算数と数学との大きな違いの１つとして，文字を使うかどうかということが挙げられます．
中学１年生の数学では最初に文字の計算を学び始め，特定の数字ではなく「文字」で計算することにより多くのことが分かるようになるのでした．
そのため，数学を学ぶにあたって文字の計算がきちんとできることは必須になるわけですが，その中でも展開と因数分解は数学のいたるところに現れるので，確実にできるようになっておく必要があります．
この記事では
- ２次式の展開の公式と具体例
- ２次式の因数分解の公式と具体例
- ２次式の展開・因数分解の４公式
- 展開・因数分解の基本公式の図形的意味
を順に解説します．
「多項式」の一連の記事
２次式の展開の公式と具体例
例えば，$(x+2)(x-4)$は
\begin{align*}(x+2)(x-4)&=x(x-4)+2(x-4)
\\&=(x^2-4x)+(2x-8)
\\&=x^2-2x-8\end{align*}
と計算することができ，このように多項式の積などの括弧$(\quad)$を外す計算を展開というのでした．
２次式の展開の基本公式
展開については次の公式が基本的です．
実数$x$, $a$, $b$に対して，等式
\begin{align*}(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\end{align*}
が成り立つ．
この等式は上の例のように単純に左辺を展開して$x$でまとめれば得られますね．
２次式の展開の具体例１（$(x+2)(x+3)$の展開）
$(x+2)(x+3)$を展開せよ．
基本公式で$a=2$, $b=3$として
\begin{align*}(x+2)(x+3)
&=x^2+(2+3)x+2\times3
\\&=x^2+5x+6\end{align*}
と展開できる．
２次式の展開の具体例２（$(x+2)^2$の展開）
$(x+2)^2$を展開せよ．
基本公式で$a=2$, $b=2$として
\begin{align*}(x+2)^2
&=(x+2)(x+2)
\\&=x^2+(2+2)x+2\times2
\\&=x^2+4x+4\end{align*}
と展開できる．
２次式の展開の具体例３（$(x-3)^2$の展開）
$(x-3)^2$を展開せよ．
基本公式で$a=-3$, $b=-3$として
\begin{align*}(x-3)^2
&=(x-3)(x-3)
\\&=x^2+(-3-3)x+(-3)\times(-3)
\\&=x^2-6x+9\end{align*}
と展開できる．
２次式の展開の具体例４（$(x+5)(x-5)$の展開）
$(x+5)(x-5)$を展開せよ．
基本公式で$a=5$, $b=-5$として
\begin{align*}(x+5)(x-5)
&=x^2+\{5+(-5)\}x+5\times(-5)
\\&=x^2-25\end{align*}
と展開できる．
２次式の因数分解の公式と具体例
展開とは逆に多項式を積の形に書き直すことを因数分解というのでした．
２次式の因数分解の基本公式
展開では分配法則でただ計算するだけなので難しくはありませんが，$x^2-2x-8$を因数分解して$(x+2)(x-4)$に戻すことは少し難しいのでした．
そこで，先ほどの展開公式を因数分解公式として左辺と右辺を入れ替えて眺めてみましょう．
実数$x$, $a$, $b$に対して，等式
\begin{align*}x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\end{align*}
が成り立つ．
つまり
- $ab$が定数項
- $a+b$が１次の係数
と表せるような$a$, $b$を見つけてくれば，$(x+a)(x+b)$と因数分解できるわけですね．
２次式の因数分解の具体例１（$x^2-x-20$の因数分解）
$x^2-x-20$を因数分解せよ．
$ab=-20$, $a+b=-1$となる$a$, $b$として，$a=-5$, $b=4$が見つかるので基本公式より
\begin{align*}x^2-x-20=(x-5)(x+4)\end{align*}
と因数分解できる．
２次式の因数分解の具体例２（$x^2+18x+81$の因数分解）
$x^2+18x+81$を因数分解せよ．
$ab=81$, $a+b=18$となる$a$, $b$として，$a=9$, $b=9$が見つかるので基本公式より
\begin{align*}x^2+18x+81=(x+9)^2\end{align*}
と因数分解できる．
２次式の因数分解の具体例３（$x^2-12x+36$の因数分解）
$x^2-12x+36$を因数分解せよ．
$ab=36$, $a+b=-12$となる$a$, $b$として，$a=-6$, $b=-6$が見つかるので基本公式より
\begin{align*}x^2-12x+36=(x-6)^2\end{align*}
と因数分解できる．
２次式の因数分解の具体例４（$x^2-49$の因数分解）
$x^2-49$を因数分解せよ．
$ab=-49$, $a+b=0$となる$a$, $b$として，$a=7$, $b=-7$が見つかるので基本公式より
\begin{align*}x^2-49=(x+7)(x-7)\end{align*}
と因数分解できる．
因数分解が簡単にできない２次式もある
いまみた因数分解の問題では$a$, $b$が簡単に見つかりましたが，一般には簡単に見つかるとは限りません．例えば，$x^2-2x-2$を因数分解すると
\begin{align*}x^2-2x-2=(x-1+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{3})\end{align*}
となりますが，$ab=-2$, $a+b=-2$から$a=-1+\sqrt{3}$, $b=-1-\sqrt{3}$を見つけるのは難しいですね．
このような場合にどうすれば因数分解できるかについては，のちの２時方程式の解の公式の記事で説明しています．
２次式の展開・因数分解の４公式
上では基本公式
\begin{align*}x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\end{align*}
のみを考えました．この公式だけでも十分なのですが，$(x+a)^2$, $(x-a)^2$, $(x+a)(x-a)$の形もよく現れます．
２次式の因数分解の４公式
そこで，次の４つを併せて当たり前にしておきましょう．
実数$x$, $a$, $b$に対して，次の等式が成り立つ．
\begin{align*}&x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),
\\&x^2+2ax+a^2=(x+a)^2,
\\&x^2-2ax+a^2=(x-a)^2,
\\&x^2-a^2=(x+a)(x-a)\end{align*}
２つ目〜４つ目の公式はいずれも１つ目の公式の特別な場合で，右辺を展開すれば同様に証明できますね．
公式を使った因数分解の具体例
２つ目〜４つ目の公式を用いて，先ほどの因数分解の具体例２〜具体例４をもう一度解いておきましょう．
次を因数分解せよ．
- $x^2+18x+81$
- $x^2-12x+36$
- $x^2-49$
- 公式$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$で$a=9$として，\begin{align*}x^2+18x+81=(x+9)^2\end{align*}
- 公式$x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$で$a=6$として，\begin{align*}x^2-12x+36=(x-6)^2\end{align*}
- 公式$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$で$a=7$として，\begin{align*}x^2-49=(x+7)(x-7)\end{align*}
２つ目の$x^2-12x+36$は公式$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$で$a=-6$と考えても因数分解できます．
展開・因数分解の基本公式の図形的意味
$x>0$, $a>0$, $b>0$なら，次の図から等式
\begin{align*}x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\end{align*}
は直観的に理解することもできます．
この長方形の面積は
- ４つの部分の面積の和$x^2+ax+bx+ab(=x^2+(a+b)x+ab)$
- 縦$(x+a)$・横$(x+b)$の長方形の面積$(x+a)(x+b)$
と２通りで考えることができ，これらは等しい等式$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$が従いますね．
コメント