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三角比5|(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単!

直角三角形を用いて三角比を定義するのでは,0^\circ<\theta<90^\circなる\thetaに対してしか\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}を考えることはできないのでした.

そこで,前回の記事では単位円を使って0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circなる\thetaに対しても,\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}の場合に考えられるようになりました.

この記事では\sin{(180^\circ-\theta)}, \cos{(180^\circ-\theta)}, \tan{(180^\circ-\theta)}\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}で表す(180^\circ-\theta)型の三角比の変換公式を考えます.

また,(180^\circ-\theta)型の三角比の変換公式を使うことで,三角形の面積を\sinで表すことができます.

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3つの(180°-θ)型の変換公式

結論から書きましょう.

\sin{(180^{\circ}-\theta)}, \cos{(180^{\circ}-\theta)}, \tan{(180^{\circ}-\theta)}は,次のように三角比\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}で表すことができます.

0\leqq\theta\leqq180^\circなる実数\thetaについて,

  1. \sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}
  2. \cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta}
  3. \tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta}

の3つの関係式が成り立つ.

xy平面上の単位円上の点Pはy座標が0以上であるとします.さらに,原点をO,点(1,0)をAとし,\theta=\ang{AOP}としましょう.

[1] 0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circのとき

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[2] 90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circのとき

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このとき,\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}でしたね.

sinとcosの公式

xy平面上の単位円上の点Qはy座標が0以上であり,180^\circ-\theta=\ang{AOQ}としましょう.

このとき,下図のようになります.

[1] 0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circのとき

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[2] 90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circのとき

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0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circのときも90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circのときも,点Pと点Qはy軸対称ですね.

よって,Pのx座標とQのx座標は正負が逆になっているだけなので,

\begin{align*} \cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta} \end{align*}

が成り立ち,Pのy座標とQのy座標は等しいので,

\begin{align*} \sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta} \end{align*}

が成り立ちます.

このように,単位円のy座標が0以上の部分でy軸対称な2点を考えれば,簡単に(180^\circ-\theta)型の変換公式が得られますね.

単位円上の点のx座標が\cosで,y座標が\sinであることから,図を描くことにより簡単に(180^\circ-\theta)型の変換公式が得られる.

tanの公式

再びxy平面上の単位円上の点Qはy座標が0以上であり,180^\circ-\theta=\ang{AOQ}としましょう.

このとき,下図のようになります.

[1] 0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circのとき

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[2] 90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circのとき

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0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circのときも90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circのときも点Pと点Qはy軸対称なので,直線OPと直線x=1との交点と直線OQと直線x=1との交点はx軸対称です.

よって,「直線OPと直線x=1との交点のy座標」と「直線OQと直線x=1との交点のy座標」は正負が逆になっているだけなので,

\begin{align*} \tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta} \end{align*}

が成り立ちます.

また,さっきみた\sin\cosの公式

  • \cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta}
  • \sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}

と,三角比の関係式\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}から,

\begin{align*} \tan{(180^{\circ}-\theta)} =\dfrac{\sin{(180^{\circ}-\theta)}}{\cos{(180^{\circ}-\theta)}} =\dfrac{\sin{\theta}}{-\cos{\theta}} =-\tan{\theta} \end{align*}

としても直ちに得られます.

\sin{(180^\circ-\theta)}, \cos{(180^\circ-\theta)}, \tan{(180^\circ-\theta)}は,単位円でy軸対称な2点を考えることでそれぞれ\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}となる.

三角形の面積のsin公式

さて,三角形の面積は\sinを使って表すことができます.

\tri{ABC}について,\theta=\ang{A}, b=\mathrm{CA}, c=\mathrm{AB}とすると,\tri{ABC}の面積は

\begin{align*} \tri{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{\ang{A}} \end{align*}

である.

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[証明]

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとすると,

\begin{align*} \tri{ABC} =\frac{1}{2}\cdot\mathrm{CH}\cdot\mathrm{AB} =\frac{1}{2}c\cdot\mathrm{CH} \end{align*}

なので,\mathrm{CH}=b\sin{\theta}であることを示せばよいですね.

[1] 0^\circ<\theta<90^\circのとき

点Hは直線AB上の点Aに関してB側にあるので,下図のようになります.

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よって,

\begin{align*} \mathrm{CH} =\mathrm{CA}\sin{\ang{A}} =b\sin{\theta} \end{align*}

が成り立ちます.

[2] \ang{A}=90^\circのとき

\mathrm{A}=\mathrm{H}となるので,下図のようになります.

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よって,

\begin{align*} \mathrm{CH} =\mathrm{CA} =\mathrm{CA}\sin{90^\circ} =b\sin{\theta} \end{align*}

が成り立ちます.

[3] 0^\circ<\ang{A}<90^\circのとき

点Hは直線AB上の点Aに関してB側と反対側にあるので,下図のようになります.

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よって,(180^\circ-\theta)型の変換公式より

\begin{align*} \mathrm{CH} =&\mathrm{CA}\sin{\ang{CAH}} \\=&\mathrm{CA}\sin{(180^\circ-\ang{CAB})} \\=&\mathrm{CA}\sin{\ang{CAB}} \\=&b\sin{\theta} \end{align*}

が成り立ちます.

[証明終]

三角形の面積は「2辺の長さ」と「その間の角の大きさ」が分かっていれば,求めることができる.

最後まで読んで下さってありがとうございました!

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