(180°-θ)型の公式は図から当たり前！一瞬で導出！

直角三角形を用いた三角比の定義では，$0^\circ<\theta<90^\circ$なる$\theta$に対してしか$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を考えることはできないのでした．

そこで，前回の記事では単位円を使って$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$なる$\theta$に対しても，$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$の場合に考えられるようになりました．

さて，前々回の記事では$(90^\circ-\theta)$型の変換公式について説明しましたが，この記事では

$\sin{(180^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$
$\cos{(180^\circ-\theta)}=-\cos{\theta}$
$\tan{(180^\circ-\theta)}=-\tan{\theta}$

が成り立つという$(180^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式を考えます．

また，この$(180^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式を使うことで，三角形の面積を$\sin$で表すことができます．

一連の記事はこちら

【三角比１｜三角比を考え方から理解する！有名角の三角比も！】
【三角比２｜sinθ, cosθ, tanθの超重要な４つの関係式】
【三角比３｜実は当たり前！？３つの(90°-θ)型の変換公式】
【三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】
【三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】←今の記事
【三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう】
【三角比７｜【余弦定理】は「三平方の定理」の進化版！】

1 解説動画
2 ３つの$(180^\circ-\theta)$型の変換公式
- 2.1 $\sin$と$\cos$の公式
- 2.2 $\tan$の公式
3 有名角の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$
4 三角形の面積の$\sin$公式

解説動画

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３つの$(180^\circ-\theta)$型の変換公式

冒頭でも書いたように

$\sin{(180^{\circ}-\theta)}$
$\cos{(180^{\circ}-\theta)}$
$\tan{(180^{\circ}-\theta)}$

は，次のように三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$で表すことができます．

$0\leqq\theta\leqq180^\circ$なる実数$\theta$について，

$\sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
$\cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta}$
$\tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta}$

の３つの関係式が成り立つ．

$xy$平面上の単位円上の点Pは$y$座標が$0$以上であるとします．さらに，原点をO，点$(1,0)$をAとし，$\theta=\ang{AOP}$としましょう．

[1]　$0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$のとき

[2]　$90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$のとき

このとき，$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$でしたね．

また，$xy$平面上の単位円上の点Qは$y$座標が$0$以上であり，$180^\circ-\theta=\ang{AOQ}$としましょう．

$\sin$と$\cos$の公式

このとき，下図のようになります．

[1]　$0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$のとき

[2]　$90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$のとき

$0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$のときも$90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$のときも，点Pと点Qは$y$軸対称ですね．

よって，Pの$x$座標とQの$x$座標は正負が逆になっているだけなので，

$\begin{align*} \cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta} \end{align*}$

が成り立ち，Pの$y$座標とQの$y$座標は等しいので，

$\begin{align*} \sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

このように，単位円の$y$座標が0以上の部分で$y$軸対称な２点を考えれば，簡単に$(180^\circ-\theta)$型の変換公式が得られますね．

単位円上の点の$x$座標が$\cos$で，$y$座標が$\sin$であることから，図を描くことにより簡単に$(180^\circ-\theta)$型の変換公式が得られる．

$\tan$の公式

$\tan$の定義$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$と，上で確かめた$\sin$, $\cos$の$(180^\circ-\theta)$型の公式より

$\begin{align*} \tan{(180^\circ-\theta)} =\frac{\sin{(180^\circ-\theta)}}{\cos{(180^\circ-\theta)}} =\frac{\sin{\theta}}{-\cos{\theta}} =-\tan{\theta} \end{align*}$

とすぐに公式が得られますが，図形的にも確かめておきましょう．

[1]　$0^\circ\leqq\theta<90^\circ$のとき

[2]　$90^\circ<\theta\leqq180^\circ$のとき

$0^\circ\leqq\theta<90^\circ$のときも$90^\circ<\theta\leqq180^\circ$のときも点Pと点Qは$y$軸対称なので，直線OPと直線$x=1$との交点と直線OQと直線$x=1$との交点は$x$軸対称です．

よって，「直線OPと直線$x=1$との交点の$y$座標」と「直線OQと直線$x=1$との交点の$y$座標」は正負が逆になっているだけなので，

$\begin{align*} \tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta} \end{align*}$

が成り立ちますね．

$\sin{(180^\circ-\theta)}$, $\cos{(180^\circ-\theta)}$, $\tan{(180^\circ-\theta)}$は，単位円で$y$軸対称な２点を考えることでそれぞれ$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$となる．

有名角の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$

$0^\circ<\theta<90^\circ$の場合の有名角$\theta=30^\circ,45^\circ,60^\circ$については，以前の記事で以下のように求めましたね．

有名角の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$
$\theta$	$\sin{\theta}$	$\cos{\theta}$	$\tan{\theta}$
$30^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$45^\circ$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

また，前回の記事で説明した$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$の定義から$\theta=0^\circ,90^\circ$の場合は下表のようになります．

有名角の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$
$\theta$	$\sin{\theta}$	$\cos{\theta}$	$\tan{\theta}$
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$
$90^\circ$	$1$	$0$	定義されない

$90^\circ<\theta\leqq180^\circ$の場合は，この記事で考えた公式から$0^\circ<\theta<90^\circ$の場合をもとにして考えることができます．

以上をまとめると，下表のようになりますね．

有名角の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$
$\theta$	$\sin{\theta}$	$\cos{\theta}$	$\tan{\theta}$
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$
$30^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$45^\circ$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90^\circ$	$1$	$0$	定義されない
$120^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$135^\circ$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$150^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$180^\circ$	$0$	$-1$	$0$

$\theta=90^\circ$に関して対称に考えれば，有名角$90^\circ$以上の有名角の値も分かる．また，$\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$は$\theta=90^\circ$を境界として正から負に変化する．

三角形の面積の$\sin$公式

さて，三角形の面積は$\sin$を使って表すことができます．

$\tri{ABC}$について，$\theta=\ang{A}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とすると，$\tri{ABC}$の面積は

$\begin{align*} \tri{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{\theta} \end{align*}$

である．

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとすると，

$\begin{align*} \tri{ABC} =\frac{1}{2}\cdot\mrm{CH}\cdot\mrm{AB} =\frac{1}{2}c\cdot\mrm{CH} \end{align*}$

なので，$\mrm{CH}=b\sin{\theta}$であることを示せばよいですね．

[1]　$0^\circ<\theta<90^\circ$のとき

点Hは直線AB上の点Aに関してB側にあるので，下図のようになります．

よって，

$\begin{align*} \mrm{CH} =\mrm{CA}\sin{\ang{A}} =b\sin{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

[2]　$\theta=90^\circ$のとき

$\mrm{A}=\mrm{H}$となるので，下図のようになります．

よって，

$\begin{align*} \mrm{CH} =\mrm{CA} =\mrm{CA}\sin{90^\circ} =b\sin{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

[3]　$0^\circ<\theta<90^\circ$のとき

点Hは直線AB上の点Aに関してB側と反対側にあるので，下図のようになります．

よって，$(180^\circ-\theta)$型の変換公式より

$\begin{align*} \mrm{CH} =&\mrm{CA}\sin{\ang{CAH}} \\=&\mrm{CA}\sin{(180^\circ-\ang{CAB})} \\=&\mrm{CA}\sin{\ang{CAB}} \\=&b\sin{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

三角形の面積は「２辺の長さ」と「その間の角の大きさ」が分かっていれば，求めることができる．

次の記事では，三角形の重要定理である【正弦定理】を説明します．

一連の記事はこちら

【三角比１｜三角比を考え方から理解する！有名角の三角比も！】
【三角比２｜sinθ, cosθ, tanθの超重要な４つの関係式】
【三角比３｜実は当たり前！？３つの(90°-θ)型の変換公式】
【三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】
【三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】
【三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう】←次の記事
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