数学

解答例と考え方|2017年度|京都大学|理系数学問1

この記事では,2017年2月25日に行われた京都大学前期入試の「理系数学の問1」の考え方と解法を説明します.

この問題のポイントは,

  1. 複素数の絶対値,偏角が与えられたとき,正しく複素数を考えられるか.
  2. 「軌跡を求めよ」と問われたときに何をすれば良いか.
  3. 定義域を忘れず処理できるか.

です.

軌跡の方程式を求めることはそれほど難しくはありませんが,定義域は見落としがちです.

定義域まで考えられていない答案は大きく減点されるかもしれません.

続きを読む

ワンステップ数学5|微分不可能な例と直感的な理解

xy平面上のグラフの接線の傾き考えるときには,微分係数を求めることになります.また,関数の増減を考える際に導関数を用いることは最も素朴な方法です.

【参考記事:微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義
【参考記事:微分の基本4|関数の増減を調べる方法,増減表の書き方

このように,「微分」は関数の性質を調べるために非常な重要な役割を果たしますが,いつでも微分可能であるとは限りません.

「微分可能でないこと」を「微分不可能」と言いますが,この記事ではどのような場合に微分不可能となるのかを説明します.

続きを読む

ワンポイント数学5|2つの微分の定義式

高校数学で習う関数f(x)x=aでの微分係数f'(a)の定義式は,\li_{b\to a}\f{f(b)-f(a)}{b-a}\li_{h\to0}\f{f(a+h)-f(a)}{h}の2つあります.

見た目は違うもののこれらは等しい式で,どちらを用いて計算しても同じ結果になります.

この記事では,これら2つの微分の定義式が同値であることを,例を用いて直感的に説明します.

【参考記事:微分の基本1|微分係数の定義と図形的意味,接線の定義

続きを読む

場合の数の基本9|二項係数の性質とパスカルの三角形

場合の数の基本8|多項定理の考え方と公式】の続きです.

前回の記事では[多項定理]について解説しました.

この記事では,前々回の記事で解説した(a+b)^nの展開公式である[二項定理]に関して,「パスカルの三角形」について解説します.

なお,この「パスカル」は,「人間は考える葦である」で有名なBlaise Pascalのことです.

【参考記事:場合の数の基本7|二項定理の考え方と公式

[二項定理]は単に(a+b)^nがどう展開されるのかということを表す定理です.「パスカルの三角形」は(a+b)^nの展開と(a+b)^{n-1}の間の関係を表すもので,[二項定理]と併せて非常に便利です.

[二項定理]の記事ではせっせと二項係数{}_{n}\mrm{C}_{r}を計算しましたが,「パスカルの三角形」を使えば二項係数{}_{n}\mrm{C}_{r}は簡単に求まります.

続きを読む

場合の数の基本8|多項定理の考え方と公式

場合の数の基本7|二項定理の考え方と公式】の続きです.

前回の記事では[二項定理]について解説しました.

[二項定理]は(a+b)^nの展開公式で,場合の数を用いて導出するのでした.

また,[二項定理]の拡張として(a_1+a_2+\dots+a_k)^nの展開公式である[多項定理]があります.そして,[多項定理]も[二項定理]と同じく,場合の数を用いて導出することができます.

考え方も[二項定理]とほとんど同じですが,これまでに見てきた場合の数を理解できていなければ難しいでしょう.その意味で,[多項定理]を理解できていることは,一定の理解がある証拠でもあります.

この記事では,[多項定理]について解説します.

続きを読む

場合の数の基本7|二項定理の考え方と公式

場合の数の基本6|重複組み合わせの考え方と公式】の続きです.

これまでの記事で,色々な場合の数をみてきました.

高校数学において,「場合の数」はそのあとに習う「確率」を考えるために習うといった印象があります.「場合の数」が高校数学からさらに発展した数学として「組み合わせ論」という分野もあります.

このように,「場合の数」はそれ単体で完結しているわけではなく,様々な応用があるのです.

その最も身近な応用として[二項定理]が挙げられます.[二項定理]は式の展開公式の一つであり,式の計算をする際に非常に重要です.

この記事では,[二項定理]について解説します.

続きを読む

場合の数の基本6|重複組み合わせの考え方と公式

場合の数の基本5|同じものを含む順列の考え方と公式】の続きです.

前回の記事で「同じものを含む順列」について書きました.

その際,重複の処理について詳しく説明しました.この記事で解説する「重複組み合わせ」も重複の処理の仕方がキーになります.

たとえば「赤色,青色,白色の3種類のボールから,全部で9個選ぶこと」を重複組み合わせといいます.

このとき,よくある問題設定として「選ばれない色のボールがあっても良い」とする問題と,「選ばれないボールがあってはならない」とする問題があります.この両者で問題の考え方が異なるので,分からなくなってしまう人が多いようです.

この記事では,この両者の違いについて考えます.

続きを読む

ページ

トップへ

記事

一覧へ

オススメ

参考書

Twitterを

フォロー

偏差値80

を目指す