等比数列の和の公式｜例題から２パターンの使い分けを理解する

最も基本的な数列として，等差数列・等比数列があるのでした．

これらの数列はさまざまな分かりやすい性質を持っており，初項から第$n$項までの和を求める公式もよく知られています．

等差数列の和の公式は前回の記事で説明したので，この記事では

• 等比数列の和の公式と具体例
• 等比数列の和の公式の導出
• 等比数列の和の公式の補足

を順に説明します．

等比数列の和の公式と具体例

等比数列の和の公式は

• 公比$r$が$r=1$の場合
• 公比$r$が$r\neq1$の場合

の２種類ありますが，$r=1$の場合は簡単なので重要なのは$r\neq1$の場合です．

具体例から使い方を見てみましょう．

具体例１（公比$r$が$r=1$の場合）

このように，公比が$1$のときは同じものを$n$個足し合わせるだけなので当たり前ですね．

具体例２（公比$r$が$r\neq1$の場合）

等比数列の和の公式の導出

それでは公式を導出しましょう．

公比$r$が$r=1$の場合

$r=1$のとき，数列は

\begin{align*}a,\ a,\ a,\ a,\ \dots\end{align*}

です．よって，初項から第$n$項までの和は$a$を$n$個足すわけですから

\begin{align*}a+a+a+\dots+a=na\end{align*}

となりますね．

公比$r$が$r\neq1$の場合

まず，和を$S_n$とおきます．つまり，

\begin{align*}S_n=a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}\end{align*}

です．両辺に$r-1$をかければ，

\begin{align*}(r-1)S_n=(r-1)\bra{a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}}\end{align*}

となります．この右辺は

\begin{align*}&(r-1)\bra{a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}}
\\=&a(r-1)\bra{1+r+r^2+\dots+r^{n-1}}
\\=&a\brb{(r-1)+(r^2-r)+(r^3-r^2)+\dots+(r^n-r^{n-1})}
\\=&a(r^n-1)\end{align*}

と変形できるので，

\begin{align*}(r-1)S_n=a(r^n-1)\end{align*}

が成り立ちます．両辺を$r-1$で割って，求める公式

\begin{align*}S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\end{align*}

が得られます．

等比数列の和の公式の補足

基本が押さえられれば，以下のことにも注意できるようになると一層良いでしょう．

因数分解から$r\neq1$の場合の公式を求める

$x^2-y^2$や$x^3-y^3$が因数分解できるように，($n$乗)-($n$乗)も因数分解することができます．

実際，実数$x$, $y$と任意の自然数$n$に対し，$x^n-y^n$は

\begin{align*}x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+y^{n-1})\end{align*}

と因数分解できます．これを知っていれば，$x=r$, $y=1$を代入して

\begin{align*}r^n-1=(r-1)(r^{n-1}+r^{n-2}+r^{n-3}+\dots+1)\end{align*}

となり，両辺に$\dfrac{a}{1-r}$をかけることで，すぐに等比数列の和の公式

\begin{align*}\frac{r^n-1}{r-1}=a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}\end{align*}

が得られます．

公比$r$が１より大きいか小さいかで対応する

公比が$r\neq1$の場合の和は

\begin{align*}a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\end{align*}

ですが，右辺の分母と分子に$-1$をかけて

\begin{align*}a+ar+ar^2+\dots+ar^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\end{align*}

とも表せます．これらを

• $r>1$の場合には$\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$
• $r<1$の場合には$\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$

で使い分けると，いずれも分母は正の数となりますね．

このように，公比が１より大きいか小さいかで公式の形を使い分ければ，計算が少し見通しよくなります．