この記事では次の問題を考えましょう．
平面上の同一直線上にない３点$\mrm{O,A,B}$を考える．このとき，０以上の実数$k,\ell$を$k+\ell=1$を満たして動かすとき
なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ．
$k,\ell$は$k+\ell=1$, $k\ge0$, $\ell\ge0$を満たして動く実数なので，例えば$(k,\ell)=(0,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$のようにいろんな値をとるわけですね．
このように，$k,\ell$を動かしたときに点$\mrm{X}$が描く図形を求めるのがこの問題というわけですね．
この記事では
- 係数の和が１の２つのベクトルの和
- 知っておきたい発展形
を順に解説します．
「ベクトル」の一連の記事
係数の和が１の２つのベクトルの和
冒頭の問題の$\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}$がどのようなベクトルであるかを考えるには，ベクトルの内分の公式がポイントになります．
内分の公式
まずはベクトルの内分の公式を思い出しておきましょう．
この公式の等式は分数を分けると，
となっており，このときの$\Ve{OA}$と$\Ve{OB}$の係数の和は
となっていますね．つまり，$\Ve{OA}$と$\Ve{OB}$の係数の逆比
が線分$\mrm{AB}$を点$\mrm{X}$が内分する比となっているわけですね．
具体例な$(k,\ell)$で考える
ここで冒頭の問題を考えてみましょう．
（再掲）平面上の同一直線上にない３点$\mrm{O,A,B}$を考える．このとき，０以上の実数$k,\ell$を$k+\ell=1$を満たして動かすとき
なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ．
具体的に$k,\ell$をとって，点$\mrm{X}$がどのような図形を描くか考えてみましょう．
具体例１
$(k,\ell)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$のときは
となり，これは内分の公式で$m=n=1$としたものに他なりません．
よって，点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$を$1:1$に内分する点（中点）であることが分かります．
具体例２
$(k,\ell)=(\frac{2}{3},\frac{1}{3})$のときは
となり，これは内分の公式で$m=1$, $n=2$としたものに他なりません．
よって，点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$を$1:2$に内分する点であることが分かります．
解答
以上のことから，冒頭の問題で点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$上を動きそうなことが分かりますね．
（再掲）平面上の同一直線上にない３点$\mrm{O,A,B}$を考える．このとき，０以上の実数$k,\ell$を$k+\ell=1$を満たして動かすとき
なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ．
線分$\mrm{AB}$を$\ell:k$に内分する点を$\mrm{P}$とすると，ベクトルの内分の公式より
である．よって，$\mrm{X}=\mrm{P}$だから点$\mrm{X}$が描く図形は線分$\mrm{AB}$（端点を含む）である．
よって，点$\mrm{X}$が描く図形は以下の通りである．
$(k,\ell)=(1,0)$のときは点$\mrm{X}$が線分$\mrm{AB}$を$0:1$に内分し，$(k,\ell)=(0,1)$のときは点$\mrm{X}$が線分$\mrm{AB}$を$1:0$に内分すると考えています．
知っておきたい発展形
以上の内容をもとに，よく出題される発展形も紹介しておきます．
$k,\ell$の和が１でないパターン
平面上の同一直線上にない３点$\mrm{O,A,B}$を考える．このとき，０以上の実数$k,\ell$を$k+\ell=2$を満たして動かすとき
なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ．
この問題では係数の和が２なので上の考え方が直接は使えませんが，両辺を２で割って$\dfrac{k}{2}+\dfrac{\ell}{2}=1$となることを用いれば，上の考え方が使えるようになります．
０以上の実数$k,\ell$が$k+\ell=2$を満たして動くとき，$\dfrac{k}{2},\dfrac{\ell}{2}$も０以上で$\dfrac{k}{2}+\dfrac{\ell}{2}=1$を満たす．また，
である．よって，$\Ve{OA’}=2\Ve{OA}$, $\Ve{OB’}=2\Ve{OB}$とおけば
が成り立つ．よって，点$\mrm{X}$が描く図形は以下の通りである．
$\Ve{OX}=k\Ve{OA}+\ell\Ve{OB}$の係数の和が１となるように無理矢理変形して考えれば良いわけですね．
$k,\ell$が実数全体を動くパターン
平面上の同一直線上にない３点$\mrm{O,A,B}$を考える．このとき，実数$k,\ell$を$k+\ell=1$を満たして動かすとき
なる点$\mrm{X}$が描く図形を図示せよ．
この問題では係数$k,\ell$が実数全体を動くので，$k,\ell$は負の値にもなりますね．
[パターン１] $k\ge0$かつ$\ell\ge0$のとき，点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$を描く（端点を含む）．
[パターン２] $\ell<0$のときは$\ell=-\ell’$とおくと$\ell’>0$で，線分$\mrm{AB}$を$\ell’:k$に外分する点を$\mrm{P}$とすると，ベクトルの外分の公式より
である．よって，$\mrm{X}=\mrm{P}$だから，点$\mrm{X}$が描く図形は点$\mrm{A}$を端点とする点$\mrm{B}$の反対側の半直線である．
[パターン３] $k<0$のときは点$\mrm{X}$が描く図形は点$\mrm{B}$を端点とする点$\mrm{A}$の反対側の半直線である．
[パターン１]〜[パターン３]を併せて，点$\mrm{X}$が描く図形は直線$\mrm{AB}$である．
$k<0$または$\ell<0$のとき，点$\mrm{X}$は線分$\mrm{AB}$を外分するので，実数全体を動くとき点$\mrm{X}$は直線$\mrm{AB}$全体を動くわけですね．
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