度\theta0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}の場合の三角比の定義は以下の通りです.

xy平面上の単位円上の点Pはx座標が0以上であり,単位円上にあるとする.

原点をO,点(1,0)をAとし,\theta=\ang{AOP}とするとき,

  • Pのx座標を\cos{\theta}
  • Pのy座標を\sin{\theta}

と定義する.

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また,\cos{\theta}\neq0のとき,\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}と定義する.

このように定義すれば,\theta0^{\circ}<\theta<90^\circの場合の三角比と矛盾することなく,0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circを満たすどんな\thetaに対しても\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}が定義できるというわけです.

また,直角三角形で定義した三角比では\tan{\theta}も辺の比で定義して,関係式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}を導きましたが,ここではこの関係式によって\tan{\theta}を定義します.

ここで注意しなければならないのは,数学では「0で割る」のはダメだということです.

また,\cos{\theta}\neq0\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}だったので,この分母\cos{\theta}は0であってはいけません.

よって,\tan{\theta}が定義できるのは\theta\neq90^\circの場合になります.

xy平面上のx軸の正方向と線分OPのなす角が\theta (0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)で,単位円上のy座標が0以上の点Pを考え,この点Pのx座標を\cos{\theta}y座標を\sin{\theta}と定義する.また,\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}と定義する.

tanの図形的意味

\tan{\theta}\cos{\theta}\sin{\theta}を使って式で定義しましたが,\tan{\theta}の図形的な意味を説明しておきます.

xy平面において,点Oを原点,点Pを単位円周上の点とすると,\mrm{O}(0,0), \mrm{P}(\cos{\theta},\sin{\theta}) (\thetaは実数)と表せるので,直線OPの傾きは

\begin{align*} \dfrac{\sin\theta-0}{\cos\theta-0} =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} =\tan\theta \end{align*}

と分かります.すなわち,直線OPはx軸方向に1進むとy軸方向に\tan\theta進みます.

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よって,xy平面上の直線x=1と直線OPの交点のy座標が\tan\thetaとなります.

\theta\neq90^\circのとき,原点Oと点P(\cos{\theta},\sin{\theta})を通る曲線の傾きは\tan{\theta}だから,この直線はx軸方向に1進めば,y軸方向に\tan{\theta}進む.よって,直線OPと単位円の点(1,0)での接線との交点のy座標が\tan{\theta}である.

三角比の性質

0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circの場合の\thetaに対する\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}について,いくつか考察しましょう.

三角比の値

0^\circ<\theta<90^\circの場合の有名角\theta=30^\circ,45^\circ,60^\circについてはすでに求めました.

90^\circ<\theta\leqq180^\circの場合は,図の対称性から0^\circ<\theta<90^\circの場合をもとにして,下表のようになります.

三角比の値
\theta \sin{\theta} \cos{\theta} \tan{\theta}
0^\circ 0 1 0
30^\circ \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{1}{\sqrt{3}}
45^\circ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} 1
60^\circ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
90^\circ 1 0 定義されない
120^\circ \dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{1}{2} -\sqrt{3}
135^\circ \dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -1
150^\circ \dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{1}{\sqrt{3}}
180^\circ 0 -1 0

一方,90^\circ<\theta<180^\circの場合には,\sin{\theta}>0ではあるものの,\cos{\theta}<0となります.そのため,\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}<0となりますね.

まとめると下表のようになります.

\theta=90^\circに関して対称に考えれば,有名角90^\circ以上の有名角の値も分かる.また,\cos{\theta}, \tan{\theta}\theta=90^\circを境界として正から負に変化する.

tanθと直線の傾き

さきほど「\tan{\theta}=\dfrac{\sin\theta-0}{\cos\theta-0}より,\tan{\theta}は直線OPの傾きを表す」ということを説明しました.

これを用いると,以下のことが言えます.

xy平面上の直線\ellを考える.下図のように直線\ellx軸の正方向とのなす角が\thetaのとき,直線\ellの傾きは\tan{\theta}である.

[1] 0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circのとき

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[2] 90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circのとき

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[証明]

点Pを(\cos{\theta},\sin{\theta})とすると,直線OPと直線\ellは同位角が等しいので平行です.

[1] 0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circのとき

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[2] 90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circのとき

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いま,直線OPの傾きは

\begin{align*} \frac{\sin{\theta}-0}{\cos{\theta}-0}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta} \end{align*}

なので,直線\ellの傾きも\tan{\theta}となります.

[証明終]

x軸正方向とのなす角が\thetaと分かれば,直線の傾きは\tan{\theta}である.

三角比の関係

前々回の記事では,三角比の関係式

  1. \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  2. \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  3. 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  4. 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

が成り立つことを説明しました.それぞれ,

  1. \sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}の関係式
  2. \sin{\theta}, \cos{\theta}の関係式
  3. \cos{\theta}, \tan{\theta}の関係式
  4. \sin{\theta}, \tan{\theta}の関係式

なのでしたね.

これらの4つの関係式は0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circの三角比\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}に対しても成り立ちます.

すなわち,以下が成り立ちます.

0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circを満たす実数\thetaについて,

  1. \tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
  2. \cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1
  3. 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}}
  4. 1+\dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}}

の4つの関係式が成り立つ.

ただし,3つ目の公式は\cos{\theta}\neq0のときに,4つ目の公式は\sin{\theta}\neq0かつ\tan{\theta}\neq0のときに成り立つ.

証明は前々回の記事とほぼ同様ですが,少し違うところがあるので証明しておきましょう.

[証明]

\tan{\theta}の定義から,\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}が成り立つ.

また,xy平面上の点(\cos{\theta},\sin{\theta})は単位円x^2+y^2=1上の点として定義したから,\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1が成り立つ.

\cos{\theta}\neq0のとき,\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\cos^{2}{\theta}で割れば,

\begin{align*} 1+\tan^{2}{\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}{\theta}} \end{align*}

\sin{\theta}\neq0かつ\cos{\theta}\neq0のとき,\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1の両辺を\sin^{2}{\theta}で割れば,

\begin{align*} \dfrac{1}{\tan^{2}{\theta}}+1=\dfrac{1}{\sin^{2}{\theta}} \end{align*}

が得られる.

[証明終]

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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