直角三角形を用いた三角比の定義では，$0^\circ<\theta<90^\circ$なる$\theta$に対してしか$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$を考えることはできないのでした．
そこで，前回の記事では単位円を使って$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$なる$\theta$に対しても，$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$の場合に考えられるようになりました．
さて，前々回の記事では$(90^\circ-\theta)$型の変換公式について説明しましたが，この記事では
- $\sin{(180^\circ-\theta)}=\sin{\theta}$
- $\cos{(180^\circ-\theta)}=-\cos{\theta}$
- $\tan{(180^\circ-\theta)}=-\tan{\theta}$
が成り立つという$(180^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式を考えます．
また，この$(180^\circ-\theta)$型の三角比の変換公式を使うことで，三角形の面積を$\sin$で表すことができます．
一連の記事はこちら
【三角比１｜三角比を考え方から理解する！有名角の三角比も！】
【三角比２｜sinθ, cosθ, tanθの超重要な４つの関係式】
【三角比３｜実は当たり前！？３つの(90°-θ)型の変換公式】
【三角比４｜角度が90°以上の三角比はこう考える！】
【三角比５｜(180°-θ)型の変換公式はめっちゃ簡単！】←今の記事
【三角比６｜【正弦定理】の使い方を具体例から考えよう】
【三角比７｜【余弦定理】は「三平方の定理」の進化版！】
目次
３つの$(180^\circ-\theta)$型の変換公式
冒頭でも書いたように
- $\sin{(180^{\circ}-\theta)}$
- $\cos{(180^{\circ}-\theta)}$
- $\tan{(180^{\circ}-\theta)}$
は，次のように三角比$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$で表すことができます．
$0\leqq\theta\leqq180^\circ$なる実数$\theta$について，
- $\sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
- $\cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta}$
- $\tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta}$
の３つの関係式が成り立つ．
$xy$平面上の単位円上の点Pは$y$座標が$0$以上であるとします．さらに，原点をO，点$(1,0)$をAとし，$\theta=\ang{AOP}$としましょう．
[1] $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$のとき
[2] $90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$のとき
このとき，$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$でしたね．
また，$xy$平面上の単位円上の点Qは$y$座標が$0$以上であり，$180^\circ-\theta=\ang{AOQ}$としましょう．
$\sin$と$\cos$の公式
このとき，下図のようになります．
[1] $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$のとき
[2] $90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$のとき
$0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$のときも$90^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$のときも，点Pと点Qは$y$軸対称ですね．
よって，Pの$x$座標とQの$x$座標は正負が逆になっているだけなので，
が成り立ち，Pの$y$座標とQの$y$座標は等しいので，
が成り立ちます．
このように，単位円の$y$座標が0以上の部分で$y$軸対称な２点を考えれば，簡単に$(180^\circ-\theta)$型の変換公式が得られますね．
単位円上の点の$x$座標が$\cos$で，$y$座標が$\sin$であることから，図を描くことにより簡単に$(180^\circ-\theta)$型の変換公式が得られる．
$\tan$の公式
$\tan$の定義$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$と，上で確かめた$\sin$, $\cos$の$(180^\circ-\theta)$型の公式より
とすぐに公式が得られますが，図形的にも確かめておきましょう．
[1] $0^\circ\leqq\theta<90^\circ$のとき
[2] $90^\circ<\theta\leqq180^\circ$のとき
$0^\circ\leqq\theta<90^\circ$のときも$90^\circ<\theta\leqq180^\circ$のときも点Pと点Qは$y$軸対称なので，直線OPと直線$x=1$との交点と直線OQと直線$x=1$との交点は$x$軸対称です．
よって，「直線OPと直線$x=1$との交点の$y$座標」と「直線OQと直線$x=1$との交点の$y$座標」は正負が逆になっているだけなので，
が成り立ちますね．
$\sin{(180^\circ-\theta)}$, $\cos{(180^\circ-\theta)}$, $\tan{(180^\circ-\theta)}$は，単位円で$y$軸対称な２点を考えることでそれぞれ$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$となる．
有名角の$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$
$0^\circ<\theta<90^\circ$の場合の有名角$\theta=30^\circ,45^\circ,60^\circ$については，以前の記事で以下のように求めましたね．
| $\theta$ | $\sin{\theta}$ | $\cos{\theta}$ | $\tan{\theta}$ |
|---|---|---|---|
| $30^\circ$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
また，前回の記事で説明した$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$の定義から$\theta=0^\circ,90^\circ$の場合は下表のようになります．
| $\theta$ | $\sin{\theta}$ | $\cos{\theta}$ | $\tan{\theta}$ |
|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $90^\circ$ | $1$ | $0$ | 定義されない |
$90^\circ<\theta\leqq180^\circ$の場合は，この記事で考えた公式から$0^\circ<\theta<90^\circ$の場合をもとにして考えることができます．
以上をまとめると，下表のようになりますね．
| $\theta$ | $\sin{\theta}$ | $\cos{\theta}$ | $\tan{\theta}$ |
|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90^\circ$ | $1$ | $0$ | 定義されない |
| $120^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\sqrt{3}$ |
| $135^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ |
| $150^\circ$ | $\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $180^\circ$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
$\theta=90^\circ$に関して対称に考えれば，有名角$90^\circ$以上の有名角の値も分かる．また，$\cos{\theta}$, $\tan{\theta}$は$\theta=90^\circ$を境界として正から負に変化する．
三角形の面積の$\sin$公式
さて，三角形の面積は$\sin$を使って表すことができます．
$\tri{ABC}$について，$\theta=\ang{A}$, $b=\mrm{CA}$, $c=\mrm{AB}$とすると，$\tri{ABC}$の面積は
である．
頂点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとすると，
なので，$\mrm{CH}=b\sin{\theta}$であることを示せばよいですね．
[1] $0^\circ<\theta<90^\circ$のとき
点Hは直線AB上の点Aに関してB側にあるので，下図のようになります．
よって，
が成り立ちます．
[2] $\theta=90^\circ$のとき
$\mrm{A}=\mrm{H}$となるので，下図のようになります．
よって，
が成り立ちます．
[3] $0^\circ<\theta<90^\circ$のとき
点Hは直線AB上の点Aに関してB側と反対側にあるので，下図のようになります．
よって，$(180^\circ-\theta)$型の変換公式より
が成り立ちます．
三角形の面積は「２辺の長さ」と「その間の角の大きさ」が分かっていれば，求めることができる．
次の記事では，三角形の重要定理である【正弦定理】を説明します．