数学

【良いと思ったらシェアを!】

微分の基本3|多項式の導関数と,導関数の性質

微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ】の続きです.

関数y=f(x)の導関数f'(x)とは,各xf(x)の微分係数を表す関数のことをいうのでした.

導関数を定義して次に考えることは,導関数に関する性質でしょう.

この記事では,「多項式の導関数」と「導関数の性質」について説明します.

続きを読む

【良いと思ったらシェアを!】

微分の基本2|導関数の定義と直感的イメージ

微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義】の続きです.

関数y=f(x)x=aでの微分係数は,y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))を通る直線の平均変化率の極限として定義され,f'(a)と表すのでした.

すなわち,式で書けば,

f'(a)=\li_{h\to 0}\f{f(a+h)-f(a)}{h} \bra{=\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}}

で定義されるのでした.

さて,この記事では微分係数から自然に定義される導関数の基本と,導関数の性質について説明します.

続きを読む

【良いと思ったらシェアを!】

微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義

放物線(2次関数)y=f(x)と直線(1次関数)y=g(x)が接するかどうかといった問題は,判別式Dを用いてD=0となるのかどうかを調べるのがよくある方法です.

つまり,この問題は「放物線」と「直線」が与えられていて,それらが接するかどうかの判定です.

さて,これから解説する「微分」を用いると,「放物線」と「放物線上の点\mrm{A}」が与えられれば,点\mrm{A}での放物線の「接線」を求めることができます.

「微分」は非常に汎用性が高く,放物線だけでなく,そのほか多くの関数に対しても接線を求めることができます.

この記事では,「微分」の初歩として,「微分係数」について説明します.

続きを読む

【良いと思ったらシェアを!】

漸化式の基本3|数学的帰納法の仕組みと例

漸化式の基本2|等差数列,等比数列の漸化式】の続きです.

「数学的帰納法」は「背理法」に並んで,高校数学で学ぶ大切な証明法の一つで,「任意の自然数nに対して,〜が成り立つことを示せ.」という問題に対して威力を発揮することが多いです.

【参考記事:背理法1|背理法の仕組みと例
【参考記事:背理法2|背理法が有効な証明の2つのタイプと例

「数学的帰納法」のイメージとしては「ドミノ倒し」に似ており,最初のピースを倒すと次々にピースが倒れていく感覚があります.

「数学的帰納法」は非常に大切なので,確実に押さえてください.

続きを読む

【良いと思ったらシェアを!】

漸化式の基本2|等差数列,等比数列の漸化式

漸化式の基本1|漸化式の導入】の続きです.

前回の記事では,「漸化式とは何か」と「解ける漸化式」について説明しました.

念のため復習しておくと,「数列\{a_n\}に関する漸化式」とはa_nの値が順番に決まっていくような\{a_n\}の関係式のことを言い,「漸化式が解ける」とは漸化式から数列の一般項が導けることをいうのでした.

この記事では,「解ける漸化式」のうち,最も基本的な2種類の漸化式

  1. 等差数列を表す漸化式
  2. 等比数列を表す漸化式

について説明します.

続きを読む

【良いと思ったらシェアを!】

漸化式の基本1|漸化式の導入

数列の基本6|等差×等比の和】の続きです.

「漸化式」は数列の知識をある程度前提とする分野であるため,数列が苦手な人にとってはとても辛い分野です.しかし,「数列」とそれに続く「漸化式」は数学のあらゆる場面に登場するため,必ずモノにしたい分野です.

高校数学で出題される「漸化式」は「解く」ことが出来るものが多く,それらの「解き方」は確立されています.そのため,「解ける漸化式」は空気を吸うように解けるようになっていることが望まれます.

とはいっても,「公式を使えるだけで理解していない」というのはよくないですから,まずはしっかり「漸化式」を理解してください.

続きを読む

【良いと思ったらシェアを!】

図形と方程式の基本9|2円の共有点を通る円と直線

図形と方程式の基本8|円の接線の方程式】の続きです.

前の記事と2つ前の記事で,直線と円の関係について書きました.

この記事では,2つの共有点をもつ円C_1と円C_2が与えられたときに,それら2つ共有点を通る円(または直線)の方程式がどのように求められるのかを考えます.

この公式はこれは単に式を覚えるだけでは,問題に対応できなくなる恐れがあります.なぜ,そのような公式が成り立つのかを理解するようにして下さい.

とくに,この記事の「注意」の部分はよく理解するようにして下さい.

続きを読む

【良いと思ったらシェアを!】