三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！

直角三角形を用いて三角比を定義するのでは， $0^\circ<\theta<90^\circ$ なる $\theta$ に対してしか $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えることはできないのでした．

そこで，前回の記事では単位円を使って $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ なる $\theta$ に対しても， $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ の場合に考えられるようになりました．

この記事では $\sin{(180^\circ-\theta)}$ , $\cos{(180^\circ-\theta)}$ , $\tan{(180^\circ-\theta)}$ を $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ で表す $(180^\circ-\theta)$ 型の三角比の変換公式を考えます．

また， $(180^\circ-\theta)$ 型の三角比の変換公式を使うことで，三角形の面積を $\sin$ で表すことができます．

【前回の記事：三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】

直角三角形を用いた三角比の定義では， $0^\circ<\theta<90^\circ$ なる $\theta$ に対してしか $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えられません．そこで， $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ なる $\theta$ に対して $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ を考えるにはどうすればよいのかを説明します．

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1 3つの(180°-θ)型の変換公式
- 1.1 sinとcosの公式
- 1.2 tanの公式
2 三角形の面積のsin公式

3つの(180°-θ)型の変換公式

結論から書きましょう．

$\sin{(180^{\circ}-\theta)}$ , $\cos{(180^{\circ}-\theta)}$ , $\tan{(180^{\circ}-\theta)}$ は，次のように三角比 $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ で表すことができます．

$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ なる実数 $\theta$ について，

$\sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
$\cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta}$
$\tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta}$

の3つの関係式が成り立つ．

$xy$ 平面上の単位円上の点Pは $y$ 座標が0以上であるとします．さらに，原点をO，点 $(1,0)$ をAとし， $\theta=\ang{AOP}$ としましょう．

[1]　 $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ のとき

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[2]　 $90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき

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このとき， $\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ でしたね．

sinとcosの公式

$xy$ 平面上の単位円上の点Qは $y$ 座標が0以上であり， $180^\circ-\theta=\ang{AOQ}$ としましょう．

このとき，下図のようになります．

[1]　 $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ のとき

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[2]　 $90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき

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$0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ のときも $90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のときも，点Pと点Qは $y$ 軸対称ですね．

よって，Pの $x$ 座標とQの $x$ 座標は正負が逆になっているだけなので，

$\begin{align*} \cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta} \end{align*}$

が成り立ち，Pの $y$ 座標とQの $y$ 座標は等しいので，

$\begin{align*} \sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

このように，単位円の $y$ 座標が0以上の部分で $y$ 軸対称な2点を考えれば，簡単に $(180^\circ-\theta)$ 型の変換公式が得られますね．

単位円上の点の $x$ 座標が $\cos$ で， $y$ 座標が $\sin$ であることから，図を描くことにより簡単に $(180^\circ-\theta)$ 型の変換公式が得られる．

tanの公式

再び $xy$ 平面上の単位円上の点Qは $y$ 座標が0以上であり， $180^\circ-\theta=\ang{AOQ}$ としましょう．

このとき，下図のようになります．

[1]　 $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ のとき

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[2]　 $90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき

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$0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ のときも $90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のときも点Pと点Qは $y$ 軸対称なので，直線OPと直線 $x=1$ との交点と直線OQと直線 $x=1$ との交点は $x$ 軸対称です．

よって，「直線OPと直線 $x=1$ との交点の $y$ 座標」と「直線OQと直線 $x=1$ との交点の $y$ 座標」は正負が逆になっているだけなので，

$\begin{align*} \tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

また，さっきみた $\sin$ と $\cos$ の公式

$\cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta}$
$\sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$

と，三角比の関係式 $\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ から，

$\begin{align*} \tan{(180^{\circ}-\theta)} =\dfrac{\sin{(180^{\circ}-\theta)}}{\cos{(180^{\circ}-\theta)}} =\dfrac{\sin{\theta}}{-\cos{\theta}} =-\tan{\theta} \end{align*}$

としても直ちに得られます．

$\sin{(180^\circ-\theta)}$ , $\cos{(180^\circ-\theta)}$ , $\tan{(180^\circ-\theta)}$ は，単位円で $y$ 軸対称な2点を考えることでそれぞれ $\sin{\theta}$ , $\cos{\theta}$ , $\tan{\theta}$ となる．

三角形の面積のsin公式

さて，三角形の面積は $\sin$ を使って表すことができます．

$\tri{ABC}$ について， $\theta=\ang{A}$ , $b=\mathrm{CA}$ , $c=\mathrm{AB}$ とすると， $\tri{ABC}$ の面積は

$\begin{align*} \tri{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{\ang{A}} \end{align*}$

である．

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[証明]

頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとすると，

$\begin{align*} \tri{ABC} =\frac{1}{2}\cdot\mathrm{CH}\cdot\mathrm{AB} =\frac{1}{2}c\cdot\mathrm{CH} \end{align*}$

なので， $\mathrm{CH}=b\sin{\theta}$ であることを示せばよいですね．

[1]　 $0^\circ<\theta<90^\circ$ のとき

点Hは直線AB上の点Aに関してB側にあるので，下図のようになります．

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よって，

$\begin{align*} \mathrm{CH} =\mathrm{CA}\sin{\ang{A}} =b\sin{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

[2]　 $\ang{A}=90^\circ$ のとき

$\mathrm{A}=\mathrm{H}$ となるので，下図のようになります．

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よって，

$\begin{align*} \mathrm{CH} =\mathrm{CA} =\mathrm{CA}\sin{90^\circ} =b\sin{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

[3]　 $0^\circ<\ang{A}<90^\circ$ のとき

点Hは直線AB上の点Aに関してB側と反対側にあるので，下図のようになります．

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よって， $(180^\circ-\theta)$ 型の変換公式より

$\begin{align*} \mathrm{CH} =&\mathrm{CA}\sin{\ang{CAH}} \\=&\mathrm{CA}\sin{(180^\circ-\ang{CAB})} \\=&\mathrm{CA}\sin{\ang{CAB}} \\=&b\sin{\theta} \end{align*}$

が成り立ちます．

[証明終]

三角形の面積は「2辺の長さ」と「その間の角の大きさ」が分かっていれば，求めることができる．